“平面向量數(shù)量積在三角形中的應(yīng)用”觀摩的思考
——基于偶偉國老師的一節(jié)示范課*

●仝 建 (南京市大廠高級中學(xué) 江蘇南京 210044)

“平面向量數(shù)量積在三角形中的應(yīng)用”觀摩的思考
——基于偶偉國老師的一節(jié)示范課*

●仝 建 (南京市大廠高級中學(xué) 江蘇南京 210044)

基于偶偉國老師執(zhí)教的一節(jié)示范課“平面向量數(shù)量積在三角形中的應(yīng)用”，探究高效課堂形成的原因，提出高效課堂需注意留白的藝術(shù)、善用變式、營造積極心理場、注意“過渡”的設(shè)計(jì)、敢于放手.文章指出提高課堂實(shí)效，教師必須苦練“內(nèi)功”，不斷提高自身對數(shù)學(xué)學(xué)科、所教學(xué)生、教學(xué)藝術(shù)的理解水平.

數(shù)量積；三角形；示范課；高效課堂；原因分析

1 背景

2015年12月，江蘇省蘇州市第十中學(xué)舉行的江蘇省“師陶杯”頒獎會上，省特級教師偶偉國以“平面向量數(shù)量積在三角形中的應(yīng)用”為題上了一節(jié)示范課，授課對象為該校某高一班級學(xué)生.筆者有幸到現(xiàn)場學(xué)習(xí)了這節(jié)課，感觸頗深，收益良多.在偶老師的課堂上，學(xué)生情緒愉快，思考積極，教師引導(dǎo)合理、高效.課后通過學(xué)生訪談、反復(fù)學(xué)習(xí)偶老師這節(jié)課的教學(xué)錄像，發(fā)現(xiàn)偶老師高效課堂形成的原因，并談?wù)勛约旱膸c(diǎn)思考.

2 教學(xué)實(shí)錄

2.1 知識回顧

師：今天我們要用平面向量數(shù)量積解決三角形中的問題.數(shù)量積大家熟悉吧？

生(眾)：熟悉.

師：能把數(shù)量積的計(jì)算公式說一下嗎？

生(眾)：a·b=|a|·|b|cosθ.

師(板書,并和學(xué)生一起說出公式):這里的θ是什么？

生(眾)：2個向量a與b的夾角.

師：夾角要注意什么？

生(眾)：共起點(diǎn).

師：2個向量要共一個起點(diǎn)，2個向量夾角的范圍知道嗎？

生(眾)：[0，π).

師：數(shù)量積還有其他公式嗎？

生(個別)：沒了.

師：假如把向量a的坐標(biāo)記成(x1，y1)，把向量b的坐標(biāo)記成(x2，y2)，還可以得到什么公式？

生(眾)：a·b=x1x2+y1y2.

評注 偶教師開門見山地直接提出研究課題，一句“數(shù)量積大家熟悉吧”喚起了全體學(xué)生的對課題的注意.從學(xué)生熟悉的內(nèi)容(數(shù)量積計(jì)算公式)出發(fā)帶動全體學(xué)生回顧基礎(chǔ)知識，使每一個學(xué)生都能走進(jìn)課堂，同時不留痕跡地指出學(xué)生在知識理解上的易錯點(diǎn)——向量的夾角要使2個向量共起點(diǎn).同時注意到：偶老師在課的開始階段，多是“口語化”的交流，看似零碎，但師生交流的氛圍好,學(xué)生能積極愉快地參與.筆者認(rèn)為在課的開始階段，“口語化”應(yīng)多于“書面化”表達(dá),這樣更容易拉近師生的距離，把學(xué)生的注意力吸引到課堂中來.相反地，若一節(jié)課開始階段，“書面化”表達(dá)過濃，則會導(dǎo)致師生無法共鳴，學(xué)生的思維難以被激活，從而可能導(dǎo)致師生在不同“頻道”交流的尷尬現(xiàn)象.當(dāng)然，教師要根據(jù)學(xué)生的情況作好“口語化”與“書面化”的平衡.

師：一個是跟向量模及夾角有關(guān)，一個是與坐標(biāo)有關(guān).同學(xué)們，你們前面用向量的數(shù)量積解決了什么問題？

生(個別)：沒解決什么問題，解決了數(shù)學(xué)問題.

師：解決了數(shù)學(xué)問題，看來老師問的問題不太好.大家看看數(shù)量積的公式跟什么有關(guān)？

生(眾)：跟角有關(guān)，跟模有關(guān).

