數(shù)學(xué)史滲透到“近世代數(shù)”教學(xué)的探索研究

胡俊美　張紅梅　郭秀英　趙士欣　郭志芳

摘 要 數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育的有機(jī)融合是近世代數(shù)教學(xué)改革的一個(gè)新視角，本文以群論為例，闡述了數(shù)學(xué)史融入群論教學(xué)的必要性，從實(shí)踐層面提出了數(shù)學(xué)史融入到群論教學(xué)的主要途徑，說明了數(shù)學(xué)史在揭示數(shù)學(xué)本質(zhì)、啟發(fā)學(xué)生思維以及培養(yǎng)學(xué)生探索創(chuàng)新能力上的重大作用。

關(guān)鍵詞 近世代數(shù) 群論 數(shù)學(xué)史

中圖分類號(hào)：G424 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A DOI：10.16400/j.cnki.kjdkx.2017.01.052

1 群論教學(xué)現(xiàn)狀

美國學(xué)者比德維爾曾說：“課堂中，我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)常常會(huì)將自己置身于一座孤島之中，每天一次去島上領(lǐng)略數(shù)學(xué)，深入研究那些純粹、潔凈、邏輯嚴(yán)謹(jǐn)、脈絡(luò)清晰，毫無雜質(zhì)的角落。我們認(rèn)為數(shù)學(xué)是封閉的、呆板的、毫無情感的，且一切已經(jīng)發(fā)現(xiàn)好了的。它完全存在于課本或教師的頭腦中，只需去挖掘與吸收”。①

這是對(duì)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)課堂的精辟論述，群論課堂也是如此，教材和教師很少關(guān)注數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)現(xiàn)背景與形成過程，而把更多的精力投入到知識(shí)點(diǎn)的連貫性與邏輯上，使學(xué)生感覺定義或定理的出現(xiàn)非常突兀，更不知道其緣何出現(xiàn)，有何作用。群論以高度抽象化和符號(hào)化的特點(diǎn)令許多學(xué)生望而生畏，甚至產(chǎn)生厭煩心理。

在群論教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)史知識(shí)，介紹數(shù)學(xué)知識(shí)產(chǎn)生的歷史背景能夠提高學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，明確學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)；追溯數(shù)學(xué)概念和思想方法的發(fā)展演變過程有助于加強(qiáng)學(xué)生對(duì)相關(guān)知識(shí)點(diǎn)的理解掌握，培養(yǎng)其邏輯思維能力和推理能力；介紹數(shù)學(xué)家的奇文軼事能夠活躍課堂氣氛，激發(fā)學(xué)生探索精神與創(chuàng)新精神。

2 群論概念中數(shù)學(xué)史的滲透

教材中數(shù)學(xué)概念大都是直接給出的，以群的概念為例，張禾瑞的《近世代數(shù)基礎(chǔ)》中這樣定義群：②

一個(gè)不空集合G對(duì)一個(gè)叫做乘法的代數(shù)運(yùn)算來說作成一個(gè)群，假如

I. G對(duì)于這個(gè)乘法來說是閉的；

II. 結(jié)合律成立：a（bc）=（ab）c，對(duì)于G中任意三個(gè)元a，b，c都對(duì)；

III. 對(duì)于G中任意兩個(gè)元a，b來說，方程ax=b和ya=b在G中都有解。

這個(gè)定義簡潔而抽象，早已失去了群概念的本來面目，學(xué)生更不知道它是如何出現(xiàn)的，此處教師可介紹群論的三個(gè)來源，③即經(jīng)典代數(shù)、數(shù)論和幾何。

2.1 經(jīng)典代數(shù)

19世紀(jì)以前，代數(shù)學(xué)的主題一直是解方程。大約在公元前1600年，巴比倫人找到了二次方程的求根公式；1540年左右，意大利人費(fèi)羅、菲奧爾，特別是塔爾塔利亞和卡爾達(dá)諾的工作為三次和四次方程的根式解畫上了圓滿的句號(hào)。在接下來兩個(gè)世紀(jì)的時(shí)間里，代數(shù)學(xué)的中心任務(wù)一直都是求五次及五次以上方程的根式解，這就是拉格朗日在1770年的論文中所做的工作。拉格朗日通過考慮方程根的有理函數(shù)開辟了置換理論研究的先河，雖然他只是談到了置換，并沒有考慮置換的“演算”（比如沒有考慮它們的合成及封閉性），但可以說他的工作中已經(jīng)表現(xiàn)出群（作為置換群）的概念的雛形。而置換群與代數(shù)方程之間的關(guān)系的完全描述是伽羅瓦在1830年左右給出的，這一工作在若爾當(dāng)?shù)镍櫰拗吨脫Q與代數(shù)方程專論》才得到整理與發(fā)展，進(jìn)而置換群這個(gè)具體群成為群論的主要研究對(duì)象。

