高校高等數(shù)學(xué)的教法及學(xué)法

趙迎春+布仁滿都拉

摘要：隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，高等數(shù)學(xué)被廣泛應(yīng)用到自然科學(xué)和社會科學(xué)中，因此該門課程也成為了高等院校最重要的基礎(chǔ)課之一。本文將結(jié)合自己的教學(xué)實踐，淺談高等數(shù)學(xué)的教法、學(xué)法與認(rèn)識，提出高等數(shù)學(xué)教學(xué)的幾點建議。

關(guān)鍵詞：教學(xué)方法；教學(xué)改革；高等數(shù)學(xué)

中圖分類號：G642.41 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號：1674-9324（2016）51-0203-03

高等數(shù)學(xué)作為高等院校最重要的基礎(chǔ)課之一，通過該門課程的教學(xué)，不僅讓學(xué)生學(xué)到專業(yè)所需的基本數(shù)學(xué)知識，還能培養(yǎng)學(xué)生各方面的能力。因此任課老師在教學(xué)中應(yīng)該怎么樣提高教學(xué)質(zhì)量是一個值得深思的問題。本文將結(jié)合自己的教學(xué)實踐，淺談高等數(shù)學(xué)的教法、學(xué)法與認(rèn)識，提出高等數(shù)學(xué)教學(xué)的幾點建議。

一、課程簡介與教學(xué)目標(biāo)

高等數(shù)學(xué)是高校理科和文科相關(guān)專業(yè)學(xué)生必修的一門重要基礎(chǔ)理論課程，比如理科中的計算機、物理、生物、化學(xué)、醫(yī)學(xué)的相關(guān)專業(yè)和文科中的財經(jīng)管理類專業(yè)都開設(shè)了高等數(shù)學(xué)課程。這門課程對于各專業(yè)后繼課程的學(xué)習(xí)起著奠基的作用。例如：物理學(xué)、控制論、流體力學(xué)和電動力學(xué)等專業(yè)課程都要用到高等數(shù)學(xué)中的數(shù)學(xué)知識。以流體力學(xué)為例：質(zhì)量、動量和能量守恒都可以用數(shù)學(xué)微分方程來表示。另外，大學(xué)生畢業(yè)參加工作后也會用到高等數(shù)學(xué)所學(xué)的知識，例如：數(shù)據(jù)分析、機械設(shè)計、游戲軟件設(shè)計、城鄉(xiāng)規(guī)劃、建筑設(shè)計、風(fēng)景園林設(shè)計、房地產(chǎn)管理和測量工程等工作領(lǐng)域都涉及高等數(shù)學(xué)知識。

高等數(shù)學(xué)的教學(xué)主要有以下三個方面的培養(yǎng)目標(biāo)。

一是知識培養(yǎng)目標(biāo)。通過高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，使學(xué)生掌握高等數(shù)學(xué)的基本概念、基本定理和基本計算方法，為大學(xué)生的專業(yè)發(fā)展和以后的工作奠定基礎(chǔ)。二是能力培養(yǎng)目標(biāo)。通過本課程學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生比較熟練的運算能力、分析問題和解決問題的能力及交流協(xié)作能力。教學(xué)者看重的第三個培養(yǎng)目標(biāo)為學(xué)生的素質(zhì)培養(yǎng)。高等數(shù)學(xué)是一門理論嚴(yán)謹(jǐn)、邏輯縝密的學(xué)科，其一切結(jié)論都有依據(jù)，并經(jīng)過了嚴(yán)格的邏輯論證。因此，這種科學(xué)的實事求是精神就可以很好地培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)態(tài)度和習(xí)慣，使學(xué)生養(yǎng)成尊重客觀事實，不固執(zhí)不偏激，既敢于堅持真理，又勇于修正錯誤的品格。

