不同支撐條件下方形帶孔薄板的彈性屈曲特性研究

劉 康， 胡廣鶴， 沈 樂(lè)

(中廣核工程設(shè)計(jì)有限公司上海分公司, 上海 200000)

不同支撐條件下方形帶孔薄板的彈性屈曲特性研究

劉 康， 胡廣鶴， 沈 樂(lè)

(中廣核工程設(shè)計(jì)有限公司上海分公司, 上海 200000)

冷彎薄壁型鋼由于其獨(dú)特的成型特性在各領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用。薄壁型鋼處于不同的約束形式條件工作。在實(shí)際應(yīng)用過(guò)程中，常常根據(jù)需要，在冷彎薄壁型鋼腹板采用不同的支撐形式以及在不同位置采用機(jī)械方式?jīng)_剪不同直徑的孔洞-帶孔薄板。而在承受軸向壓力載荷的情況下，帶孔的薄壁型鋼將具有不同的穩(wěn)定性，并且當(dāng)荷載增大到一定程度，可能發(fā)生屈曲破壞。針對(duì)受均布載荷下帶孔薄壁板的彈性屈曲問(wèn)題，通過(guò)有限元方法，研究方形薄板在不同支撐邊界條件下及不同位置不同孔徑的彈性屈曲特征性，以獲取其屈曲臨界載荷的變化規(guī)律及其對(duì)穩(wěn)定性的影響。

均布載荷； 支撐形式； 帶孔薄板； 彈性屈曲

1 帶孔薄壁鋼板結(jié)構(gòu)研究概況

薄壁鋼構(gòu)件由于易成型和易開(kāi)孔等工藝特性在現(xiàn)代鋼結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中應(yīng)用非常廣泛，如薄壁型鋼組裝的貨架、電纜塔架以及船體內(nèi)的格柵結(jié)構(gòu)等。而在實(shí)際應(yīng)用中不可避免地對(duì)薄壁型鋼進(jìn)行開(kāi)孔，但以往的問(wèn)題重點(diǎn)是對(duì)薄壁型鋼桿件的彎曲和受壓的屈曲。雖然對(duì)帶孔薄壁鋼板的研究較早[1-2]，文獻(xiàn)顯示，大多是從載荷的作用形式等方面著手，且由于當(dāng)時(shí)技術(shù)條件限制致使研究進(jìn)展緩慢。M·AydinKomur和Mustafa Sonmez[3]對(duì)中心處開(kāi)有不同直徑圓孔的方形薄板處于簡(jiǎn)支條件下，一對(duì)邊分別作用集中載荷與局部均布載荷，且載荷沿著板邊移動(dòng)時(shí)，研究了其屈曲臨界載荷的變化規(guī)律，得到在集中載荷從板邊向中心移動(dòng)過(guò)程中，屈曲臨界載荷先增大后減小，且呈現(xiàn)類似正弦曲線特征的結(jié)論；同時(shí)在局部均布載荷下其屈曲臨界載荷也呈現(xiàn)類似的規(guī)律；該研究并沒(méi)有考慮不同邊界支撐條件的情況。Khaled和Mohammad[4]也通過(guò)有限元方法研究了對(duì)a=2b(a為長(zhǎng)邊長(zhǎng)度，b為短邊長(zhǎng)度)的長(zhǎng)方形簡(jiǎn)支薄板四邊都作用均布載荷時(shí)，孔洞分別沿著長(zhǎng)邊和短邊不同位置時(shí)的屈曲臨界載荷的變化規(guī)律，結(jié)論為孔洞的直徑越大，屈曲系數(shù)k越小，孔洞離載荷作用邊越遠(yuǎn)，板的穩(wěn)定性越高；這個(gè)研究同樣也沒(méi)有考慮不同邊界支撐條件的情況。N·E·Shanmugan、V·Thevendran與Y·H·Tan[5]建立了帶孔受壓薄板的屈曲臨界力的簡(jiǎn)易計(jì)算公式，這個(gè)公式考慮了帶孔薄板的4種支撐形式，并且用ABAQUS軟件與公式計(jì)算結(jié)果進(jìn)行了驗(yàn)證，雖然結(jié)果吻合較好，但公式中的系數(shù)來(lái)源及其適用條件沒(méi)有說(shuō)明。在實(shí)際應(yīng)用中，帶孔薄板會(huì)根據(jù)不同情況采用不同的支撐形式，所以在研究帶孔薄板的屈曲特性時(shí)應(yīng)該考慮不同支撐形式的影響，而目前對(duì)不同支撐條件下帶孔薄板的屈曲特性的研究成果仍然較少。

