論維特根斯坦對(duì)哥德爾定理的評(píng)析

樊岳紅

(山西大學(xué) 哲學(xué)社會(huì)學(xué)學(xué)院， 山西 太原 030006)

論維特根斯坦對(duì)哥德爾定理的評(píng)析

樊岳紅

(山西大學(xué) 哲學(xué)社會(huì)學(xué)學(xué)院， 山西 太原 030006)

數(shù)學(xué)哲學(xué)的基礎(chǔ)問題一直是維特根斯坦所關(guān)注的核心領(lǐng)域之一。 20世紀(jì)30年代哥德爾提出的第一不完備性定理徹底地動(dòng)搖了數(shù)學(xué)的邏輯主義、 直覺主義和形式主義的基礎(chǔ)。 在這種背景下， 中后期的維特根斯坦對(duì)哥德爾第一不完備定理進(jìn)行了評(píng)論， 但他的評(píng)論卻受到了人們廣泛的質(zhì)疑和批評(píng)。 很大一部分的原因是由于人們誤解或誤讀了維特根斯坦的觀點(diǎn)。 基于此， 在維特根斯坦數(shù)學(xué)哲學(xué)的語境下來分析和理解他的這些評(píng)論， 并最終闡明其理論特色。

維特根斯坦； GIT； 數(shù)學(xué)命題； 不可判定； 有限論

數(shù)學(xué)哲學(xué)的基礎(chǔ)問題一直是維特根斯坦(以下簡稱維氏)所關(guān)注的核心領(lǐng)域之一， 無論是在其早期的《戰(zhàn)時(shí)筆記》及《邏輯哲學(xué)論》、 中期的《哲學(xué)評(píng)論》及《哲學(xué)語法》， 還是后期的《數(shù)學(xué)基礎(chǔ)研究》和《哲學(xué)研究》中， 他都嘗試著探討了許多重要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)問題， 并提出了一系列重要的見解。 在其著作中， 維氏密切關(guān)注數(shù)學(xué)哲學(xué)的各種論題， 其原因就在于他想要了解必然性問題， 如數(shù)學(xué)命題在什么意義上必然為真。 在早期的《邏輯哲學(xué)論》中， 他曾認(rèn)為必然性或者確定性在自身中顯示為重言式， 所以對(duì)他來說， 所有必然性都是邏輯必然性。 中期和后期的維氏對(duì)哥德爾第一不完備定理(G?del’s First Incompleteness Theorem， 以下簡稱GIT)的評(píng)論表明他有了不同的想法： (1)不可能有“是真的但卻無法證實(shí)的”數(shù)學(xué)命題； (2)哥德爾式命題p的意義非常值得懷疑； (3)即使能對(duì)GIT進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)的解釋， 但哥德爾并沒有證明這一系統(tǒng)自洽的問題。 因?yàn)樵谒阈g(shù)系統(tǒng)中， “無法證實(shí)的命題”既是可證的， 也是不可證的。

一、 維特根斯坦對(duì)GIT的評(píng)論

從20世紀(jì)30年代開始， 維氏密切關(guān)注數(shù)學(xué)哲學(xué)的各種論題。 在《邏輯哲學(xué)論》中， 他曾認(rèn)為必然性(或者“確定性”)是自身顯示為重言式。 所以對(duì)他來說， 所有必然性都是邏輯必然性。 從1929年到1933年期間， 維氏持強(qiáng)有限論觀點(diǎn)： 沒有可以無限擴(kuò)展的事物集， 也沒有無限的數(shù)學(xué)領(lǐng)域； 因?yàn)榱炕粋€(gè)無限的數(shù)學(xué)表達(dá)式是沒有意義的， 如量化哥德巴赫猜想(Goldbach’s Conjecture， 以下簡稱GC)、 費(fèi)馬大定理(Fermat’s Last Theorem， 以下簡稱FLT)等都是沒有意義的。 因此， 維氏在《哲學(xué)評(píng)論》中寫道： “現(xiàn)在看來， 對(duì)數(shù)的一般性表述似乎是無意義的……如果一個(gè)命題不通過任何有限的結(jié)果而成為真的， 這就等于說它不通過任何結(jié)果便成為了真的， 因而它不是一個(gè)邏輯計(jì)算的結(jié)果……”[1]§126