二、教學(xué)內(nèi)容、重點和難點

高等數(shù)學(xué)這門課程的教學(xué)內(nèi)容主要包括函數(shù)與極限、導(dǎo)數(shù)、不定積分、定積分、微分方程、幾何與向量代數(shù)、重積分、曲線積分、曲面積分和無窮級數(shù)等豐富的內(nèi)容。其中，教學(xué)的重點為高等數(shù)學(xué)中的基本概念、基本定理、基本計算方法及涉及的數(shù)學(xué)思想方法（如換元法、分類法、反證法、數(shù)學(xué)歸納法）。教學(xué)的難點為：極限、導(dǎo)數(shù)、定積分等抽象概念的引入，定理的理解和應(yīng)用，導(dǎo)數(shù)、積分和微分方程的計算方法等。

三、教學(xué)方法和學(xué)習(xí)方法

1.教學(xué)方法。討論教學(xué)方法和學(xué)習(xí)方法前，先對教學(xué)對象做好學(xué)情分析。高等數(shù)學(xué)的授課對象是大一的新生，思維活躍，學(xué)習(xí)積極性高。學(xué)生在入學(xué)前學(xué)習(xí)了初等數(shù)學(xué)內(nèi)容，已經(jīng)具備了學(xué)高等數(shù)學(xué)的能力。但是，由于學(xué)生生源的多元性，學(xué)生基礎(chǔ)差異明顯。另外，高等數(shù)學(xué)與初等數(shù)學(xué)在學(xué)習(xí)模式、教學(xué)觀念、教法上都有所不同。那么，在高等數(shù)學(xué)教學(xué)的第一堂課上任課老師應(yīng)交代清楚以下三個方面。首先，應(yīng)該給學(xué)生介紹為什么要學(xué)高等數(shù)學(xué)。因為在生活中很多物理、化學(xué)、生物、醫(yī)學(xué)和經(jīng)濟的問題都可以用函數(shù)來表示，如速度、溫度、濃度、電勢分布和磁場一般都是空間和時間的函數(shù)，還比如位移s關(guān)于時間t的二階導(dǎo)數(shù)等于加速度a，即■=a；流體的速度u和質(zhì)量密度ρ滿足微分方程■+ρ（？塄·u）=0，稱為質(zhì)量守恒方程。求解微分方程就是導(dǎo)數(shù)的逆運算過程，即積分運算。其次，介紹高等數(shù)學(xué)的課程內(nèi)容特點、學(xué)習(xí)方法，特別需要讓學(xué)生認(rèn)識到初等數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)在學(xué)習(xí)模式、教學(xué)觀念及教法上的轉(zhuǎn)變。最后，列舉一些實際例子進(jìn)一步說明高等數(shù)學(xué)和初等數(shù)學(xué)的不同之處，讓學(xué)生明白原來高等數(shù)學(xué)如此有用，激起學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

課堂教學(xué)結(jié)構(gòu)大致可以分為如下幾步。第一步，復(fù)習(xí)。講新內(nèi)容前復(fù)習(xí)與本節(jié)課核心內(nèi)容有關(guān)的知識，比如講新內(nèi)容二重積分的概念前，先復(fù)習(xí)前面已經(jīng)學(xué)過的定積分的概念及其相應(yīng)的性質(zhì)，因為二重積分計算可以轉(zhuǎn)化為定積分的計算問題。第二步，通過討論實際問題，引入新課。比如，講導(dǎo)數(shù)的定義時，我們可以先跟學(xué)生一起討論切線問題或瞬時速度問題，用這些實際問題引出導(dǎo)數(shù)的概念。這樣做的好處是學(xué)生容易接受下面要講的抽象概念和定理。下面以導(dǎo)數(shù)的概念為例。

（1）首先考慮切線問題。假設(shè)函數(shù)y=f（x）在點x■附近有定義，求曲線y=f（x）的過P■（x■，f（x■））的切線L的斜率。當(dāng)點P（x，f（x））沿曲線y=f（x）趨于P■（x■，f（x■））時，割線P■P趨于切線L。

