近年高考題中含參不等式恒成立問題的求解策略

廣東省廣州市恒福中學(xué)(510075) 張美鈺

近年高考題中含參不等式恒成立問題的求解策略

廣東省廣州市恒福中學(xué)(510075) 張美鈺

恒成立問題,是指在綜合給定的范圍內(nèi)無論如何變化,某些數(shù)學(xué)問題的結(jié)論都不會發(fā)生任何改變．高中數(shù)學(xué)的恒成立問題是高考的一種重要題型,它涉及到函數(shù)、數(shù)列、不等式、導(dǎo)數(shù)等諸多方面的知識,同時考查了學(xué)生分析問題、解決問題、綜合駕馭知識的能力．求解含有參數(shù)的恒成立問題是常見的題型,也是高考的熱點．這類問題既含參數(shù)又含變量,可以考察到學(xué)生的思維能力和對數(shù)學(xué)知識的融會貫通的情況,在近年高考中出現(xiàn)頻率較高．本文根據(jù)近三年的高考題總結(jié)了三種含參不等式恒成立問題的求解策略．

策略一、分離變量求解

1.(2016年江蘇高考卷文理第 19題)已知函數(shù)f(x)=ax+bx(a＞0,b＞0,a/=1.b/=1).

(i)求方程f(x)=2的根;

(ii)若對于任意x∈R,不等式f(2x)≥mf(x)-6恒成立,求實數(shù)m的最大值;

(2)(略)

對于一些含參的不等式恒成立問題,如果能夠?qū)⒉坏仁竭M行同解變形,將不等式中的變量和參數(shù)進行分離,即使變量和參數(shù)分別位于不等式的左、右兩邊,那么通過求函數(shù)值域的方法將問題化歸為解關(guān)于參數(shù)的不等式問題．應(yīng)該說,這種解題思想是高中比較常規(guī)的一種思想．一般地有:

2.(2014年遼寧高考文科第12題、理科第11題)當(dāng)x∈[-2,1]時,不等式ax3-x2+4x+3≥0恒成立,則實數(shù)a的取值范圍是( )

此題的解決思想仍是分離變量,將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值與參量的大小比較,而此題要求在分離變量時對x的范圍進行分類討論,否則會出錯．

策略二、構(gòu)造函數(shù)求解

(1)求證: f(x)≤0;

x (0,x0) x02 g′(x) + 0 -g(x)↗↘

當(dāng)參數(shù)難以分離時,可以通過構(gòu)建函數(shù)來解決．我們知道,函數(shù)概念是高中數(shù)學(xué)的一個很重要的概念,其思想和方法已經(jīng)滲透到數(shù)學(xué)的各個分支．在有些數(shù)學(xué)問題上中,通過觀察數(shù)式特點,構(gòu)造適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型,然后通過研究此函數(shù)性質(zhì)來確定參數(shù)的取值范圍．

4.(2016年全國新課標 I卷文第 12題)若函數(shù)f(x)=x-+asinx在(-∞,+∞)單調(diào)遞增,則 a的取值范圍為( )

此題作為選擇題的壓軸題,并沒有直接給出一個二次函數(shù)考查,而通過換元構(gòu)造二次函數(shù)是求解本題的關(guān)鍵,考生需要熟悉基本原理,才可以在遇到生疏或繁難的問題,通過這些問題與基本問題的關(guān)系,“化生為熟,化繁為簡”解決問題．二次函數(shù)型恒成立問題的具體解決需要根據(jù)函數(shù)性質(zhì)、圖像全面討論x2的系數(shù)、對稱軸、Δ值符號等解題．

一般地,二次函數(shù)型的恒成立問題有以下類型:

(1)類型1: 設(shè) f(x)=ax2+bx+c(a/=0), f(x)＞0(x∈R)恒成立 ?? a＞0且Δ＜0;

(2)類型2: 設(shè)f(x)=ax2+bx+c(a/=0)

策略三、逐段篩選法求解

5.(2016年四川高考卷理21題)設(shè)函數(shù)f(x)= ax2-a-lnx,其中a∈R.

