開放和諧 參與無界
——高中數(shù)學課堂中提升學生主體參與的6個維度*

●方 治 (義烏中學 浙江義烏 322000)

開放和諧 參與無界
——高中數(shù)學課堂中提升學生主體參與的6個維度*

●方 治 (義烏中學 浙江義烏 322000)

當下的高中數(shù)學課堂，學生學習興趣不高，主體參與熱度不夠.文章立足高中數(shù)學課堂教學，以提升學生的主體參與度為切入點，從創(chuàng)設多樣情境、關注動態(tài)生成、開展問題探究、設置變式問題鏈、鼓勵提出問題、借助媒體教學這6個維度展開實踐研究.

主體參與;高中數(shù)學課堂教學;6個維度

當下的高中數(shù)學課堂存在著一種普遍現(xiàn)象：教師講的多，學生聽的多；教師展現(xiàn)的多，學生看的多；教師自問自答的多，學生隨聲附和的多；關鍵處被教師點破的多，學生一知半解的多.究其原因是課堂上學生的主體參與度不夠，學生對學習內容缺少自己的思考與理解.

《基礎教育課程改革綱要》中明確提出：教學要改變過于強調接受學習、死記硬背、機械訓練的現(xiàn)狀，倡導學生主動參與、樂于探索、勤于動手，培養(yǎng)學生搜集和處理信息的能力、獲取知識的能力，分析和解決問題的能力以及交流與合作的能力[1].北京師范大學曹才翰教授指出：數(shù)學學習是再創(chuàng)造再發(fā)現(xiàn)的過程，必須要主體的積極參與才能實現(xiàn)這個過程[2].華東師范大學孔企平教授認為：主體參與是指學生在課堂數(shù)學學習中的心理活動方式和行為努力程度，它包括行為、情感和認知參與[3].

因此，高中數(shù)學教師在課堂教學中要采取各種教學措施，調動學生的學習積極性、主動性和創(chuàng)造性，激發(fā)學生全方位和深層次地參與，實現(xiàn)“自主學習、掌握知識、發(fā)展能力和促進學生的主體性發(fā)展”的目標.

1 創(chuàng)設多樣化情境，引發(fā)學生參與的趣度

布朗、柯林和杜吉德在一篇名為《情境認知與文化》的論文中提出：知識絕不能從它本身所處的環(huán)境中孤立出來，學習知識的最好方法就是在情境中進行[4].教育家陶行知先生說:學生有了興味，就肯用全副精神去做事，學與樂不可分[5].教師如果能在一堂課的引入時就用數(shù)學美和生活化等多樣情境吸引住學生的興趣和注意力，那么對提升學生的參與度將起到事半功倍的效果.

1.1 數(shù)學美情境

在上等比數(shù)列起始課時,筆者引入了外形優(yōu)美的分形曲線——雪花曲線和謝爾賓斯基三角形設置數(shù)學美情境：

1)如圖1，假如一個等邊三角形的邊長為1，那么它在第1次分形后的邊長是多少? 分形前后的圖形邊長有何關系？

2)請觀察圖2，后一個圖形的黑色三角形數(shù)目和前一個圖形的黑色三角形數(shù)目有什么關系？

圖1

圖2

中國著名學者周海中教授認為：分形幾何不僅展示了數(shù)學之美，也揭示了世界的本質，還改變了人們理解自然奧秘的方式[6].以2個有代表性的分形曲線引出等比數(shù)列，既可以讓學生感受到數(shù)學的魅力和數(shù)學美，又可以激發(fā)學生的數(shù)學興趣和學習參與度，還可以引導學生課后做一些有關分形曲線的研究性學習.

1.2 生活化情境

在進行“簡單隨機抽樣”教學時，筆者采用了師生都非常熟悉的生活情境“買西紅柿”：菜攤上有一大堆隨意堆放的西紅柿，攤主告訴你：允許挑，一塊五一斤；不許挑，一塊一斤.你一時可能難以抉擇，也可能一拍腦袋就決定“挑”或“不挑”.其實，你把目光隨意落在所能覆蓋到的某個局部，如果10個西紅柿中有1～2個是你不能接受的，那么你就決定“不挑”；如果不能接受的達到5個及以上，那么就決定親手去“挑”.

此情境從學生熟悉的生活實際出發(fā)，抓住了學生的注意力，在自然生動引出課題的同時，提高了學生學習數(shù)學的興趣，激發(fā)了學生的主體參與.數(shù)學特級教師張思明曾經說過：我不企盼每個學生都成為數(shù)學家，但如果通過我的教學，能使學生有一種在生活中應用數(shù)學去思維的習慣，將使他們終身受益[7].

