高中數(shù)學(xué)數(shù)列求和方法的探究

謝宣霆

【摘要】數(shù)列是高中數(shù)學(xué)課程的重要知識(shí)點(diǎn)，是學(xué)習(xí)的重點(diǎn)、難點(diǎn)所在。高考在數(shù)列中的考查方式多樣化，求和方法的綜合掌握，對(duì)于解決數(shù)列問(wèn)題至關(guān)重要。本文通過(guò)倒序相加求和、錯(cuò)位相減求和、裂項(xiàng)相消等方法，闡述了高中數(shù)學(xué)數(shù)列求和的常用方法，以提高數(shù)列求和的運(yùn)算效率。

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué) 數(shù)列 倒序相加 錯(cuò)位相減 求和

【中圖分類號(hào)】G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2017）01-0098-02

數(shù)列是高中數(shù)學(xué)課程中的重要內(nèi)容，是高考考查的“黃金”知識(shí)點(diǎn)。數(shù)列求和是數(shù)列知識(shí)考查的重要方式，強(qiáng)調(diào)對(duì)數(shù)列基礎(chǔ)知識(shí)的扎實(shí)掌握、有效應(yīng)用，進(jìn)而在靈活變動(dòng)中尋求“求和”的新路徑。高中數(shù)列求和，有“技”可循，有“式”可用，通過(guò)錯(cuò)位相加、倒序相加的技巧，構(gòu)建求和新公式，讓沒(méi)規(guī)律可循的數(shù)列求和能夠巧妙解決。因此，在歸納總結(jié)中，羅列高考數(shù)列求和的常用方法，提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效率，消除一遇數(shù)列求和就頭痛的尷尬。筆者結(jié)合對(duì)教材的學(xué)習(xí)，就高中常用的數(shù)列求和方法進(jìn)行探討，提高高中數(shù)列求和的有效性。

一、調(diào)轉(zhuǎn)方向，倒序相加求和

在數(shù)列求和中，經(jīng)常出現(xiàn)這類數(shù)列：與數(shù)列首末兩項(xiàng)等距離的兩項(xiàng)之和等于首末兩項(xiàng)之和。但對(duì)這類數(shù)列進(jìn)行求和之時(shí)，則可以調(diào)轉(zhuǎn)思考方向，抓住數(shù)列特點(diǎn)，通過(guò)倒序相加的方法，求出數(shù)列{an}前n項(xiàng)的和。所謂倒序相加，就是把正寫與倒寫的式相加，進(jìn)而得出常數(shù)（a）。在對(duì)等差數(shù)列前n項(xiàng)和的求算中，教材所用的方法就是倒序相加法。因此，在數(shù)列求和練習(xí)中，要善于靈活應(yīng)用，對(duì)復(fù)雜通項(xiàng)的某兩項(xiàng)以作“和”的方式，發(fā)現(xiàn)規(guī)律、尋得求和路徑。

分析：乍一看，整個(gè)題目簡(jiǎn)單，但感覺(jué)非常復(fù)雜，有種無(wú)從下手的感覺(jué)。但是，若對(duì)倒序相加法比較熟悉，就可以在進(jìn)行求算之時(shí)，可以通過(guò)計(jì)算“f（x）+f（x-1）”，看其是否會(huì)等于某一常數(shù)。經(jīng)驗(yàn)算，f（x）+f（x-1）=1。對(duì)此，在求和之時(shí)，可以運(yùn)用倒序相加的方法，很快求算出數(shù)值。

此題知識(shí)結(jié)合面執(zhí)教廣泛，將函數(shù)與數(shù)列進(jìn)行結(jié)合，這是高考最為常見的綜合考查的發(fā)生。若未發(fā)現(xiàn)“f（x）+f（x-1）=1”，采用倒序相加的方法，是很難以求算所得。因此，在數(shù)列求和的過(guò)程中，要善于利用教材方法，并進(jìn)行靈活變通?？赡軘?shù)列通項(xiàng)與教材“等差數(shù)列求和”存在差異，但具有這類特點(diǎn)的數(shù)列在倒序相加的過(guò)程中是一致的，還是強(qiáng)調(diào)對(duì)倒序相加求和的理解并發(fā)散思維。

