《線性代數(shù)》教學(xué)中矩陣?yán)碚撛趫D像處理中的應(yīng)用

白阿拉坦高娃

摘 要：線性代數(shù)課程作為數(shù)學(xué)類課程中最基本而用途廣泛的課程，需要老師們深層次挖掘各部分內(nèi)容的實(shí)際意義。在線性代數(shù)的教學(xué)過程中，發(fā)現(xiàn)學(xué)生對部分概念的理解與實(shí)際應(yīng)用并不清楚，尤其矩陣的應(yīng)用有些模糊。該文線性代數(shù)的重要內(nèi)容矩陣的相關(guān)理論的應(yīng)用領(lǐng)域及其應(yīng)用意義，這將很大程度上增強(qiáng)了線性代數(shù)課程的吸引力。

關(guān)鍵詞：線性代數(shù) 矩陣 圖像處理

中圖分類號：G642 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號：1674-098X（2017）01（a）-0211-02

線性代數(shù)基本概念眾多、應(yīng)用領(lǐng)域廣泛，其中線性代數(shù)在圖片處理過程中的應(yīng)用較廣。當(dāng)下，圖像的處理都基本是靠計(jì)算機(jī)來完成的。在計(jì)算機(jī)中，圖像是有許多看似連續(xù)的像素構(gòu)成的。由于像素間的距離非常近以至于眼睛都不能分辨出來。在數(shù)學(xué)上圖像的每個(gè)像素就是線性代數(shù)中矩陣的每個(gè)元素，因此圖像是可以用矩陣來表示的。只是圖像的種類不同，矩陣的維數(shù)會(huì)有變化：灰度格式的圖像（我們平常成為黑白圖片）可用一個(gè)元素值介于0～255之間的二維矩陣來表示，元素值得大小對應(yīng)著像素點(diǎn)的亮度（0對應(yīng)黑色，255對應(yīng)白色）；彩色圖像（即RGB圖像）可用一個(gè)三維矩陣表示，我們平常所說的紅（R），綠（G），藍(lán)（B）分量分別用一個(gè)矩陣表示，3個(gè)矩陣組合起來構(gòu)成的這個(gè)三維矩陣?？梢哉f，圖像就等于矩陣，所以將線性代數(shù)中有關(guān)矩陣?yán)碚摰某晒麘?yīng)用于圖像處理是非?？尚械腫1]。

1 線性代數(shù)教學(xué)中遇到的問題

數(shù)學(xué)類課程對眾多學(xué)生而言都是枯燥乏味的。那么是什么原因?qū)е铝诉@種情況的發(fā)生呢？不可否認(rèn)教師及學(xué)生們都有一定的責(zé)任。從教師角度而言，受生活壓力及周圍環(huán)境的影響，不投入大量的時(shí)間對所教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行深入的思考與聯(lián)想。從而無法給出生動(dòng)而貼近實(shí)際的例子，只是單方面?zhèn)魇诨靖拍睢⑿再|(zhì)、理論及簡單教學(xué)案例。這將大大縮減課程的吸引力。另一方面從學(xué)生角度而言，隨著手機(jī)時(shí)代的來臨，很多同學(xué)都將過多的時(shí)間投入到了諸如聊天、打游戲、參加活動(dòng)等而大大縮小了認(rèn)真思考、連續(xù)思考的時(shí)間，這也必然會(huì)導(dǎo)致學(xué)生們對課程內(nèi)容理解程度及深度的迅速下降。其典型表現(xiàn)包括缺乏領(lǐng)軍人才、就業(yè)后無法短時(shí)間內(nèi)能夠?yàn)槠髽I(yè)帶來經(jīng)濟(jì)社會(huì)效益、就業(yè)方向與大學(xué)專業(yè)不一致、“只聽其課而不知其意，只見其形而不知其原”等事件經(jīng)常出現(xiàn)。

2 線性代數(shù)常見內(nèi)容及其圖片處理中的應(yīng)用

2.1 圖像的變暗或變亮——矩陣的數(shù)乘

當(dāng)用戶利用相機(jī)或者手機(jī)拍下不太理想的照片時(shí)會(huì)利用很多手段來修復(fù)照片，這些修復(fù)的手段都暗藏了矩陣的知識(shí)。例如，在背光的條件下拍攝照片由于曝光不足可能會(huì)得到拍攝主體模糊不清的效果。這時(shí)，只要我們按照一定的比例進(jìn)行原始照片的數(shù)乘運(yùn)算就能把照片的亮度調(diào)大并使拍攝主體顯現(xiàn)出來。當(dāng)然，亮度調(diào)大后的圖像有些細(xì)節(jié)會(huì)有損失。因此，每個(gè)像素所乘的比例需要用到相應(yīng)的算法來尋找，這樣才能保證亮度調(diào)大后的照片不失真[2]。

2.2 圖像旋轉(zhuǎn)——矩陣的轉(zhuǎn)置、矩陣的線性變換

在圖像處理過程中，圖像的旋轉(zhuǎn)是一種常用圖像處理技術(shù)，并且其應(yīng)用領(lǐng)域十分廣泛，例如，軍事、航空醫(yī)學(xué)等方面。在傾斜校正、多幅圖像比較、模式識(shí)別以及進(jìn)行圖像的剪裁和拼接時(shí)，都需要對圖像進(jìn)行旋轉(zhuǎn)處理。圖像旋轉(zhuǎn)簡單來說就是圖像在平面內(nèi)繞一個(gè)頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)某個(gè)角度。這個(gè)過程可以理解為圖像矩陣的轉(zhuǎn)置或者線性變換，同時(shí)也需要一定的處理方式來保證旋轉(zhuǎn)后的邊界效果[3]。