本文通過(guò)模擬工程上開(kāi)孔薄板常用的4種支撐形式，采用有限元數(shù)值分析方法，在對(duì)有限元軟件中不同板殼單元類型和網(wǎng)格劃分方式對(duì)有限元數(shù)值分析結(jié)果精度的影響的同時(shí)，針對(duì)薄板在開(kāi)孔孔徑以及開(kāi)孔位置不同時(shí)，分析開(kāi)孔的孔徑大小及位置對(duì)薄板屈曲臨界載荷變化規(guī)律和穩(wěn)定性的影響規(guī)律，以供相應(yīng)支撐形式的薄板在進(jìn)行開(kāi)孔操作時(shí)參考。

2 數(shù)值分析誤差分析及網(wǎng)格劃分

2.1 軟件ANSYS的適用性

ANSYS軟件[6]是融結(jié)構(gòu)、流體、電場(chǎng)、磁場(chǎng)、聲場(chǎng)分析于一體的大型通用有限元分析軟件，是現(xiàn)代產(chǎn)品設(shè)計(jì)中的高級(jí)CAE工具之一。在ANSYS中，穩(wěn)定分析分為兩類：線性或特征值屈曲分析和非線性屈曲分析。其中線性屈曲分析時(shí)線性或特征值屈曲分析考慮了應(yīng)力剛化效應(yīng)，這種效應(yīng)會(huì)導(dǎo)致結(jié)構(gòu)在承受應(yīng)力后抵抗橫向載荷能力降低，當(dāng)壓應(yīng)力增加時(shí)，結(jié)構(gòu)抵抗橫向能力減小。在某一載荷水平下，這種負(fù)的應(yīng)力剛度超過(guò)線性結(jié)構(gòu)剛度，造成結(jié)構(gòu)屈曲。屈曲發(fā)生的點(diǎn)稱為分叉點(diǎn)，由于力-變形曲線達(dá)到該點(diǎn)后可能沿兩條不同途徑前進(jìn)，所以當(dāng)超過(guò)分叉點(diǎn)時(shí)，結(jié)構(gòu)將屈曲或者在不穩(wěn)定狀態(tài)下承受載荷；而要精確地確定屈曲載荷，應(yīng)該使用非線性屈曲分析。非線性屈曲分析中得出的極限載荷通常比線性屈曲分析確定的分叉點(diǎn)低。這是由于非線性屈曲能考慮真實(shí)結(jié)構(gòu)中存在的初始缺陷，以及幾何和材料的各種非線性。ANSYS程序在大變形分析中是把弧長(zhǎng)法和Newton-Raphson法結(jié)合起來(lái)修正結(jié)構(gòu)單元的方位，從而求出屈曲臨界載荷。當(dāng)單獨(dú)使用增量Newton-Raphson法時(shí)，剛度矩陣可能會(huì)變成奇異矩陣?；￠L(zhǎng)法使Newton-Raphson平衡迭代沿一條弧收斂到其平衡路徑。因此，可避免矩陣在那些奇異點(diǎn)處變?yōu)槠娈惥仃嚕⒖刂剖諗啃浴?/p>

2.2 數(shù)值計(jì)算誤差分析

軟件ANSYS[6]進(jìn)行帶孔薄板的屈曲臨界載荷分析中，兩類因素對(duì)計(jì)算對(duì)結(jié)果有影響，一是由于網(wǎng)格尺寸的大小造成的計(jì)算誤差，另一個(gè)是單元類型不同帶來(lái)的計(jì)算誤差。分析兩類計(jì)算誤差的影響程度，選取ANSYS軟件中的SHELL63、SHELL181、SHELL281 3種單元類型分別建模和進(jìn)行屈曲計(jì)算，并通過(guò)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比分析，選擇其中一種進(jìn)行帶孔薄板的屈曲臨界載荷研究。

