康威-麥斯威爾-泊松分布及其統(tǒng)計(jì)與概率性質(zhì)*

姜 培 華

(安徽工程大學(xué) 數(shù)理學(xué)院,安徽 蕪湖 241000)

康威-麥斯威爾-泊松分布及其統(tǒng)計(jì)與概率性質(zhì)*

姜 培 華

(安徽工程大學(xué) 數(shù)理學(xué)院,安徽 蕪湖 241000)

康威-麥斯威爾-泊松分布是一個有用的離散分布，它是擴(kuò)展的兩參數(shù)泊松分布，有關(guān)此分布的統(tǒng)計(jì)和概率性質(zhì)被廣泛研究和探索；文章以矩母函數(shù)為工具討論了該分布的數(shù)字特征和矩，給出了參數(shù)點(diǎn)估計(jì)的隱式方程和費(fèi)希爾信息矩陣；最后研究了參數(shù)的共軛分布、共軛分布的邊際分布和條件分布.

康威-麥斯威爾-泊松分布;矩;點(diǎn)估計(jì);信息矩陣;共軛族;指數(shù)族

泊松分布是一種應(yīng)用廣泛的離散型概率分布，在很多研究領(lǐng)域中所獲得的數(shù)據(jù)往往滿足泊松假定. 由于泊松分布是單參數(shù)分布，使得其在某些應(yīng)用領(lǐng)域描述數(shù)據(jù)時具有很大的局限性. 眾所周知，泊松分布的期望和方差是相等的，即它適合處理等度分散的數(shù)據(jù). 對于過度分散(方差大于均值)和低度分散(方差小于均值)的數(shù)據(jù)泊松分布就無能為力，即便用其刻畫描述效果也不夠理想.一種解決辦法是假定泊松分布的強(qiáng)度參數(shù)λ服從一個隨機(jī)分布，這樣就產(chǎn)生一個復(fù)合的層次分布,如文獻(xiàn)[1]. 先前對于過度分散的數(shù)據(jù)常用負(fù)二項(xiàng)分布來處理，而對于低度分散的數(shù)據(jù)泊松分布和負(fù)二項(xiàng)分布均不適合描述和刻畫.為了更好地處理過度分散和低度分散的數(shù)據(jù)，一些概率分布被逐漸提出，如文獻(xiàn)[2]中的加權(quán)泊松分布(WP)，文獻(xiàn)[3]的中廣義泊松分布(GP), 這兩種分布都可以看作是泊松分布的推廣. 為使泊松分布的使用范圍更廣泛，更符合實(shí)際，學(xué)者Conway R W and Maxwell W L在文獻(xiàn)[4]中引入一種新的雙參數(shù)泊松分布，在保留強(qiáng)度參數(shù)λ的前提下，增加了一個新的散度參數(shù)ν，稱之為Conway-Maxwell-Poisson (CMP) 分布. CMP分布不僅推廣了泊松分布，而且還包含了貝努利分布和幾何分布兩種特殊情形.Wimmer G等在文獻(xiàn)[5]和[6]中運(yùn)用CMP分布研究單詞的長度.文獻(xiàn)[7]中Boatwright P S, Borle S, and Kadane J B在客戶關(guān)系管理研究中用CMP分布來刻畫顧客連續(xù)兩次交易的時間間隔. Galit Shmueli G等在文獻(xiàn)[8]中重點(diǎn)研究了CMP分布中參數(shù)的估計(jì)問題.文獻(xiàn)[9]中Sellers K F等利用CMP分布構(gòu)造統(tǒng)計(jì)模型，研究其在市場營銷、交通和生物等領(lǐng)域的應(yīng)用.