維氏認(rèn)為， 一個(gè)有意義的數(shù)學(xué)命題， 當(dāng)且僅當(dāng)我們可以知道其有一種適當(dāng)?shù)摹?有效的判定過程， 因?yàn)椋?“這里的數(shù)學(xué)命題只有一種解決方法， 命題必然通過其意義表明， 我們應(yīng)該如何證明這個(gè)命題是真的還是假的？”[1]§148只有包含可判定的算術(shù)謂詞時(shí)， 命題才是有意義的， 如果數(shù)學(xué)命題在算法上不可判定， 那么它們也不是真正有限邏輯的總數(shù)或結(jié)果， 因而也不是有意義的數(shù)學(xué)命題。 如“(?n)4+n=7”就不是一個(gè)有限的邏輯結(jié)果， 因?yàn)楸磉_(dá)式“(?x)=|x”不能被預(yù)設(shè)為全部數(shù)字。 類似的， 在量化全稱域時(shí)也不能說n|n， 因?yàn)樗凶匀粩?shù)并不是一個(gè)有限的集合。 因此， 維氏認(rèn)為， 我們可以在“所有”和“有”之間形成一種形式良好的原則或規(guī)則， 這是錯(cuò)誤的想法， 因?yàn)楣砼c命題的唯一相關(guān)方式是有適當(dāng)?shù)呐卸ㄟ^程。[2]37“你馬上會(huì)看到， 追問數(shù)的對(duì)象是沒有意義的。 尤其是不可能存在無限多的對(duì)象。 ‘存在無限多的沙發(fā)’=‘在空間里可能存在無限多的沙發(fā)’。”[3]13

因此， 維氏認(rèn)為， 對(duì)所有數(shù)的描述不是通過命題來表征的， 而是由歸納來表征的。 如關(guān)于費(fèi)馬大定理的陳述并不是關(guān)于命題或算法的陳述， 而是對(duì)應(yīng)于歸納的證明： “除了對(duì)費(fèi)馬規(guī)則不起作用的數(shù)字以外， 以一種規(guī)則來說， p是窮盡了全體數(shù)的序列。 ……已經(jīng)有一個(gè)規(guī)則在那里， 但是這與數(shù)沒有直接關(guān)系。 數(shù)就像是規(guī)則的一個(gè)不規(guī)則的副產(chǎn)品?！盵1]§189

如果對(duì)無限數(shù)學(xué)領(lǐng)域進(jìn)行量化， 這只能代表證明的歸納基礎(chǔ)和歸納步驟， 但由于未經(jīng)證實(shí)的歸納步驟在算法上不可判定， 因此在被證明之前它們不是有意義的命題； 命題在被證明的同時(shí)， 也即發(fā)明了一種新的演算。 如證明在π的擴(kuò)展式中連續(xù)出現(xiàn)4個(gè)7， 但這種實(shí)數(shù)運(yùn)算是不可證明的， 所以無論是出現(xiàn)還是不出現(xiàn)4個(gè)7， 命題都必須遵循排中律， 這意味著無論是出現(xiàn)還是不出現(xiàn)4個(gè)7， 這都是不可判定的， 因而是無意義的偽命題。

“當(dāng)有人提出排中律時(shí)， 仿佛給我們提出了兩種可供選擇的圖像， 并且說其中一種必然符合事實(shí)。 但假如這些圖像在這里是否適用成為問題時(shí)， 那又該怎么辦？……一般認(rèn)為， 在排中律的命題中已經(jīng)有某種堅(jiān)實(shí)的東西， 有某種無論如何也不會(huì)引起懷疑的東西。 然而實(shí)際上， 這種同義語的反復(fù)同樣具有不穩(wěn)定的意義， 與這個(gè)問題一樣， p還是～p成立?！盵4]§11-12