評注 偶老師說“看來老師問的問題不太好”，坦誠地在學(xué)生面前指出自己提問不好，把學(xué)生的不正確回答歸因到自己身上，這樣可以有效減少學(xué)生由于擔(dān)心答錯問題而產(chǎn)生的不敢回答問題、不敢展示自己想法的現(xiàn)象,有助于學(xué)生積極、主動地思考.接著，偶老師馬上又修改了自己的問題“數(shù)量積的公式跟什么有關(guān)”，為學(xué)生思考指出了更加明確的方向.通過由遠(yuǎn)及近的問題，激活了學(xué)生的思維，并及時根據(jù)學(xué)生情況，調(diào)整問題的開放度.這當(dāng)然不是偶老師的問題不好，而是教學(xué)藝術(shù)和智慧的體現(xiàn).

師：通過向量的數(shù)量積可以研究向量的模、向量的夾角.當(dāng)然，它還可以研究其他的內(nèi)容.今天這堂課，我們用向量的數(shù)量積研究與三角形有關(guān)的問題.

2.2 例題評析

圖1

教師用PPT投影并讀題如下：

師(見沒有學(xué)生搶答)：口算不行了吧？大家算算看，困難來了.

(學(xué)生們開始安靜思考、計(jì)算, 教師在黑板上畫出△ABC.)

(教師根據(jù)生1的回答進(jìn)行板書.)

生(眾):轉(zhuǎn)化.

生(眾):基底.

師：同學(xué)們說得很好!

師：這個三角形是確定的嗎?

生(眾):是的,2條邊夾1個角.

師：你能把這條邊AB算出來嗎？

(學(xué)生安靜思考片刻后，教師提醒有困難的學(xué)生可以一起討論.)

師：設(shè)想一下，能算嗎？

生(眾)：可以，接下來拆開.

師：生2的想法是把一個向量轉(zhuǎn)化為一組基底向量，最后通過平方的辦法轉(zhuǎn)化為長度.這個想法好不好？

生(鼓掌)：好！

師：還有其他不同的想法嗎？

(教師注意到學(xué)生的表情，示意一位學(xué)生回答.)

生3：過點(diǎn)A作AH⊥BC，交BC的延長線于點(diǎn)H，在Rt△ABH中，即可解得.

師(結(jié)合黑板上的圖形)：這就是“化斜為直”，用初中的知識就能解決了，但初中肯定沒有向量的方法.大家看，向量很奇特吧，現(xiàn)在△ABC的3條邊都是確定的.在這道題的條件下，你能提出其他問題嗎？

生4：求∠B的大小可以通過∠B的余弦值求得.

(其他學(xué)生提出的問題此處從略.)

評注 波利亞給出解題的4個步驟：理解題意，擬定計(jì)劃，執(zhí)行計(jì)劃，回顧[1]. 偶老師的教學(xué)中，特別重視解題后的回顧，這恰是不少教師在解題教學(xué)中容易忽視的地方.在生1解答之后，馬上引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)出解題的策略(向量轉(zhuǎn)化)及解題方法(基底法), 使例題的功能得以充分發(fā)揮，解題方法得以固化. 通過追問“求邊AB的長”，鞏固例題教學(xué)形成的成果，同時也充分展示學(xué)生的不同想法，在通法(基底法)和巧法(化斜為直)中達(dá)到平衡.

2.3 變式練習(xí)

師：已知三角形的2條邊和它們的夾角，借助向量可以求出第3條邊和其他的2個角.

再看下面的問題(PPT展示變式1)：

師(點(diǎn)評后)：這3個數(shù)量積在等邊三角形中是相等的.現(xiàn)在提這么一個問題：假如這3個數(shù)量積都相等，這個三角形是不是等邊三角形呢？

PPT投影變式2：

(學(xué)生們安靜思考.)

生6：考慮到向量數(shù)量積的幾何意義與投影有關(guān).作BT⊥AC，垂足為T，則

從而

(師板書并對該學(xué)生的說的式子用數(shù)量積進(jìn)行解釋).

師：用向量投影概念進(jìn)行快速處理，太棒了！

(學(xué)生自發(fā)鼓掌，其他學(xué)生對變式2的回答此處從略.)

師：將變式2中的問題反過來，看下面的問題.

PPT展示變式3：

(教師板書并畫圖說明點(diǎn)P是△ABC的垂心，即3條高線的交點(diǎn).)

師：三角形除了垂心，還有重心(3條中線的交點(diǎn))、外心(3條中垂線的交點(diǎn))、內(nèi)心(3個內(nèi)角平分線的交點(diǎn))，它們都與向量有相應(yīng)的關(guān)系.請感興趣的同學(xué)課后研究.下面我們看2道練習(xí)題.