2.3 圖像復(fù)原——矩陣的逆

數(shù)字圖像的復(fù)原是圖像處理的重要組成部分，它是根據(jù)圖像退化模糊的原因來還原圖像的本來面目。在復(fù)原的過程中，首先需要分析圖像退化模糊的原因，然后建立模型逆向估計(jì)原始圖像[4]。這個(gè)過程與我們在線性代數(shù)里所學(xué)的求矩陣的逆是非常相似的：矩陣是當(dāng)前的圖像矩陣，而單位矩陣是圖像矩陣退化模糊的原因，我們得到當(dāng)前圖像矩陣的逆矩陣就是退化模糊前的矩陣。

2.4 圖像的分割——矩陣子塊的提取

數(shù)字圖像的分割是指根據(jù)灰度、彩色、空間紋理、幾何形狀等特征把圖像劃分成若干個(gè)互不相交的區(qū)域，使得這些特征在同一區(qū)域內(nèi)，表現(xiàn)出一致性或相似性，而在不同區(qū)域間表現(xiàn)出明顯的不同[5]。其實(shí)，圖像分割可以簡單理解為原始的圖像矩陣求子矩陣的過程，只不過圖像分割在劃分子矩陣的過程中需要考慮不同的特征因素。

2.5 圖像壓縮——矩陣的分塊

數(shù)字圖像的壓縮也稱為圖像編碼，是在有限的存儲(chǔ)介質(zhì)和傳輸介質(zhì)的條件下通過映射變換、量化、編碼3個(gè)環(huán)節(jié)來表示已有的圖像矩陣[6]。這個(gè)過程可以簡化為對原有圖像矩陣進(jìn)行變化，雖然會(huì)改變矩陣的數(shù)據(jù)特性，但是這樣可能更加利于存儲(chǔ)和傳輸。

2.6 圖像對比——線性相關(guān)性的判斷

數(shù)字圖像的對比簡單來說就是尋找圖像之間異同點(diǎn)的過程，并且能夠通過分析圖像之間的異同點(diǎn)來分析出其中的線性相關(guān)性（即圖像矩陣間的線性相關(guān)性）。

2.7 圖像視角的改變——特征向量

數(shù)字圖像視角的改變是指根據(jù)已有的圖像矩陣得到不同視角的圖像。這個(gè)過程就像是對已知的圖像矩陣乘以一個(gè)矩陣來得到新的矩陣。

一個(gè)向量關(guān)于橫軸做鏡像對稱變換，即保持一個(gè)向量的橫坐標(biāo)不變，但縱坐標(biāo)取相反數(shù)，把這個(gè)變換表示為矩陣就是[1 0；0 -1]，其中分號表示換行，顯然[1 0；0 -1]*[a b]'=[a -b]'，其中上標(biāo)'表示取轉(zhuǎn)置，這正是我們想要的效果，那么現(xiàn)在可以猜一下了，這個(gè)矩陣的特征向量是什么？想想什么向量在這個(gè)變換下保持方向不變，顯然，橫軸上的向量在這個(gè)變換下保持方向不變，所以可以直接猜測其特征向量是 [a 0]'（a不為0），還有其他的嗎？有，那就是縱軸上的向量，這時(shí)經(jīng)過變換后，其方向反向，但仍在同一條軸上，所以也被認(rèn)為是方向沒有變化，所以[0 b]'（b不為0）也是其特征向量，去求求矩陣[1 0；0 -1]的特征向量就知道對不對了。

3 結(jié)語

通過引進(jìn)線性代數(shù)基本概念在圖像處理中的應(yīng)用，不僅豐富了線性代數(shù)教學(xué)內(nèi)容，同時(shí)也為圖像處理技術(shù)的深層次研究打下了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。今后，教師們應(yīng)該全面開拓不同課程的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值，快速提高學(xué)生們的學(xué)習(xí)愛好及創(chuàng)新精神，以實(shí)現(xiàn)我國由基本理論學(xué)習(xí)大國轉(zhuǎn)向應(yīng)用技術(shù)產(chǎn)出大國的目的。

參考文獻(xiàn)

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[2] 徐小東.圖像亮度的自動(dòng)調(diào)整[D].浙江：浙江大學(xué)，2007.

[3] 楊素娣.圖像區(qū)域個(gè)數(shù)統(tǒng)計(jì)，圖像重現(xiàn)和圖像旋轉(zhuǎn)算法的研究[D].上海：華東師范大學(xué)，2007.

[4] 沈峘，李舜酩，毛建國，等.數(shù)字圖像復(fù)原技術(shù)綜述[J].中國圖象圖形學(xué)報(bào)，2009，14（9）：1764-1775.

[5] 何俊，葛紅，王玉峰.圖像分割算法研究綜述[J].計(jì)算機(jī)工程與科學(xué)，2009，31（12）：58-61.

[6] 儲(chǔ)昭輝.圖像壓縮編碼方法綜述[J].電腦知識(shí)與技術(shù)， 2009，5（18）：4785-4788.