對(duì)比分析中采用各項(xiàng)同性材料，其彈性模量取E=201GPa，泊松比μ=0.3，板厚δ=1mm，板大小為a×b=100mm×100mm。為了保證所選單元和網(wǎng)格大小能夠滿足研究的需要，用四邊簡(jiǎn)支的無(wú)孔板，一邊受均布載荷作為比對(duì)標(biāo)準(zhǔn)。根據(jù)彈性力學(xué)[5]給出的屈曲臨界載荷理論公式：

Fc=k

(1)

(2)

式中：k為屈曲系數(shù)，本文取k=4；μ為泊松比，取0.30；δ為板的厚度，本文取1mm；b為板邊長(zhǎng)，本文取100mm。

由式(1)、式(2)得到理論屈曲臨界載荷為72 593N。

ANSYS軟件分別用SHELL63、SHELL181、SHELL281 3種單元模擬，分別采用四邊形網(wǎng)格和三角形網(wǎng)格，并考慮了不同網(wǎng)格劃分密度。表1匯總了不同單元類型、網(wǎng)格形狀和尺寸的有限元計(jì)算結(jié)果和理論值之間的誤差。

由表1可以看出，四邊形網(wǎng)格時(shí)，SHELL63精度較高，SHELL281穩(wěn)定性更高，三角形網(wǎng)格時(shí)SHELL281仍然體現(xiàn)了足夠的穩(wěn)定性，其他兩個(gè)單元精度或穩(wěn)定性較差。并且注意到當(dāng)網(wǎng)格尺寸達(dá)到a/30時(shí)，計(jì)算的精度已經(jīng)足夠高。

2.3 單元網(wǎng)格劃分選用

考慮實(shí)際工程中板內(nèi)開(kāi)孔的不同情況，在網(wǎng)格劃分時(shí)可能會(huì)出現(xiàn)三角形網(wǎng)格，需要關(guān)注計(jì)算分析的穩(wěn)定性。綜合考慮，本文分析時(shí)選用SHELL281單元，三角形網(wǎng)格，網(wǎng)格尺寸為a/30，以確保各單元的計(jì)算精度。有限元網(wǎng)格劃分模型見(jiàn)圖1。

圖1 有限元模型

3 模型構(gòu)建

本文研究的重點(diǎn)是在均布載荷q作用下，不同直徑的孔、孔中心在方板的中心線上分別沿X或Y軸上移動(dòng)到對(duì)邊時(shí)板的屈曲臨界載荷變化規(guī)律(圖2)?？锥匆苿?dòng)方式分兩種情況，一種是孔中心沿著板的X軸方向移動(dòng)(當(dāng)孔中心落在Y方向中心，沿X方向從邊4向邊2移動(dòng)稱為X方向移動(dòng))；一種是孔沿著Y方向移動(dòng)(當(dāng)孔中心落在X方向中心，沿Y方向從邊1向邊3移動(dòng)稱為Y方向移動(dòng))。

表1 誤差表

圖2 孔洞中心移動(dòng)方式示意

3.1 參數(shù)選用

研究使用的材料是各項(xiàng)同性，彈性模量E=201GPa，泊松比μ=0.25，正方形板，邊長(zhǎng)a=b=100mm，板厚δ=1mm；孔直徑d取5種大小的孔徑，分別為d/a=0.05、0.1、0.15、0.2和0.25?？字行牡桨暹叺木嚯x為ex，X方向分取9個(gè)位置，ex/a=0.3、0.5、0.7、0.9、1.0、1.1、1.3、1.5和1.7；Y移動(dòng)位置與X方向相同。

3.2 邊界條件

由于板的支撐條件對(duì)帶孔板的屈曲臨界力影響較大，所以對(duì)板每邊的約束要明確指定以滿足研究的需要。圖3給出了采用的薄板支撐形式。

圖3 薄板支撐形式

圖3中的4種約束條件分別為：

(1)四邊簡(jiǎn)支-支撐1: 邊1約束Z方向，邊2約束Z方向，邊3約束Y和Z方向，邊4約束X和Z方向；

(2)三邊簡(jiǎn)支、一邊自由邊-支撐2：邊1為自由邊；邊2約束Z方向；邊3約束Y和Z方向；邊4約束X和Z方向；

(3)一邊夾支、一邊自由邊-支撐3：邊1為自由邊；邊2約束Z方向；邊3約束Y和Z方向；同時(shí)約束X軸的轉(zhuǎn)動(dòng)；邊4約束X和Z方向；