1 CMP分布及其特例

CMP分布是泊松分布的深度推廣，散度參數(shù)ν的引入使得其適用范圍更加廣泛，不僅保留了刻畫等度分散數(shù)據(jù)的性質(zhì)，而且還具備了研究過度分散和低度分散數(shù)據(jù)的特性. CMP(λ,ν)的概率分布如下：

(1)

(2)

其中，參數(shù)λ>0,ν≥0.對于式(2)容易看出其是關(guān)于λ的一個冪級數(shù)，注意到當(dāng)λ>0,ν>0時，此級數(shù)的后一項(xiàng)與前一項(xiàng)的比滿足：

當(dāng)1>λ>0,ν=0時，有

(3)

總之，對于參數(shù)λ>0,ν≥0，式(2)是收斂的.

CMP(λ,ν)分布是泊松分布的推廣，其包含了一些眾人皆知的離散概率分布，對其參數(shù)取特殊值可得：

1)當(dāng)ν=1,Z(λ,ν)=eλ時，CMP(λ,ν)分布即為傳統(tǒng)的泊松分布P(λ).

3)當(dāng)ν=0,0<λ<1,Z(λ,ν)=(1-λ)-1時，CMP(λ,ν)分布就退化為幾何分布：

當(dāng)ν=0,λ>1時，級數(shù)Z(λ,ν)不收斂，無法定義概率分布.

2 CMP分布的矩母函數(shù)和數(shù)字特征

矩母函數(shù)(Moment Generating Function簡稱MGF)是研究隨機(jī)變量分布律和數(shù)字特征的一個重要分析工具.在統(tǒng)計(jì)學(xué)中，矩又被稱為動差，矩母函數(shù)又被稱為動差函數(shù). 矩母函數(shù)的一個重要性質(zhì)是它能把隨機(jī)變量復(fù)雜的卷積運(yùn)算轉(zhuǎn)化為相對簡單的乘法運(yùn)算.本節(jié)首要介紹CMP分布的矩母函數(shù)，然后利用矩母函數(shù)作為工具研究CMP分布的數(shù)字特征.

若隨機(jī)變量X～CMP(λ,ν)分布，則其矩母函數(shù)MX(t)為

定理1 設(shè)隨機(jī)變量X～CMP(λ,ν)分布，則有

1)X的期望和方差分別為

2) 對于非負(fù)整數(shù)l，X的高階矩具有如下遞推公式:

證明 1) 借助矩母函數(shù)MX(t)求導(dǎo)可得:

(4)

(5)

利用方差的計(jì)算公式，可得:

(6)

2) 對于非負(fù)整數(shù)l，分情況來討論，當(dāng)l=0時，有

即l=0時，E(X)=λ[E(X+1)1-ν]成立.

E(Xl+1)-E(X)E(Xl)

3 參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)和費(fèi)希爾信息陣

證明 由定理1中的1)知：

E(X2)=Var(X)+E2(X)=

化簡整理可得定理2成立.

證明 給定樣本(X1,X2,…,Xn)后，對數(shù)似然函數(shù)可表示為

(7)

對式(7)關(guān)于參數(shù)λ,ν分別求偏導(dǎo)數(shù)，并令其為0可得似然方程組：

化簡整理即為

故定理3成立.

定理4 設(shè)隨機(jī)變量X～CMP(λ,ν)分布，則參數(shù)λ,ν的費(fèi)希爾信息陣如下：

其中，

證明 由式(1)知X的概率函數(shù)為

對概率函數(shù)取對數(shù)，并關(guān)于參數(shù)λ求導(dǎo)可得：

(8)

(2)同理對參數(shù)ν，有

注意到

-E[ln(x!)]

(9)

從而可得：

(10)

另一方面，有

合并整理可得：

所以信息量I22(λ,ν)為

I22(λ,ν)=Var[ln(x!)]=E[ln(x!)]2-E2[ln(x!)]=

(11)

下面計(jì)算信息量I12(λ,ν)和I21(λ,ν).

-λ-1{E[xln(x!)]-E(x)E[ln(x!)]}

-λ-1{E[xln(x!)]-E(x)E[ln(x!)]}

所以有

I12(λ,ν)=-λ-1{E[xln(x!)]-E(x)E[ln(x!)]}=

(12)

同理可得：

(13)

綜上所述，定理4成立.