因此， 中期維氏在評(píng)論GIT時(shí)寫道， 這有兩種理由來拒絕GIT：

首先， 作為數(shù)論表達(dá)式， 如果要量化無限域， 那么p在算法上是不可判定的。 因此， 它不是一個(gè)有意義的數(shù)學(xué)命題。 如王浩就認(rèn)為， “人們可能會(huì)說， 維氏數(shù)學(xué)的不足之處是阻礙了他所發(fā)展的思想， 對(duì)于基礎(chǔ)數(shù)學(xué)則更甚， 尤為有名的是他關(guān)于哥德爾證明的討論”[5]。 然而王浩也說道： “在任何固定的有限范圍內(nèi)或者在一些無限范圍內(nèi)， 并沒有隱含哥德爾式的建構(gòu)， 這種可能性是不可能實(shí)現(xiàn)的。”[6]63

“正如布勞威爾所言， (x)·f1x=f2x的真或假也存在不可判定性的情況， 這意味著(x)……是外延性的， 我們可以說在所有x中恰巧有某種屬性。 但事實(shí)上， 討論這種情況是不可能的， 即在所有的算法中， (x)不可能是外延性的?！盵7]§173維氏認(rèn)為， 命題的不可判定性預(yù)設(shè)了等號(hào)兩邊存在一個(gè)隱式的連接， 但這種隱式的連接不能用符號(hào)來表征， 符號(hào)之間已經(jīng)存在的連接也不能進(jìn)行轉(zhuǎn)換， 因?yàn)榉?hào)是一種思維的產(chǎn)物， 其本身不能被思維。 如果真有這種隱式的連接的話， 那么這種連接必須能夠看出來。 維氏強(qiáng)調(diào)， 算法的可判定性在于， 我們可以主張任何事物都能夠在實(shí)踐中得到檢驗(yàn)， 這是一個(gè)檢驗(yàn)的可能性問題。

中期維氏拒絕GIT的第二個(gè)理由是哥德爾所謂的不可判定性命題明顯是矛盾的， 如p是可證明的， 那么“～p”也是可證明的， 反之亦然， 其結(jié)果是導(dǎo)致邏輯命題失去了其有效性。 如果一個(gè)表達(dá)式是不可判定的話， 那么它既不是真的也不是假的。 在一些實(shí)際的演算中， 如果一種表達(dá)式是不可判定的， 那么它就不是一個(gè)有意義的數(shù)學(xué)命題， 因?yàn)椤懊糠N數(shù)學(xué)命題必須屬于一個(gè)數(shù)學(xué)演算式”[8]§376。 如果我們假定有另外的一些系統(tǒng)可以對(duì)是真的但不可證明的命題p進(jìn)行自然語言的解釋， 那么p在羅素系統(tǒng)中則不是可證明的。 因此， 這導(dǎo)致了維氏在許多場(chǎng)合都認(rèn)為我們應(yīng)該“放棄”哥德爾的這種矛盾解釋。

在《數(shù)學(xué)基礎(chǔ)研究》(以下簡稱RFM)及《維特根斯坦1939年在劍橋關(guān)于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的講座》(以下簡稱LFM)中， 維氏更加重視他中期的主張， 他認(rèn)為我們是在制造或發(fā)明數(shù)學(xué)——“一個(gè)人不能發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)或邏輯部分之間的任何連接， 如果這種連接已經(jīng)存在但卻沒有人知道的話”“數(shù)學(xué)家是一個(gè)發(fā)明家， 而不是一個(gè)發(fā)現(xiàn)者”[4]§168。 后期維氏認(rèn)為， 每種新的數(shù)學(xué)證明都進(jìn)一步擴(kuò)展了數(shù)學(xué)， 我們不是在發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)真理或數(shù)學(xué)對(duì)象， 而是在一點(diǎn)一點(diǎn)地發(fā)明數(shù)學(xué)。