2.4 感受高考

A.|b|=1 B.a⊥b

(2015年安徽省數(shù)學(xué)高考理科試題第8題)

(2015年福建省數(shù)學(xué)高考理科試題第9題)

(學(xué)生解答及教師評講過程從略.)

評注 “如何保證課堂教學(xué)的后半段，學(xué)生也能思維活躍、不知疲倦地積極參與”是不少一線教師困惑的問題.注意到偶老師設(shè)計(jì)的例1特殊化就是變式1，通過調(diào)換變式1中的條件和結(jié)論得到變式2，變式3是變式2的一個反問題，這是一串緊密聯(lián)系的問題組合,吸引學(xué)生不斷深入下去，使學(xué)生的思考更加深入. 2道練習(xí)題是當(dāng)年的高考題，對學(xué)生來說頗具新鮮感，有想試一試、挑戰(zhàn)一下的沖動. 精心選擇的問題加上教師充滿激情的講解與引導(dǎo)，使得學(xué)生在本節(jié)課的后半段也一直處在智力振奮的狀態(tài).

2.5 回顧總結(jié)

(此處從略.)

3 課后的訪談

課后筆者對部分學(xué)生進(jìn)行簡單訪談，并參與了偶老師對這節(jié)課的座談會.

3.1 學(xué)生訪談

課后筆者隨機(jī)對上課的學(xué)生進(jìn)行訪談.

筆者：你對這節(jié)課的總體感受如何？

生1：感覺時間過得特別快，很開心.

生2：后面的問題很“燒腦子”，有意思.

筆者：你對老師的總體感受如何？

生3：老師上課很有趣，聽他的課很愉快.

生4：這位老師上課我肯定不會睡覺的，他的課很有意思.

3.2 偶老師談本節(jié)課課題的確定

偶老師在課后的交流中談到：“一開始接到的課題是‘平面向量數(shù)量積的應(yīng)用’，題很大，可以圍繞向量的數(shù)量積、求模、求夾角這3個方面鋪得很開，但容易散，難以深入.因此我選擇了‘平面向量數(shù)量積在三角形中的應(yīng)用’，這個課題切口小，好深入. ”

4 幾點(diǎn)思考

4.1 注意留白的藝術(shù)

“留白”起源于繪畫藝術(shù)，在作品中留有空白，可以增加藝術(shù)美感和想象空間.在本節(jié)課中，偶老師為學(xué)生留足了思考的時間，學(xué)生有思考的余地.如變式問題提出后，總能出現(xiàn)學(xué)生安靜思考的狀態(tài).有的問題(如變式3之后偶老師提到重心、外心、內(nèi)心都與向量有相應(yīng)的關(guān)系.請感興趣的同學(xué)課后研究)，不講完，留一點(diǎn)，留給學(xué)生思考的空間，這個思考的時空可以是課上，也可以是課下.偶老師恰當(dāng)使用“留白”的藝術(shù)，延展了課堂時空，增強(qiáng)了課堂實(shí)效.

4.2 善用變式教學(xué)

變式教學(xué)是指教師有目的、有計(jì)劃地對命題進(jìn)行合理地轉(zhuǎn)化.教師通過不斷變更問題中的非本質(zhì)特征、變換問題中的條件或結(jié)論、轉(zhuǎn)換問題的內(nèi)容和形式等，但應(yīng)保留問題中的本質(zhì)因素，從而使學(xué)生掌握數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)屬性.當(dāng)下市場上的復(fù)習(xí)資料，大多會在例題后面給出一道或幾道所謂的“變式”，但實(shí)際上多是同類問題的累加，并非真正的變式，甚至和例題只是形似，并無本質(zhì)關(guān)系.

4.3 善于營造積極心理場

美國心理學(xué)家、拓?fù)湫睦韺W(xué)的創(chuàng)始人勒溫認(rèn)為：人就是一個場，人的心理現(xiàn)象具有空間的屬性，人的心理活動也是在一種心理場或生活空間中發(fā)生的.也就是說，人的行為是由場決定的.心理場主要是由個體需要和他的心理環(huán)境相互作用的關(guān)系所構(gòu)成[2].

