建模思想在“數(shù)學(xué)分析”教學(xué)中的應(yīng)用

張文麗，張燕霞

(長治學(xué)院 數(shù)學(xué)系，山西 長治 046011)

建模思想是對實際問題通過借助數(shù)學(xué)的理論知識和方法，構(gòu)建一個合理的數(shù)學(xué)模型，從而來解決實際問題。是加強(qiáng)數(shù)學(xué)與生產(chǎn)實際和專業(yè)的緊密聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、分析和處理實際問題的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識、應(yīng)用能力和創(chuàng)新意識與能力的一種思想方法[1]。

一、建模思想在人才培養(yǎng)方面的重要性

當(dāng)今社會需要將所學(xué)到的理論知識應(yīng)用到實際生活中，能夠推動科技與社會不斷進(jìn)步的應(yīng)用型人才[2]。1992年，教育部高等教育司和中國工業(yè)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)會共同主辦全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽，這個競賽針對全國高等院校的任何專業(yè)的所有學(xué)生，在舉辦競賽的十幾年來，以25%以上的年增長迅速發(fā)展，迄今為止，這是大學(xué)生參加的所有的競賽中規(guī)模最大，影響最廣，意義最深的。這個競賽不僅得到了社會各界的認(rèn)可，所獲得的獎項也常作為用人單位衡量一個人水平的標(biāo)準(zhǔn)[4]。數(shù)學(xué)建模的比賽形式也是多種多樣，有中國數(shù)學(xué)建模網(wǎng)絡(luò)挑戰(zhàn)賽、中國數(shù)學(xué)建模國際賽以及地區(qū)賽等。這足以表明建模思想對于人才培養(yǎng)的重要性。通過數(shù)學(xué)建模不但可以提升理解、分析及處理問題的能力，還可以鞭策學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性，以及對于計算機(jī)的應(yīng)用，提高對于知識理論的應(yīng)用與創(chuàng)新的能力。將實際的問題轉(zhuǎn)化為專業(yè)的知識理論進(jìn)行解決。許多高校每年都鼓勵學(xué)生利用寒暑假參加社會實踐活動，主要是培養(yǎng)學(xué)生利用所學(xué)理論知識解決實際問題的能力，將來能夠更好地適應(yīng)社會，服務(wù)社會。因此，建模思想就是一座將理論與實際相結(jié)合的無形橋梁。

二、建模思想在“數(shù)學(xué)分析”教學(xué)中的應(yīng)用

“數(shù)學(xué)分析”課程的特點(diǎn)是理論性強(qiáng)、邏輯性強(qiáng)、應(yīng)用性弱。應(yīng)用性僅在積分理論中有所體現(xiàn)，且主要體現(xiàn)在了空間幾何與物理學(xué)中，而這些知識內(nèi)容與實際生活嚴(yán)重脫節(jié)，較陳舊。在教學(xué)過程中，教師著重強(qiáng)調(diào)定理和公式的證明及推導(dǎo)[5]，解題方法的分析，淡化對數(shù)學(xué)分析中概念的背景和實質(zhì)、概念與概念間的聯(lián)系及理論知識的應(yīng)用的講解，致使學(xué)生僅僅掌握了一些抽象的理論知識，對如何應(yīng)用所學(xué)知識處理實際問題卻一竅不通，更對怎樣應(yīng)用無法下手。最終導(dǎo)致學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣越來越低，學(xué)習(xí)效果也逐漸降低。

(一)引入生動實例，滲透建模思想

為了使學(xué)生真正認(rèn)識并切身體會數(shù)學(xué)分析在實際生活中的應(yīng)用，從而認(rèn)識到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)分析的重要性，發(fā)現(xiàn)其所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)美，提高學(xué)生對數(shù)學(xué)分析學(xué)習(xí)的興趣且提升學(xué)習(xí)效率，成為社會所需的應(yīng)用型人才，在教學(xué)過程中教師應(yīng)該有意識地滲透建模思想，引導(dǎo)學(xué)生將所學(xué)的理論與實際生活相結(jié)合。如在講函數(shù)的最大值最小值問題時可以舉下列與實際生活緊密聯(lián)系的例子，有意識地滲透建模思想。