二、錯(cuò)位整理，錯(cuò)位（加）減求和

錯(cuò)位相減對(duì)于高中生而言，是應(yīng)用較為廣泛的求和方法，并且有種“屢試不爽”的效果。錯(cuò)位相減有其方法的巧妙性和優(yōu)越性，但也存在一定的局限性。教材“等比數(shù)列求和”所用的方法就是“錯(cuò)位相減法”，要求在理解的基礎(chǔ)之上，靈活掌握，提高求和計(jì)算效率和正確性。在數(shù)列求和之時(shí)，但數(shù)列{an}的通項(xiàng)，an=（an+b）·cn之時(shí)，我們一般就可以采用錯(cuò)位相減的方法求和。

例2：已知數(shù)列{an}，an=（2n-1）·3n，求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)之和。

分析：該數(shù)列的通項(xiàng)“（2n-1）·3n”就是典型的“（an+b）·cn”形式，我們?cè)谶M(jìn)行求和計(jì)算之時(shí)就應(yīng)優(yōu)先考慮運(yùn)用錯(cuò)位相減法。當(dāng)然，在實(shí)際的計(jì)算當(dāng)中，數(shù)列通項(xiàng)式可能不會(huì)這么直接或簡(jiǎn)單的給出，但在解答方法上是一樣的。

該題運(yùn)用錯(cuò)位相加法，巧妙地實(shí)現(xiàn)了數(shù)列求和。但是，在求算當(dāng)中，運(yùn)算量相對(duì)較大，且需要特別注意“位”，調(diào)整之后的錯(cuò)位相減，要對(duì)好“位”，這是避免運(yùn)算失誤，進(jìn)而提高運(yùn)算準(zhǔn)確性的關(guān)鍵。與此同時(shí)，要善于觀察，觀察數(shù)列通項(xiàng)的特點(diǎn)，結(jié)合已學(xué)知識(shí)，對(duì)數(shù)列進(jìn)行錯(cuò)位調(diào)整。

三、分裂通項(xiàng)，裂項(xiàng)相消求和

復(fù)雜的數(shù)列通項(xiàng)，往往在處理之后并不復(fù)雜。分裂通項(xiàng)就是處理數(shù)列通項(xiàng)，獲得求和簡(jiǎn)便之道的有效措施。所謂分項(xiàng)相消求和，就是將數(shù)列每一項(xiàng)拆分為“兩項(xiàng)之差”，并能夠在相鄰兩項(xiàng)之間進(jìn)行部分消除。因此，裂項(xiàng)相消法的技巧性更強(qiáng)，要求對(duì)通項(xiàng)有準(zhǔn)確的判斷，并通過(guò)適當(dāng)?shù)摹凹夹g(shù)”處理。在很多情況之下，裂項(xiàng)不確定，很難進(jìn)行下去。此時(shí)可以采用“待定系數(shù)法”，對(duì)裂項(xiàng)進(jìn)行確定。

總而言之，數(shù)列求和是高中數(shù)列的知識(shí)重點(diǎn)，考查方式多樣，且具有知識(shí)面廣、結(jié)合范圍大等特點(diǎn)。在對(duì)數(shù)列求和的過(guò)程中，一是要“巧”，巧用求和方法，變繁為簡(jiǎn)、變難為易；二是要構(gòu)建新數(shù)列，通過(guò)錯(cuò)位、裂項(xiàng)等方式對(duì)數(shù)列通項(xiàng)進(jìn)行處理，為求和創(chuàng)造新的切入點(diǎn)；三是要善于發(fā)散思維，在已學(xué)知識(shí)點(diǎn)的基礎(chǔ)之上，靈活應(yīng)用、善于變化，以舊方法解新問(wèn)題。

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