所以，當(dāng)點P（x，f（x））沿曲線y=f（x）趨于

P■（x■，f（x■）），即Δx→0時割線P■P的斜率k■趨于切線L的斜率k■為：

k■=■k■=■■=■■，

Δx，Δy分別是自變量和函數(shù)值的改變量。上述式子表明k■表示函數(shù)y=f（x）在點x■處的變化率，這意味著：k■越大，x■點附近函數(shù)值變化越大。

（2）利用切線問題引入導(dǎo)數(shù)的嚴(yán)格定義：設(shè)函數(shù)y=f（x）在點x■的附近有定義，當(dāng)自變量x在x■處取得增量Δx時，相應(yīng)的函數(shù)取得增量Δy=f（x■+Δx）-f（x■）；如果Δy與Δx之比當(dāng)Δx→0時的極限存在，則稱函數(shù)y=f（x）在點x■處可導(dǎo)，并稱這個極限為函數(shù)y=f（x）在點x■處的導(dǎo)數(shù)，記為f′（x■），即

f′（x■）=■■=■■

第三步，導(dǎo)入新內(nèi)容。這部分內(nèi)容一般包括定義、定理、例題講解等。講解新內(nèi)容時，一定要做到思路清晰，證明或推導(dǎo)過程有序而嚴(yán)謹(jǐn)、書寫規(guī)范。另外，我們在教材中會接觸到一些以微積分的創(chuàng)立者和先驅(qū)們的名字命名的重要定理和概念，如牛頓—萊布尼茲定理、柯西—施瓦茲不等式、拉格朗日中值定理、Bolzano—Weierstrass定理、富里葉三角級數(shù)等。如果在課堂教學(xué)過程中適當(dāng)?shù)丶尤脒@些重要數(shù)學(xué)人物生平和業(yè)績的介紹，不僅可以提升學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，還可以傳遞數(shù)學(xué)思想的作用，對我們的課堂教學(xué)起到畫龍點睛的作用。第四步，課堂練習(xí)。選擇與新內(nèi)容有關(guān)的數(shù)學(xué)題，讓學(xué)生課堂上互相討論并完成。課堂練習(xí)的目的在于讓學(xué)生能夠更好地掌握和應(yīng)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識。第五步，布置作業(yè)。作業(yè)應(yīng)當(dāng)涵蓋本節(jié)課的全部知識點，目的是讓學(xué)生課后復(fù)習(xí)并進(jìn)一步鞏固本節(jié)課的內(nèi)容。

2.學(xué)習(xí)方法。數(shù)學(xué)知識不應(yīng)僅靠傳授獲得，而應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生自己去發(fā)現(xiàn)，獨立地掌握。因此，指導(dǎo)學(xué)生培養(yǎng)正確的學(xué)習(xí)模式是非常重要的。在教學(xué)中，要求學(xué)生應(yīng)做到以下幾點。（1）認(rèn)真聽課，充分利用課堂時間。高等數(shù)學(xué)的內(nèi)容比初等數(shù)學(xué)的內(nèi)容抽象。課堂上，老師講具體的教材內(nèi)容前會介紹內(nèi)容的背景和應(yīng)用情況。這一講解過程對學(xué)生至關(guān)重要。聽課過程中，學(xué)生仔細(xì)聽詳細(xì)證明和計算過程的同時在不明白的內(nèi)容上及時做標(biāo)記，以便在課堂或課后找時間和同學(xué)或老師討論。（2）不懂的地方要及時弄清楚。高等數(shù)學(xué)的一個重要的特點是章與章之間緊密聯(lián)系。在下一章的內(nèi)容中肯定會用到前面章節(jié)的內(nèi)容。所以，學(xué)生一定要及時多問不清楚的內(nèi)容，不要積累以免影響后面的學(xué)習(xí)。（3）課后細(xì)讀課文，理解基本概念和定理，真正吃透課本內(nèi)容。這樣做的好處是能提高學(xué)生的自學(xué)能力和獨立思考能力。（4）在理解基本概念和定理的基礎(chǔ)上，一定要多做題。數(shù)學(xué)題的解答過程需要繁冗的推演、反復(fù)的運算，因此通過多做題可以熟練地掌握所學(xué)數(shù)學(xué)知識，進(jìn)而可以解決實際問題，提高自己發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的能力。另外，學(xué)生在解決問題的過程中，會運用邏輯思維，通過獨立思考、概括總結(jié)、不斷創(chuàng)新、不斷積累，最終把問題解決，這種過程也是對學(xué)生的一種很好的錘煉。