正如維氏在RFM中所說： “對(duì)計(jì)算結(jié)果的差異取得一致意見， 這是什么意思呢？它一定意味著達(dá)到了一種沒有差異的計(jì)算。 如果人們沒有取得一致意見， 那么其中一個(gè)人就不能說另一個(gè)人只是在得出另一種計(jì)算結(jié)果。”[4]§9在早期的《邏輯哲學(xué)論》中， 維氏認(rèn)為， 唯一真正的命題是一個(gè)偶然的命題， 我們使用慣例來斷言事實(shí)的狀態(tài)。 因?yàn)橹挥袨檎婊驗(yàn)榧俚呐既幻}才對(duì)應(yīng)于事實(shí)。 “如果一種基本命題是真的， 那么事物的狀態(tài)是存在的； 如果一種基本命題是假的， 那么事物的狀態(tài)就不存在?！盵9]§4.25這意味著只有真實(shí)的、 真正的命題才是符合真理的。 所有其他公認(rèn)的命題都是偽命題， 包括重言式、 矛盾式， 以及數(shù)學(xué)方程等。

在中期， 維氏認(rèn)為數(shù)學(xué)命題并不符合真理， 它們只是在形式上或句法意義上為真或?yàn)榧佟?維氏把這種數(shù)學(xué)命題看成發(fā)明的真理。 只有在一個(gè)給定的演算式中， 一個(gè)表達(dá)式才是有意義的命題， 一個(gè)有意義的表達(dá)式當(dāng)且僅當(dāng)我們可以有一個(gè)適用的、 有效的判定過程， 即算法是可判定的。

在后期， 維氏進(jìn)一步強(qiáng)化了這一觀點(diǎn)。 盡管維氏仍然認(rèn)為可判定性適用于所有有意義的數(shù)學(xué)命題， 但這并不意味著每一個(gè)這樣的命題都是為真或?yàn)榧俚模?而是說通過正確運(yùn)用相關(guān)的判定過程， 我們可以讓命題為真或?yàn)榧佟?維氏強(qiáng)調(diào)， 證明是在做出新的聯(lián)結(jié)， 即使它們不存在這樣的聯(lián)結(jié)， 我們也可以制造它們。 因此， 維氏的“真”相當(dāng)于“被證明”， 而“假”相當(dāng)于“被反駁”。 我們可以在數(shù)學(xué)語境中用如“紅”和“綠”取代“真”和“假”， 或用“+”和“-”來替代“真”和“假”， 而沒有任何損失。 中期及后期維氏都認(rèn)為“真”相當(dāng)于“可證明性”， 而“假”相當(dāng)于“可反駁性”。[10]

二、 維氏對(duì)哥德爾“命題p”的質(zhì)疑

如前所述， 中期的維氏拒斥可以量化一種無限的數(shù)學(xué)表達(dá)式， 包括量化費(fèi)馬大定理這樣的表達(dá)式。 維氏認(rèn)為， 像FLT也不是有意義的算術(shù)命題， 因?yàn)樗婕盁o限的數(shù)學(xué)領(lǐng)域。 “因?yàn)樗鼈儾荒鼙患俣槿繑?shù)字， 正如量化普遍命題不能是無限的邏輯產(chǎn)物， 所有自然數(shù)并不是一個(gè)有界的概念。”[7]§126雖然后期維氏沒有提出關(guān)于量化的明確主張， 但毫無疑問的是， 他仍然是一個(gè)有限論者。 維氏在RFM中主張， 無限序列或無限集只是一種生成的有限擴(kuò)展的遞歸規(guī)則， 無限序列或無限集本身不是無限擴(kuò)展的。 那么無限小數(shù)概念是數(shù)學(xué)命題嗎？維氏認(rèn)為， “無限小數(shù)不是系列的概念， 但擁有無限擴(kuò)張的技術(shù)。 說技術(shù)是無限的， 并不意味著它不會(huì)停止， 它只是可以擴(kuò)展到無法測(cè)量； 但它缺乏制度性的結(jié)束， 這并不是結(jié)束”[11]II§45。