2.2 數(shù)論

有限阿貝爾群主要來源于數(shù)論中的計(jì)算問題，很長時(shí)間以來一直表現(xiàn)得比較隱晦。然而隨著置換群理論的發(fā)展，它們對(duì)抽象群概念的形成起到了重要的推動(dòng)作用。1761年，歐拉的冪剩余理論的論文是早期阿貝爾群思想的源泉。1801年，高斯的《算術(shù)研究》問世，他的冪剩余和割圓方程理論包含了關(guān)于循環(huán)群的深刻定理。特別地，在研究整系數(shù)二元二次型時(shí)，他把具有同一判別式的二元二次型按照一定等價(jià)關(guān)系加以分類，而這些等價(jià)類的集合在某種乘法之下構(gòu)成有限阿貝爾群。盡管高斯本人并沒有提出阿貝爾群的概念，不過，這是群的概念的數(shù)論來源。此后，經(jīng)過狄利克雷、庫默爾、克羅耐克等人的努力最終得到顯阿貝爾群的概念，并在此基礎(chǔ)上逐漸形成一套獨(dú)立的理論。

2.3 19世紀(jì)60年代，置換群向幾何學(xué)上的推廣產(chǎn)生了變換群的概念，特別是運(yùn)動(dòng)群

此處只是簡單介紹群的概念的三個(gè)來源，使學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)概念的產(chǎn)生并非一蹴而就，很多經(jīng)歷了幾代數(shù)學(xué)家數(shù)十年，甚至上百年的努力才逐漸形成，經(jīng)歷了從具體到抽象的蛻變。在學(xué)完群的概念之后，有興趣的同學(xué)可以查閱相關(guān)的原始文獻(xiàn)，從中尋找發(fā)現(xiàn)群的雛形，激發(fā)其探索意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)，培養(yǎng)其研究能力。

3 群論內(nèi)容中數(shù)學(xué)史的滲透

在介紹某一理論后，教師往往會(huì)輔以一些習(xí)題加深學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)的理解，但深入淺出地介紹它們?cè)诂F(xiàn)代數(shù)學(xué)以及其他學(xué)科的應(yīng)用更能提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。以“同構(gòu)”為例，它是以公理化的形式給出來的，學(xué)生利用定義能夠判斷兩個(gè)群是否同構(gòu)，但同構(gòu)在群論中起著什么作用呢，此時(shí)可以引入20世紀(jì)最偉大的數(shù)學(xué)成果之一——有限單群分類。③

我們知道，素?cái)?shù)是只有平凡因子1和它本身的數(shù)。算術(shù)基本定理指出，每個(gè)正整數(shù)都可以唯一表示成素?cái)?shù)的乘積。這說明了素?cái)?shù)是構(gòu)成正整數(shù)乘法的“原子”或者“積木塊”。事實(shí)上，在群論中也存在類似的素?cái)?shù)，這便是有限單群。一旦了解所有有限單群，就能通過群的擴(kuò)張對(duì)所有有限群的性質(zhì)、結(jié)構(gòu)等進(jìn)行行之有效的分析與研究，于是對(duì)有限單群的研究便成為理解有限群的重要橋梁。然而有限單群的數(shù)量浩如煙海，不可能對(duì)其進(jìn)行一一考察，一種化繁為簡、化無窮為有窮的方法就是用同構(gòu)進(jìn)行分類。2004年，分類最終完成，每個(gè)有限單群都屬于且只屬于下面一種類型：（1）素?cái)?shù)階循環(huán)群Zp（p為素?cái)?shù)）；（2）5次及5次以上的交錯(cuò)群An；（3）李型單群；（4）26個(gè)散單群。這就是著名的有限單群分類定理，亦稱龐大定理。第一，證明時(shí)間長久：1832-2004年，歷時(shí)170多年。有限單群分類的歷史可以追溯到19世紀(jì)30年代，經(jīng)過漫長的發(fā)展時(shí)期之后，在上個(gè)世紀(jì)80年代的時(shí)候有人曾宣布分類已經(jīng)完成，但是事實(shí)證明，在一些必要的環(huán)節(jié)上存在漏洞，而這一漏洞的彌補(bǔ)直到2004年才由阿什巴赫爾和史密斯發(fā)表出來。第二，參與者眾多：幾百位專家。來自全球幾十個(gè)國家的幾百位群論學(xué)家直接參與了有限單群分類的工作，其中有一百多位群論學(xué)家的論文是有限單群分類定理不可或缺的組成部分。第三，篇幅巨大，文章數(shù)多：有限單群分類定理的證明長達(dá)10000到15000頁，它們以不同的形式和風(fēng)格遍布在500多篇文章中，而且即使這500多篇文章也是從有限單群的近2000篇文章中精心挑選出來的，其中許多結(jié)果的證明長達(dá)一、二百頁。