四、教學(xué)手段

高等數(shù)學(xué)偏于理論，注重邏輯推理，學(xué)起來比較枯燥乏味，大部分學(xué)生對這門課程的學(xué)習(xí)沒有積極性。英國科學(xué)史家丹皮爾曾經(jīng)說過“再沒有什么故事能比科學(xué)發(fā)展的故事更有魅力了”。因此，教師可以合理地運用數(shù)學(xué)歷史題材，增強課堂的趣味性，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。例如，在講解知識點之前盡量讓學(xué)生了解所學(xué)知識點所產(chǎn)生的實際背景，在講解知識點后盡量列舉一些學(xué)生較熟悉的實際應(yīng)用例子。如講解對坐標(biāo)的曲線積分時，可以引進(jìn)變力沿曲線做功的問題，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，讓他們發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的美及其重要應(yīng)用性。教師的幽默語言、詼諧比喻、個人魅力和有趣的問題等也能提高課堂的趣味性。

高等數(shù)學(xué)的教學(xué)內(nèi)容基本都是抽象的概念和定理。因此，在教學(xué)中有效地結(jié)合多媒體，將傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教學(xué)中不能直觀表示的抽象概念、定理等通過圖表、圖像、動畫等多媒體生動地表現(xiàn)出來，使其直觀化，使學(xué)生易于理解和掌握。比如用動態(tài)圖形向?qū)W生展示泰勒多項式逼近一個函數(shù)的直觀動態(tài)過程，這一過程在黑板上根本無法實現(xiàn)。另外，多媒體教學(xué)效率高、信息量大，也可以在有限的教學(xué)時間內(nèi)展示更多的知識，并且可以豐富教學(xué)活動，提高教學(xué)的趣味性。特別在涉及圖像繪制與大段定義定理的描述時，使用多媒體教學(xué)更佳。例如，一元、二元函數(shù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義、不定積分的幾何意義和定積分的定義等，利用幻燈片演示就能達(dá)到良好效果。但我們不提倡整個教學(xué)過程都用多媒體，例如數(shù)學(xué)中大量的演算推理，若用多媒體教學(xué)，會因速度太快導(dǎo)致學(xué)生消化吸收不了。

參考文獻(xiàn)：

[1]同濟大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)[M].高等教育出版社，2007.

[2]張順燕.數(shù)學(xué)的思想、方法和應(yīng)用[M].北京：北京大學(xué)出版社，1997.

[3]王金武.高職院校數(shù)學(xué)課程改革的探究[J].職業(yè)教育研究，2004，（12）：24-24.

[4]蒲和平，黃廷祝，干泰彬，何軍華.高等數(shù)學(xué)課程教學(xué)中探究式教學(xué)法的研究與實踐[J].大學(xué)數(shù)學(xué)，2013，29（3）：147-150.

Methods of Teaching and Learning of Higher Mathematics at University Level

ZHAO Ying-chun，Mandula Buren

（School of Mathematics and Statistics，Chifeng University，Chifeng，Inner Mongolia 024000，China）

Abstract： With the development of science and technology，higher mathematics is widely used in natural and social sciences，and consequently，it becomes one of most important elementary courses in university. In this paper，the methods of teaching and learning of higher mathematics and understanding of mathematics are discussed based on our teaching experience. We also propose some advice about teaching and learning.

Key words：teaching method；educational reform；higher mathematics