例1[9]假設(shè)某工廠生產(chǎn)x千件的成本是C(x)=x3-6x2+15x，售出該產(chǎn)品x千件的收入是r(x)=9x。問是否存在一個能取得最大利潤的生產(chǎn)水平？如果存在的話，找出這個生產(chǎn)水平。

解：根據(jù)題意可以建立數(shù)學(xué)模型，即售出x千件產(chǎn)品的利潤是

p(x)=r(x)-C(x)

然后利用數(shù)學(xué)分析中極值理論來判斷，得出當(dāng)x=3.414存在一個能取得最大利潤的生產(chǎn)水平。

再比如，講有限極值這一節(jié)時，可以舉如下例子：

例2[10]某化工廠生產(chǎn)A1，A2，A3，A4四種化工產(chǎn)品，每種產(chǎn)品生產(chǎn)1噸所消耗的工時、能源和獲得的利潤見下表。

生產(chǎn)1噸產(chǎn)品的消耗與收益

已知該廠明年的工時為18 480小時，能耗為100噸標(biāo)準(zhǔn)煤，欲使該廠明年的總利潤最高，請確定各種產(chǎn)品的生產(chǎn)數(shù)量。

解：設(shè)該廠全年生產(chǎn)A1，A2，A3，A4四種產(chǎn)品的數(shù)量分別為x1，x2，x3，x4，總利潤為z,則可以建立數(shù)學(xué)模型：

z=2x1+5x2+8x3+x4

條件為

100x1+250x2+380x3+75x4=18 480

0.2x1+0.3x2+0.5x3+0.1x4=100

接著利用數(shù)學(xué)分析中的隱函數(shù)組存在定理和條件極值理論，借助matlab軟件求出各種產(chǎn)品的生產(chǎn)數(shù)量分別為x1=x2=x3=x4=0，x3=48.631 6時總利潤最大為z=389.052 6。

再如，在有關(guān)極限的定義的教學(xué)中引入著名的“割圓術(shù)”或者是利用現(xiàn)有的教學(xué)軟件[6]——超級畫板向?qū)W生展示在坐標(biāo)中一條曲線上的點(diǎn)的變化，使學(xué)生理解極限的定義以及演示其形成過程，這樣不僅花費(fèi)的學(xué)習(xí)時間少，而且取得的效果非常好。在講解函數(shù)的連續(xù)性的基本性質(zhì)時，可以利用在不平的地面上放椅子，椅子能否放穩(wěn)[7]的問題讓學(xué)生進(jìn)行建模，培養(yǎng)學(xué)生將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的能力，不僅可以進(jìn)一步理解并加深與鞏固所學(xué)的理論知識，而且還可以培養(yǎng)實際應(yīng)用能力，增強(qiáng)學(xué)習(xí)興趣。在講導(dǎo)數(shù)時，可以選擇與實際生活密切相關(guān)的經(jīng)濟(jì)問題來講解。例如證券的利息率問題，存款與貸款問題，線性規(guī)劃問題，風(fēng)險決策問題等。在講解積分定義時，可以先回憶圓的面積公式的來源，規(guī)則的梯形的面積，然后由易到難的引導(dǎo)學(xué)生，利用極限的思想，通過三步“近似、求和、取極限”求出解曲邊梯形的面積，從而推出定積分的定義。在積分理論知識方面可以舉有關(guān)通訊衛(wèi)星的覆蓋面積的數(shù)學(xué)模型，或有關(guān)物理學(xué)中的交流電的有效值的數(shù)學(xué)模型，或計算房間中關(guān)于燈泡的最佳高度的模型來進(jìn)行講解[5]。對于級數(shù)的定義，級數(shù)的收斂性以及級數(shù)的實際應(yīng)用的講解中，我們可以使用傳說中跑的最快的人阿基里斯與烏龜賽跑的悖論問題[8]，由此巧妙地引入級數(shù)的基本概念，這樣在學(xué)習(xí)級數(shù)時就可以將原本抽象的、枯燥的內(nèi)容變得生動有趣，使學(xué)生通過實際問題感受到理論知識中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)美。激發(fā)學(xué)生對學(xué)習(xí)的熱情，提高學(xué)生的應(yīng)用能力。這樣巧妙地在教學(xué)中融入建模思想不僅可以使學(xué)生有效地掌握所學(xué)的知識，還可以將知識應(yīng)用到生活當(dāng)中，在學(xué)習(xí)中找到樂趣，提高學(xué)習(xí)的效率，讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)分析中的那些枯燥乏味的定理以及有關(guān)的推廣是來源于我們的現(xiàn)實生活之中，并不是憑空得來的，都有其應(yīng)用背景。數(shù)學(xué)分析中的大部分內(nèi)容是后繼的許多學(xué)科的基礎(chǔ)，這樣可以為后續(xù)的學(xué)習(xí)打下堅實的基礎(chǔ)。除此之外，再結(jié)合現(xiàn)代的計算機(jī)軟件，例如：Maple、Matlab等，使學(xué)生能夠了解概念的產(chǎn)生過程，真正把握與理解其內(nèi)涵，不用對概念進(jìn)行死記硬背，從而增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)的自信心，提高學(xué)生對于理論知識學(xué)習(xí)的興趣。