通過介紹群論中的最新發(fā)現(xiàn)成果和研究進(jìn)展，不僅能提高學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，還能使他們從思想上擺脫學(xué)習(xí)無用論，課堂內(nèi)容只不過是應(yīng)付考試的錯(cuò)誤思想，提高科研意識(shí)與拼搏意識(shí)。

4 數(shù)學(xué)史人物的楷模作用

在群論的發(fā)展演化過程中，一些核心人物起著決定性作用，他們或者是某一領(lǐng)域的集大成者，或者是某一研究思想和方法的奠基人，體現(xiàn)著當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)活動(dòng)的主流，在講授數(shù)學(xué)內(nèi)容時(shí)可穿插介紹數(shù)學(xué)家的生平軼事。

如英年早逝的挪威數(shù)學(xué)家阿貝爾21歲時(shí)終結(jié)了幾個(gè)世紀(jì)以來的古老難題，即嚴(yán)格證明出一般五次方程沒有根式解，在提交自己研究成果幾次遭到擱淺，一貧如洗，病魔纏身的情況下仍堅(jiān)持工作，享年27歲。無獨(dú)有偶，天妒英才，法國數(shù)學(xué)家伽羅瓦的生命火花只綻放了21年，其“伽羅瓦理論”的發(fā)表久經(jīng)挫折，沒有得到同時(shí)代人的理解，但有人說伽羅瓦的去世，使數(shù)學(xué)工作的發(fā)展推遲了數(shù)十年。瑞士的歐拉堪稱歷史上最多產(chǎn)的數(shù)學(xué)家，一是子女眾多，共育有13人，二是論文和著作眾多，在61歲雙目失明的情況下，其后長達(dá)12年的時(shí)間里他發(fā)表的作品并沒有間斷，在代數(shù)、數(shù)論、物理、天文、航海等多個(gè)研究領(lǐng)域做出了重大貢獻(xiàn)。

通過在課堂講解這些故事，不僅能夠使學(xué)生了解數(shù)學(xué)家的生平、工作，拓展知識(shí)面，還能使其獲得啟發(fā)和靈感，激勵(lì)自己努力學(xué)習(xí)。

5 結(jié)論

數(shù)學(xué)史是幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)、熱愛數(shù)學(xué)、理解數(shù)學(xué)和研究數(shù)學(xué)的重要載體，因此在當(dāng)下教師主要著眼于多媒體與板書相結(jié)合、建立網(wǎng)絡(luò)教學(xué)互助平臺(tái)等這些外在內(nèi)容的同時(shí)，要加強(qiáng)學(xué)生對(duì)知識(shí)本質(zhì)的把握，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)史的傳播媒介作用，充分發(fā)揮數(shù)學(xué)史“為數(shù)學(xué)而歷史、為歷史而歷史、為教育而歷史”的三重功能。⑤

本文由國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目（11501379）、河北省高等學(xué)?？茖W(xué)技術(shù)研究項(xiàng)目（QN2015244，QN2016011，QN2016140）、河北省教育廳社科研究2016年度基金項(xiàng)目（SD161045）資助

注釋

① J. K. Bidwell， Humanize Your Classroom with the History of Mathematics[J]， The Mathematics Teacher，1993.86（6）：461-464.

② 張禾瑞.近世代數(shù)基礎(chǔ)[M].北京：高等教育出版社，2010.

③ H. Wussing. The Genesis of the Abstract Group Concept： A Contribution to the History of the Origin of Abstract Group Theory[M].translated by A. Shenitzer， Cambridge， Massachusetts， London： The MIT Press，1984.

④ 胡俊美.有限單群分類的歷史研究[D].石家莊：河北師范大學(xué)，2009.

⑤ 張紅梅，劉會(huì)茹，曹志軍.略論數(shù)學(xué)史研究的意義[J].科學(xué)大眾，2008（4）：49.