2 關注動態(tài)生成，激發(fā)學生參與的力度

葉瀾教授曾說：課堂應是向未知方向挺進的旅程，隨時都有可能發(fā)現(xiàn)意外的通道和美麗的風景，而不是一切都必須遵循固定線路而沒有激情的行程[8].因此，教師在注重教學預設的同時，更應有正確的課堂生成觀和有效應對的策略，把學生的學習主動權還給學生，引發(fā)學生思維發(fā)動、情感投入、興趣激發(fā)、智慧共享，把課堂生成當做一次美麗的邂逅納入教學當中，當生成淺表化時，在肯定中引導；當生成有偏差時，在補偏中認可；當生成有錯誤時，在糾誤中否定；當生成超出預設時，在贊許中整合.

2.1 給閃光點點贊

美國著名心理學家詹姆士說：人類本質中最殷切的需要是渴望被肯定與贊美[9]. 教師應該細心捕捉學生的精彩生成，在恰當?shù)臅r機給學生點贊，但要注意分寸，既不無限夸大，也不吝嗇贊美.或許一個贊美的眼神、一個肯定的手勢、一句激勵的話語，都能激起學生參與的熱情和積極性.

“兩角和的正弦公式sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ”，常規(guī)的推導方法一般都是利用兩角和或差的余弦公式和誘導公式進行推導.筆者在課堂上對該公式進行推導的時候，并沒有急著告訴學生推導的方法，而是給了學生一定的思考時間，結果學生的精彩生成讓筆者眼前一亮：

1)當α為銳角時(如圖3所示)，

S△ABC=S△ABD+S△ADC,

sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ.

圖3 圖4

2)當α為鈍角時(如圖4所示)，

S△ABC=S△ACD-S△ABD,

推導的方法與1)類似.

在推導“余弦定理”時，學生沒有按照教師預設的路線行進，雖未得到余弦定理，但意外生成了以下方法：

圖5

即

c2=accosB+bccosA,

從而

c=acosB+bcosA，

再運用正弦定理可知

sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB.

2.2 給錯誤點診斷

細微的錯誤點容易被學生所忽視，但它往往最能反映學生的真實狀態(tài).俗話說得好：細節(jié)決定成敗.教師要引導學生參與解題過程的嚴密性分析，并促使其形成認知沖突，找出自己出錯的原因，這樣有利于形成學生良好的思維品質.

例1 已知數(shù)列{an}滿足a1=2，a1a2…an-1=an(其中n≥2)，bn=logan2，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn.

錯解 由于a1a2…an-1=an(其中n≥2)，從而

a1a2…an-2=an-1，

于是

即

正解 由于a1a2…an-1=an(其中n≥2)，從而

a1a2…an-2=an-1，

于是

進而

故

錯解中出現(xiàn)的問題非常隱蔽，學生在進行2個式子相減或相除時常會遇到類似問題.這需要教師耐心細致地引導學生對解題過程的嚴密性進行排查，找到出錯的原因.羅增儒教授曾說過:弄清了錯解的內容和性質，使學生更接近問題的深層結構，解題的思路也隨之而開朗[10].

3 開展問題探究，引向學生參與的深度

一個好的問題往往承載著概念的本質，其中蘊含著豐富的數(shù)學思想.在數(shù)學教學中，教師要留給學生足夠的思考時間，不要以誘導或者暗示的方式把學生的思路限制在自己為他們設計好的模式中.先讓學生去唱主角，把學生推到解決問題的前沿，讓學生對具有挑戰(zhàn)性的問題進行多角度、全方位地深層次思考.

筆者在上高三向量的研究課時，拋出如下2個問題，然后留給學生充分的思考時間，結果學生對問題的深層次和多維度探究讓筆者折服.

圖6

( )

A.∠ABC=90° B.∠BAC=90°

C.AB=ACD.AC=BC

(2013年浙江省數(shù)學高考理科試題第7題)

生1：由于

即

故

AC=BC.

從而

即

故

AC=BC.

(2015年浙江省數(shù)學高考理科試題第15題)

生1：|b-(xe1+ye2)2|=|b|2+x2|e1|2+y2|e2|2+2xye1·e2-2xb·e1-2yb·e2=

|b|2+x2+y2+xy-4x-5y=

解得

x0=1,y0=2,

從而

故

圖8 圖9

生5：如圖9，由生4的解法可知

設∠BOC=θ,則

從而

于是

故

以下同生4的解法.

一碰到向量問題，就想到通過建立直角單位坐標基底來解決問題，會極大地抑制和固化學生的思維，容易使學生思維定勢.學生對上述2個問題的深度探究打破了這樣的束縛，讓向量問題散發(fā)出濃濃的幾何味，真正體現(xiàn)向量是幾何和代數(shù)的結合體.