(二)借助建模比賽，加強(qiáng)建模訓(xùn)練

教師也可以通過對每年的全國建模問題進(jìn)行分析，然后借助比賽問題對學(xué)生所學(xué)的相應(yīng)知識進(jìn)行深入的講解。例如在講解極值的相關(guān)知識時，就可以借用2006年的全國性數(shù)學(xué)建模比賽C題——有關(guān)易拉罐形狀與尺寸的最優(yōu)設(shè)計，處理這個問題就需要熟練地掌握數(shù)學(xué)分析中的有關(guān)極值的討論與計算，并以Maple、Matlab更加直觀、具體地來進(jìn)行繪圖與計算。還有2010年A題，關(guān)于輸油管的設(shè)計方案問題，將其轉(zhuǎn)化為多元函數(shù)的最值以及駐點(diǎn)的求解，并且借助Matlab進(jìn)行數(shù)值計算。

通過在數(shù)學(xué)分析中滲透建模思想，可以將枯燥的理論知識與實際生活緊密結(jié)合，將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題來解決。這樣不僅可以培養(yǎng)并提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)，還可以加強(qiáng)學(xué)生的動手與動腦能力，通過學(xué)生自己對于知識的深入挖掘，激發(fā)其求知欲。這對于當(dāng)今社會所需的應(yīng)用型人才的培養(yǎng)有很大的幫助。

[1]畢曉華,徐鈞.將數(shù)學(xué)建模思想融入應(yīng)用型本科數(shù)學(xué)教學(xué)初探[J],教育與職業(yè),2011(9).

[2]陸英杰,婁華,馬春全,鄧樺,盧玉葵.改革專業(yè)教學(xué)與社會人才需求的對接[J],科技信息,2010(5).

[3]李輝,王藝霏,劉一鋆,張麗春.數(shù)學(xué)建模思想滲透到數(shù)學(xué)教學(xué)中的地位與作用[J],吉林農(nóng)業(yè)科技學(xué)院學(xué)報,2013(1).

[4]李娜.數(shù)學(xué)建模與大學(xué)生創(chuàng)新能力的培養(yǎng)[J].榆林高等?？茖W(xué)校學(xué)報,2014(4).

[5]李聲峰，張裕生，梅紅.將數(shù)學(xué)建模思想融入《數(shù)學(xué)分析》課程教學(xué)的探索與實踐[J].赤峰學(xué)院學(xué)報(自然科學(xué)版),2011(7).

[6]牛英春.數(shù)學(xué)建模思想在《數(shù)學(xué)分析》教學(xué)中的應(yīng)用[J].開封教育學(xué)院學(xué)報，2015(6).

[7]王杉林.經(jīng)營類院校數(shù)學(xué)建模課程教學(xué)體系改革研究初探[J].教育教學(xué)論壇,2015(6).

[8]孫業(yè)國.數(shù)學(xué)分析中極限概念的教學(xué)策略與研究[J].淮南師范學(xué)院報,2013(3).

[9]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)：上冊[M].北京：高等教育出版社,2014.

[10]史明霞，等.新編工程數(shù)學(xué)[M].大連：大連理工大學(xué)出版社，2012.