(4)兩邊夾支-支撐4：邊1約束Z方向，同時(shí)約束X軸的轉(zhuǎn)動(dòng)；邊2約束Z方向；邊3約束Y和Z方向，同時(shí)約束X軸的轉(zhuǎn)動(dòng)；邊4約束X和Z方向。

4 不同約束條件計(jì)算結(jié)果分析

4.1 四邊簡(jiǎn)支孔板-支撐1

在薄板采用四邊簡(jiǎn)支時(shí)，在孔洞沿X方向移動(dòng)過(guò)程中，計(jì)算結(jié)果見(jiàn)圖4。屈曲臨界載荷先降低后升高，呈類似拋物線特征?？自诎宓闹行臅r(shí)屈曲臨界載荷最小。經(jīng)過(guò)與四邊簡(jiǎn)支無(wú)孔板的臨界荷載對(duì)比我們注意到，孔在ex/a=0.15附件時(shí)，帶孔板的穩(wěn)定性比無(wú)孔板的穩(wěn)定性高，而且隨著孔徑增大穩(wěn)定性也提高；當(dāng)ex/a大于0.15時(shí)，帶孔板穩(wěn)定性比無(wú)孔板差，且開(kāi)孔越大，屈曲臨界載荷越小，當(dāng)ex/a接近0.85時(shí)，屈曲臨界載荷又趨于相同，并且接近于無(wú)孔板的屈曲臨界載荷。

圖4 孔洞沿X方向移動(dòng)

在孔沿著Y方向移動(dòng)過(guò)程中，分析結(jié)果見(jiàn)圖5。臨界屈曲荷載明顯低于四邊簡(jiǎn)支無(wú)孔板的臨界屈曲力荷載，板的穩(wěn)定性降低，且孔徑越大臨界屈曲荷載越小。同時(shí)可以觀察到，當(dāng)孔徑d/a小于0.15時(shí)，孔中心在Y軸上的位置對(duì)臨界屈曲荷載影響不大。

圖5 孔洞沿Y方向移動(dòng)

4.2 三邊簡(jiǎn)支、一邊自由邊板-支撐2

三邊簡(jiǎn)支、一邊自由邊時(shí)，孔沿著X方向移動(dòng)過(guò)程中，孔板的屈曲臨界載荷先降低后升高，呈類似拋物線特征(圖6)，孔在板中心時(shí)，孔板的屈曲臨界載荷最低。

圖6 孔洞沿X方向移動(dòng)

當(dāng)孔沿著Y方向移動(dòng)過(guò)程中(圖7)，孔板的屈曲臨界載荷逐漸增大。

圖7 孔洞沿Y方向移動(dòng)

依據(jù)圖6、圖7的所示結(jié)果，無(wú)論孔洞沿X或Y方向移動(dòng)，薄板采用支撐2時(shí)屈曲臨界載荷均比無(wú)孔板小。

4.3 一邊夾支、一邊自由邊板-支撐3

一邊夾支、一邊自由邊時(shí)，孔沿著X方向移動(dòng)過(guò)程中，屈曲臨界載荷無(wú)明顯變化(圖8)，屈曲臨界載荷基本隨孔洞的直徑增大而降低，只有當(dāng)ex/a=0.75后，屈曲臨界載荷降低的比較明顯。

圖8 孔洞沿X方向移動(dòng)

當(dāng)孔沿著Y方向移動(dòng)過(guò)程中(圖9)，d/a=0.05的孔的屈曲臨界載荷無(wú)明顯變化，隨著d/a增大，屈曲臨界載荷逐步減低的幅度比較大，即孔徑越大屈曲臨界載荷越??；在相同的d/a時(shí)，卻隨著ey/a的增大，屈曲臨界荷載有所逐步提高，在ey/a大于0.75后又呈減低趨勢(shì)。

圖9 孔洞沿Y方向移動(dòng)

從圖8、圖9可看出，當(dāng)薄板采用支撐3時(shí)，無(wú)論孔洞沿X或Y方向移動(dòng)，屈曲臨界載荷均比無(wú)孔板小。

4.4 兩邊夾支板-支撐4

兩邊夾支的帶孔板，孔沿著X方向移動(dòng)過(guò)程中，屈曲臨界載荷呈現(xiàn)類似正弦波的形狀(圖10)，當(dāng)孔在方板的中心附近時(shí)屈曲臨界載荷最大；當(dāng)ex/a大于0.60后，孔徑越大，屈曲臨界載荷越小。