(1)討論f(x)的單調(diào)性;

本題對a進行分類討論,逐段篩選出符合條件的a的范圍．求解的辦法是對函數(shù)(或構(gòu)造的函數(shù))求導(dǎo),然后結(jié)合單調(diào)性等驗證不等式是否恒成立．這種解法既考查對不等式恒成立條件正面的探究過程,又考查不等式恒成立的否定過程,對考生能力要求高,命題者把其作為高考壓軸題的首選題型,活躍在高考試題中多年．其姐妹題為2016高考卷四川文第21題:

設(shè)函數(shù)f(x)=ax2-a-lnx,g(x)=其中a∈R,e=2.718···為自然對數(shù)的底數(shù).

(1)討論f(x)的單調(diào)性

(2)證明: 當(dāng)x＞1時,g(x)＞0.

(3)確定a的所有可能取值,使得f(x)＞g(x)在區(qū)間(1,+∞)內(nèi)恒成立.

相同類型的題目有:

(I)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;

(II)證明: 當(dāng)x＞1時,f(x)＜x-1;

(III)確定實數(shù)k的所有可能取值,使得存在x0＞1,當(dāng) x∈(1,x0)時,恒有f(x)＞k(x-1)．

3.(2015年福建高考卷理第20題)已知函數(shù)f(x)= ln(1+x),g(x)=kx(k∈R)

(I)證明: 當(dāng)x＞0時,f(x)＜x;

(II)證明: 當(dāng)k＜ 1時,存在 x0＞ 0,使得對任意x∈(0,x0),恒有f(x)＞g(x);

(III)確定k的所有可能取值,使得存在t＞0,對任意的x∈(0,t),恒有|f(x)-g(x)|＜x2．

4.(15年新課標2理科21題)設(shè)函數(shù)f(x)=emx+x2-mx．

(1?)證明: f(x)在(-∞,0)單調(diào)遞減,在(0,+∞)單調(diào)遞增;

(II)若對于任意x1,x2∈[-1,1],都有|f(x1)-f(x2)|≤e-1,求m的取值范圍．

在解此類題目中,求解以逐段篩選法為主,輔之以構(gòu)造函數(shù)、分離參變量等策略,用所學(xué)知識創(chuàng)造性地解決問題．同一類型的題目高頻率地作為高考壓軸題目出現(xiàn),一方面說明這類題目有較好的區(qū)分度,另一方面也說明中學(xué)教學(xué)對此類問題研究不夠,這也要求再高三復(fù)習(xí)教學(xué)中要善于總結(jié)逐段篩選法的一般思維方式．

當(dāng)然,含參恒成立問題的題型和解題策略遠不止這些,比如還有一次函數(shù)求解型,確定主元法,數(shù)形結(jié)合法,觀察、證明、猜想等方法．而在解題中,解題方法常是交叉使用的,且解法并不唯一．

恒成立問題對學(xué)生思維能力的要求遠遠高于對知識的理解與一般意義上的運用,它是一種用于檢測學(xué)生數(shù)學(xué)素質(zhì)和思維能力的好載體,因此,含參恒成立問題深受命題者的青睞,它必將繼續(xù)成為今后數(shù)學(xué)高考的一個熱點,并且其命題背景還會更豐富．G·波利亞在《數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)》中曾說: “數(shù)學(xué)的技能比知識更重要．”因此,教師在復(fù)習(xí)過程中更要著重闡述分析問題和解決問題的一般規(guī)律和解題策略,從而讓復(fù)習(xí)更有效．

[1]朱永江．基于高中數(shù)學(xué)的恒成立問題分析[J]．開封教育學(xué)院學(xué)報, 2015,(3): 230-231

[2]趙忠平．年年“題”不同歲歲“法”相似——高考全國卷不等式恒成立成立求參數(shù)范圍問題的解法分析[J]．教學(xué)與管理,2012,(1): 72-73

[3]宋國清．談不等式恒成立問題的基本類型和常見解法[J]．?dāng)?shù)學(xué)教研, 2013,(19): 42-43

[4]楊潔．新課標中函數(shù)恒成立問題的解法[J]．凱里學(xué)院學(xué)報,2014, (12): 171-173