證明數(shù)列不等式的幾點做法

安徽省靈璧縣第一中學 朱松

證明數(shù)列不等式的幾點做法

安徽省靈璧縣第一中學 朱松

將數(shù)列與不等式結(jié)合起來，難度會有所增加，因此有些同學對于此類試題常常感到無所適從．為了提高同學們求解此類問題的能力，下面舉例分析．

一、分析法

例1數(shù)列｛an｝中，an=5n-4，證明不等式

例2已知數(shù)列｛an｝中，對一切n∈N+，有an∈（0，1），且+2an+1-an=0．

（2）Sn＜2a1（n∈N+），其中Sn為｛an｝的前n項和．

又0＜an＜1，故0

二、放縮法

數(shù)列的放縮問題是很常見的一類問題，也是學生感覺很難的一類問題，下面舉例說明．

例3已知數(shù)列｛an｝滿足an=3n-1，記T

該問題的放縮方法比較容易想到，證明的難度不大，可以將此題變式拓展，以便學生更好地掌握．

變式1已知數(shù)列｛an｝滿足an=3n-1，記

事實上，我們發(fā)現(xiàn)要證的問題變?yōu)樽C明后面（n-3）項放縮后的和小于，而出現(xiàn)的情況是，因此我們有理由相信，應(yīng)該把放縮的結(jié)論變?yōu)椋呵疑鲜綉?yīng)該是一個恒成立問題，因此，可以通過確定λ的值（或范圍）．這里還有一個問題：n是有范圍的，而它的范圍就是我們要考慮的從哪項開始放縮問題．因此，本問題中應(yīng)該確定n≥3，此時λ≥

由值的比較可以肯定的是：在放縮的過程中，放得太大了，以致于求出來的值比要證明的值還要大，這時候及時調(diào)整放縮的式子很有必要．

三、構(gòu)造數(shù)列

例4設(shè)數(shù)列｛an｝滿足

（1）證明：|an|≥2n-1（|an|-2），n∈N*；

若實現(xiàn)了（1）（2）兩部分的證明，對于任意n∈N*，一類數(shù)列有何共同特征呢？有（1）可知，|an|比離散指數(shù)型函數(shù)2n增長更快；由（2）知，當合起來有有界，且上確界是2．總括一句：當n∈N*，數(shù)列｛|an|｝為單調(diào)遞增數(shù)列，從初值| a1|-2開始增長，達到一定程度時，有上界2．有了這樣的一般認識，再回頭去證明（1）（2），就不會感到對絕對值數(shù)列無所適從了．

因此|an|≥2n-1|an|-2），n∈N*．

證明（2），是在一定條件下探求|an|最大值為2，用極限的形式寫就是n→∞，|an|→2，聯(lián)想數(shù)列極限求法即證明n→∞，an→a，其關(guān)鍵是：?ε＞0，使|an-a|＜ε，找N（ε）．找N（ε）方法有三種：直接法，放大法，限制法．而（2）正好屬于限制法，即當成立．這屬于純數(shù)學證明問題，十分抽象．化解的方法如下：

任取n∈N*，對于任意m＞n，由（1）知，

由m任意性得|an|＜2．否則，存在n0∈N*，有|an0|＞2，取正整數(shù)an0|-2，這與（1）式矛盾．

綜上，對于任意n∈N*，均有|an|≤2．

如果用圖形解釋命題結(jié)論這里從略．

四、柯西不等式或函數(shù)的視角

柯西不等式屬新課標新加入的教學內(nèi)容，它在證明代數(shù)不等式、幾何不等式、三角不等式、比較實數(shù)大小、解方程、確定參數(shù)的取值范圍、求最值等方面都有著廣泛的應(yīng)用，在使用柯西不等式處理問題時，必須依照柯西不等式的結(jié)構(gòu)特點，恰當?shù)剡x取兩個數(shù)組，構(gòu)造符合柯西不等式的形式及條件，繼而達到使用柯西不等式證明、求解有關(guān)問題的目的．

例5已知數(shù)列｛an｝的各項均為正數(shù)，a1=1，對任意都成立．

（1）求數(shù)列｛an｝，｛bn｝的通項公式；（答案：an=2n-1，bn= n，解答過程略）

（2）當k＞7，k∈N*時，證明：對任意n∈N*，都有

證法1（柯西不等式）：當x＞0，y＞0時，x+y≥2xy，當且僅當x=y時，取“=”．記

本解答中，注意到Sn中各分式的分母成等差數(shù)列，因此首尾等距離的兩項分母之和為定值n+nk-1，因此以“倒序求和”為入手點，借用二元柯西不等式的變式放縮Sn，使其放縮后能求和．該方法雖然看似是二元平均值不等式的應(yīng)用，但其思維來源在于二元柯西不等式的常見變形結(jié)構(gòu)，對相關(guān)不等式的應(yīng)用要求較高．不過也應(yīng)清楚地認識到，此種首尾等距兩項（倒序相加）相加再放縮的方法誤差較大，可能出現(xiàn)放縮過頭的現(xiàn)象．

本題還可以用n元柯西不等式的變形不等式證明：證法2：當ai＞0，i=1，2，…，n時，

此證明簡潔干練，異常漂亮，能熟練運用柯西不等式的變形形式是解決該問題的關(guān)鍵，該方法該結(jié)論體現(xiàn)了數(shù)學的簡潔美，展現(xiàn)了深刻的數(shù)學思維．

證法3（函數(shù)視角）：由導(dǎo)數(shù)知識易得，當x＞0時，有不等式x＞ln（1+x）成立，令

0，1，2，…，7n-1，

不等式x＞ln（1+x）（x＞0）是學習導(dǎo)數(shù)過程中非常常見的一個不等式，其應(yīng)用廣泛，對能力要求較高．因此，在日常教學中，教師要引導(dǎo)學生有意識地積累相關(guān)結(jié)論，形成解題經(jīng)驗．

不等式的證明形式方法多樣，要掌握這些方法，理應(yīng)先夯實基礎(chǔ)，注重基本訓練．只有打好了底子方能熟練應(yīng)用，舉一反三，八方聯(lián)系，渾然一體．教學中應(yīng)引導(dǎo)學生充分挖掘問題的解決方法，只有這樣才能有效提高學生的解題能力，開闊解題思路，促進高效學習．