圖10 孔洞沿X方向移動(dòng)

當(dāng)孔沿著Y方向移動(dòng)過(guò)程中，屈曲臨界載荷呈現(xiàn)類似拋物線特性(圖11)，孔在方板的中心附近時(shí)屈曲臨界載荷最大，即隨著ey/a的變化，屈曲臨界載荷經(jīng)歷由小變大，但孔洞在板中心附近，屈曲臨界載荷最大，隨后又逐步減少。ey/a等于0.15和0.85時(shí)，隨孔徑增大，屈曲臨界載荷越小。

圖11 孔洞沿Y方向移動(dòng)

依據(jù)圖10、圖11所示，孔洞在板邊緣，其屈服臨界荷載均小于無(wú)孔板；同時(shí)我們注意到，孔在板中心附近時(shí)，無(wú)論孔徑大小，均比無(wú)孔板更加穩(wěn)定。

5 結(jié) 論

通過(guò)有限元方法，分析a=b=100mm、δ=1mm的帶孔薄板承受均布載荷、4種支撐形式時(shí)的屈曲臨界荷載的變化規(guī)律，其中孔的直徑d及孔的位置ex或ey是重要的控制變量，并可以得出以下結(jié)論：

(1)薄板采用支撐1時(shí)，在孔洞開(kāi)在ex/a小于0.20位置，有助于提高板的穩(wěn)定性，并且隨孔徑的增小穩(wěn)定性越好。在其他位置開(kāi)孔，無(wú)論孔的大小均比無(wú)孔板的穩(wěn)定性差。

(2)薄板采用支撐2和支撐3的形式時(shí)，無(wú)論孔徑的大小及在板中任何位置，板的穩(wěn)定性都比無(wú)孔板有所降低，且孔徑越大，板的穩(wěn)定性越差。

(3)支撐3的形式，當(dāng)ex/a=0.45～0.55時(shí)，帶孔板的屈曲臨界載荷最大，在該位置開(kāi)孔比無(wú)孔板更穩(wěn)定。當(dāng)ex/a=0.75屈曲臨界載荷最小，孔徑越大屈曲臨界載荷越小。

(4)支撐4與其他3種支撐對(duì)比發(fā)現(xiàn)，無(wú)論薄板孔徑大小，只要開(kāi)孔在板的中心附近，均可提高了薄板的穩(wěn)定性。

(5)根據(jù)本文的研究，對(duì)方形薄板開(kāi)孔并不一定降低薄壁型鋼的穩(wěn)定性，有時(shí)在適當(dāng)位置開(kāi)孔甚至有助于提高薄板的穩(wěn)定性。

[1]M·Z·Khan，K·C·JohnsandB·Hayman，Bucklingofplateswithpartiallyloadededges[J].J.struct.Div，ASCE103. 1977: 547-558.

[2]C·J·Brown，Elasticstabilityofplatessubjectedtoconcentratedloads[J].Comput.Struct. 1989 (33): 1325-1327.

[3]M·AydinKomur，MustafaSonmez，Elasticbucklingbehaviorofrectangularplateswithholessubjectedtopartialedgeloading[J].JournalofConstructionalSteelResearch， 2015(112): 54-60.

[4]KhaledM.EI-Sawy，MohammadIKbalMartiniElasticstabilityofbi-axiallyloadedrectangularplateswithasinglecircularhole[J].Thin-WalledStructures, 2007(45): 122-133.

[5]N·E·Shanmugan，V·Thevendran，Y·H·TanDesignformulaforaxiallycompressedperforatedplates[J].Thin-WalledStructures, 1999(34): 1-20.

[6]ANSYSVersion12.1

[7] 徐芝綸. 彈性力學(xué)[M].高等教育出版社，2006.

劉康(1982～)，男，碩士，工程師，從事鋼結(jié)構(gòu)力學(xué)計(jì)算;胡廣鶴(1985～)，男，工程師，本科，從事鋼結(jié)構(gòu)力學(xué)計(jì)算；沈樂(lè)(1985～), 男，工程師,碩士，從事鋼結(jié)構(gòu)力學(xué)計(jì)算。

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[定稿日期]2016-09-26