4 CMP分布參數(shù)的貝葉斯分析

設(shè)總體X服從參數(shù)為(λ,ν)的CMP分布，(x1,x2,…,xn)為其一組樣本觀測值，可得其似然函數(shù)為

exp{S1lnλ-S2ν}Z-n(λ,ν)

(14)

既然CMP分布屬于指數(shù)分布族，那么其參數(shù)應(yīng)具有共軛先驗(yàn)分布，定理5給出了CMP分布的共軛先驗(yàn)分布族.

定理5 設(shè)總體X服從參數(shù)為(λ,ν)的CMP分布，(x1,x2,…,xn)為其一組樣本觀測值，則參數(shù)(λ,ν)的共軛先驗(yàn)分布具有如下形式：

π(λ,ν)=λa-1e-bνZ-c(λ,ν)κ(a,b,c),λ>0,ν≥0

其中κ(a,b,c)為一積分常數(shù)，且滿足：

證明 假定參數(shù)(λ,ν)的先驗(yàn)分布為

π(λ,ν)=λa-1e-bνZ-c(λ,ν)κ(a,b,c),λ>0,ν≥0

給定一組樣本觀測值x1,x2,…,xn，則參數(shù)的后驗(yàn)分布為

(15)

利用后驗(yàn)分布可計(jì)算參數(shù)λ的后驗(yàn)均值：

(16)

給定超參數(shù)a,b,c后，分布的預(yù)測概率函數(shù)為

(17)

由于參數(shù)的共軛分布是二元分布，進(jìn)一步考察其邊際分布和條件分布，由定理5知，CMP分布參數(shù)的共軛分布具有如下形式：

π(λ,ν)=λa-1e-bνZ-c(λ,ν)κ(a,b,c)

λ>0,ν≥0

其中，a>0,b>0和c>0是超參數(shù). 其邊際密度函數(shù)可以表示為

進(jìn)而可得給定參數(shù)λ后ν的條件概率密度為

(18)

同理參數(shù)ν的邊際密度可表示為

給定參數(shù)ν后λ的條件概率密度為

(19)

對散度參數(shù)ν取特殊值(ν=0,1,+∞)，條件密度函數(shù)(19)可退化為兩個常見的概率分布：

若令Y=λ(1+λ)-1，當(dāng)ν→+∞,有

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責(zé)任編輯：李翠薇

The Conway-Maxwell-Poisson Distribution and Its Statistical and Probabilistic Properties

JIANG Pei-hua

(School of Mathematics and Physics, Anhui Polytechnic University, Anhui Wuhu 241000, China)

the Conway-Maxwell-Poisson distribution is a useful discrete distribution, this distribution is a two-parameter extension of the Poisson distribution. Its statistical and probabilistic properties are researched and explored. Taking the moment generating function as a tool, the digital features and moment of the distribution are discussed, the implicit equations about the point estimates of parameters are given, the Fisher information matrix about parameters is derived. Finally we study the conjugate distribution about parameters, the marginal distributions of the conjugate distribution and conditional distributions.

Conway-Maxwell-Poisson distribution; moment; point estimation; information matrix; conjugate family; exponential family

10.16055/j.issn.1672-058X.2017.0001.001

2016-04-11;

2016-05-28.

國家自然科學(xué)基金(11401006)；2015年安徽省高等教育提升計(jì)劃省級自然科學(xué)研究一般項(xiàng)目(TSKJ2015B29)；安徽工程大學(xué)教學(xué)研究項(xiàng)目(2014JYXM32)；安徽省自然科學(xué)基金(1208085QA04).

姜培華(1979-)，男，山東曹縣人，講師，碩士，從事概率統(tǒng)計(jì)和隨機(jī)過程研究.

O213.2

A

1672-058X(2017)01-0001-05