4 設置變式問題鏈，提升學生參與的廣度

問題是數(shù)學的心臟，教師應緊密地圍繞教學內容，從不同層次學生的學習基礎出發(fā)，在學生的“現(xiàn)有水平”和“最近發(fā)展區(qū)”結合點處設計出合理的層層遞進的“問題鏈”，從而創(chuàng)造出連貫的思維環(huán)境，激發(fā)學生的學習內驅力，不斷幫助學生把“最近發(fā)展區(qū)”轉化為“現(xiàn)有發(fā)展區(qū)”，讓他們在原有基礎上都獲得發(fā)展.

上學期筆者在本地一所生源不太好的高中上了一堂高三二輪專題復習的示范課“基本不等式求最值”，考慮到學生能力一般，為了讓更多的學生參與到教學中來，筆者以一道高考真題為抓手，設計了層層遞進的變式問題鏈.

變式4 若正數(shù)x,y滿足x+3y=5xy,求3x+4y的最小值.

變式5 若正數(shù)x,y滿足x+3y=xyz,求3x+4y+z的最小值.

本問題鏈源于2012年浙江省數(shù)學高考試題(變式4),若直接拋給學生，則學生解決起來有一定的難度.從學生熟悉的問題出發(fā)，設置層層遞進的變式問題鏈，讓大多數(shù)學生在解決前面問題的基礎上解決高考試題.變式5又把高考真題引向深入，即把2個變量問題拓展成3個變量的問題，但是解決問題的核心思路沒有變.

5 鼓勵提出問題，豐富學生參與的角度

每個學生都是天生的發(fā)問者，問題是產生新思想、新方法和新知識的種子.愛因斯坦曾說過:“提出一個問題往往比解決一個問題更重要.”[11]教師在課堂上要努力創(chuàng)設問題源，鼓勵學生多角度、全方位地提出問題.

在高三求軌跡方程的復習課中，筆者提出了如下問題:

例5 在平面直角坐標系中，設A(-1，0)，B(1，0)，請再給出條件，求點P的軌跡方程.

學生給出條件后的問題歸納如下：

生1：在平面直角坐標系上，設A(-1，0)，B(1，0)，若|PA|=|PB|,求點P的軌跡方程.

生2：在平面直角坐標系上，設A(-1，0)，B(1，0)，若|PA|+|PB|=m(其中m>0),求點P的軌跡方程.

生3：在平面直角坐標系上，設A(-1，0)，B(1，0)，若||PA|-|PB||=m(其中m>0),求點P的軌跡方程.

生4：在平面直角坐標系上，設A(-1，0)，B(1，0)，若點M在以點A為圓心、4為半徑的圓上移動，求BM的中垂線與AM的交點P的軌跡方程.

生7：在平面直角坐標系上，設A(-1，0)，B(1，0)，若點C在曲線y=3x2-1上移動，求△ABC的重心P的軌跡方程.

生8：在平面直角坐標系上，設A(-1，0)，B(1，0)為橢圓x2+4y2=1的2個端點，弦P1P2⊥AB，求直線AP1與BP2的交點P的軌跡方程.

由于問題的起點比較低，因此問題一提出就引發(fā)了學生積極地參與，學生從不同角度提出的問題層出不窮.在引導學生對上述8個問題的解決過程中發(fā)現(xiàn):生1～生4提出的問題用到了定義法和幾何法;生5和生6提出的問題用到了直接法;生7提出的問題用到了轉移代入法;生8提出的問題用到了參數(shù)法和交軌法.以起點低的題干為基礎，讓學生主動參與提出問題并解決問題，對求軌跡方程的定義法、幾何法、直接法、代入法、參數(shù)法和交軌法進行了復習.

6 借助媒體教學，提高學生參與的熱度

以計算機為主要載體的現(xiàn)代媒體，可變抽象為具體，變靜態(tài)為動態(tài).教師應充分利用媒體資源來呈現(xiàn)以往教學中難以呈現(xiàn)的教學內容，動態(tài)探索數(shù)學規(guī)律.在提高學生參與熱度的同時，加深學生對數(shù)學學科抽象性和嚴密性特征的理解，從而真正實現(xiàn)媒體資源與數(shù)學學科課程的有機整合.

在探索拋物線y2=2px焦點弦的幾何性質時，為了讓學生易于發(fā)現(xiàn)性質，筆者用“幾何畫板”軟件來動態(tài)演示變中的不變性，不僅激發(fā)了學生參與課堂的熱度，而且加深了學生對性質的理解.

7 結束語

主體參與是智力因素和非智力因素二者諧振的有效機制.只有學生參與到教學中來，學生的主體地位才能真正落實，主體能力才能得以展示，學生的責任感、歸屬感和交往能力才能進一步增強.當學生的認知和情感都融入教學、實現(xiàn)自覺自主學習時，學生的思維就會被深度激活，這樣才能達到教學效果的最優(yōu)化.

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??2016-11-11；

2016-12-13

方 治(1978-)，男，浙江義烏人，中學高級教師.研究方向：數(shù)學教育.

O12

A

1003-6407(2017)03-01-05