本節(jié)課是借班上課，上課地點(diǎn)是學(xué)校的階梯教室，后面還有不少聽課教師.這種情況下，師生難免都會有些緊張.上課的一開始，偶老師通過 “拉家?！钡囊粏柸捍鹗剑瑺I造輕松愉快的課堂氛圍，后續(xù)其間有個別回答，有教師真誠的鼓勵，也有委婉的批評和激將，又有學(xué)生對學(xué)生由衷的贊嘆，還有教師的自我批評等等.這些都構(gòu)成了師生積極愉快的心理場, 就像訪談時幾位學(xué)生所說“時間過得快，很開心”“有趣、愉快、有意思”. 學(xué)生在這樣的課堂環(huán)境中，思維更容易被激活, 參與更有深度，課堂效果更好.

4.4 注意“過渡”的設(shè)計(jì)，打造自然的課

一節(jié)課除了設(shè)計(jì)出各個教學(xué)環(huán)節(jié)，還要注意各個環(huán)節(jié)之間的“過渡”的設(shè)計(jì)，就像主持節(jié)目，要“串好詞，連成線，構(gòu)成一個整體”. 偶老師指出：“向量數(shù)量積可以研究模，可以研究夾角.當(dāng)然，它還可以研究其他的內(nèi)容.今天的這堂課，我們用向量的數(shù)量積研究與三角形有關(guān)的問題.”由此自然引入例題，實(shí)現(xiàn)了從數(shù)量積知識的回顧到例題講評的過渡.例題評講中的追問也是自然產(chǎn)生，例題和變式之間以及后面的反饋練習(xí)，環(huán)環(huán)相扣，層層遞進(jìn)，不同環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)換都有好的“過渡語”. 各個環(huán)節(jié)之間“過渡”自然，使本節(jié)課成為有機(jī)整體，這也應(yīng)是高效課堂的成因之一.

4.5 敢于放手源于學(xué)科功底深厚

經(jīng)常有專家在評課中提到，要敢于放手，潛臺詞是教師放手還不夠.是什么原因使得教師不敢放手呢？在筆者和其他教師的交流中發(fā)現(xiàn)：很多教師不是不知道放手的好處，而是缺少放手的底氣，放開了，還能引導(dǎo)好學(xué)生嗎？能解決課堂上學(xué)生提出的問題嗎？能收得了場嗎？

本節(jié)課偶老師基于學(xué)生，敢于放手.課堂上的不少問題是由學(xué)生自己提出來的，如“在例1的條件下，提出求∠B”等.大膽放手，自然有利于培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性和創(chuàng)造性.《孟子·盡心下》中說:“賢者以其昭昭，使人昭昭. ”我們無法交給別人自己沒有的東西，同樣地也無法教會別人自己不會的東西. 偶老師敢于放手，正是源于他深厚的學(xué)科功底，及由此產(chǎn)生的高度教學(xué)自信(包括偶老師對課題作了一定的修改)，可謂是藝高人膽大. 章建躍博士認(rèn)為：教學(xué)設(shè)計(jì)能力是教師專業(yè)水平和教學(xué)能力的關(guān)鍵，其本質(zhì)是理解數(shù)學(xué)、理解學(xué)生、理解教學(xué)的水平和能力[3]. 可見要提高課堂實(shí)效，教師必須苦練“內(nèi)功”，不斷提高自身對數(shù)學(xué)學(xué)科、所教學(xué)生、教學(xué)藝術(shù)的理解水平.

5 結(jié)語

偶老師的這一節(jié)課基于數(shù)學(xué)的深刻理解和學(xué)情的精準(zhǔn)把握，充分地展現(xiàn)了精湛的教學(xué)藝術(shù).特級教師的特別之處在哪里？筆者認(rèn)為在于教師對數(shù)學(xué)學(xué)科特別深刻的理解，是學(xué)科知識的行家里手；在于對學(xué)生的理解與尊重，在此基礎(chǔ)上形成良好的教學(xué)方法和教學(xué)藝術(shù)，組織學(xué)生切實(shí)地做好了“數(shù)學(xué)地交流和互動”，并形成了自己的獨(dú)特風(fēng)格.

[1] 波利亞.怎樣解題[M].上海：上海科技出版社，2007.

[2] 仝建. 高立意低實(shí)效之追因[J].中小學(xué)數(shù)學(xué)：高中版，2016(6)：26-28.

[3] 章建躍.在“落實(shí)立德樹人根本任務(wù)全面深化課程教學(xué)改革”中再立新功[J].中國數(shù)學(xué)教育：高中版，2015(1/2)：3-5.

??2016-11-03；

2016-12-06

仝 建(1980-)，男，安徽靈璧人，中學(xué)一級教師.研究方向：數(shù)學(xué)教育.

O123.1

A

1003-6407(2017)03-09-04