我們說存在有理數(shù)的無限集， 因?yàn)樗鼈兪强蓴?shù)的； 但不存在無理數(shù)的無限集， 即使所謂的遞歸無理數(shù)也不是遞歸可數(shù)的。 維氏認(rèn)為， 像命題中出現(xiàn)4個(gè)7的表達(dá)式， 當(dāng)把它們限制在有限系列時(shí)， 它們是有意義的， 這正是維氏中期的立場(chǎng)。 當(dāng)問： “如數(shù)字0、 1、 2……9會(huì)出現(xiàn)在其中嗎？”[2]81-82維氏認(rèn)為不可能會(huì)有這樣的問題。 我們只能問， 它們是否會(huì)出現(xiàn)在一個(gè)特定的地方， 或者它們是否會(huì)出現(xiàn)在10000之內(nèi)的數(shù)字中。 在量化無限的數(shù)學(xué)表達(dá)式時(shí)， 后期維氏的立場(chǎng)與中期的立場(chǎng)似乎沒有太大的變化： “現(xiàn)在是不是說一個(gè)人若不懂費(fèi)馬大定理的意義就是荒謬的？好吧， 人們可能的回答是， 當(dāng)數(shù)學(xué)家面對(duì)這個(gè)命題時(shí)， 他們并不完全是不知所措的。 畢竟， 他們會(huì)嘗試用某些方法來證明它； 只要他們?nèi)L試各種方法， 他們就能理解命題。 但這是正確的理解嗎？難道他們不能充分理解這一命題就像人們不能充分理解這一命題一樣嗎?”[11]VI§13

維氏對(duì)此的回答是， 如果我們知道像FLT的命題說的是什么， 那么我們就必須知道命題為真的標(biāo)準(zhǔn)是什么。 如果我們知道如何確定FLT， 那么我們就會(huì)知道它的真理性標(biāo)準(zhǔn)； 如果我們知道一個(gè)適當(dāng)?shù)呐卸ㄟ^程的話， 那么我們就會(huì)知道FLT是為真還是為假； 如果判定過程給出了結(jié)論， 那么結(jié)論之外的其他方面就是假的。[12]

維氏對(duì)GIT的評(píng)論， 尤其是在評(píng)論量化無限領(lǐng)域時(shí)， 他并沒有明確解決數(shù)學(xué)表達(dá)式的意義問題。 哥德爾定理表明， 我們有一個(gè)命題p可能屬于或不屬于羅素系統(tǒng)——或者更準(zhǔn)確地說， 在某些情況下， 如果我們可以證明這個(gè)命題本身的話， 那么我們也可以證明該命題的否定句法。 在RFM中， 維氏只是隱含地質(zhì)疑了這樣表達(dá)式的意義， 但這一觀點(diǎn)卻經(jīng)常被人們誤解。

“數(shù)理邏輯入侵?jǐn)?shù)學(xué)詛咒通常指的是， 現(xiàn)在任何命題都可以用數(shù)學(xué)符號(hào)來表征， 這讓我們覺得有必要理解它。 當(dāng)然， 這種寫作方法只不過是對(duì)普通文本的模糊翻譯?！盵11]VI§46在這著名的段落中， 維氏討論了“建構(gòu)性存在”對(duì)比“非建構(gòu)存在”。 “因此， 這個(gè)問題是說， 是否存在一種不是建構(gòu)的證明， 而且是一種真正的證明。 也就是說， 所產(chǎn)生的問題是： 我理解了這一命題‘這是……’卻不知道在哪里可以找到它？并且這里有兩種觀點(diǎn)： 作為一個(gè)中文句子， 如果我理解了它， 到目前為止， 也就是說我可以解釋它。 但我能做些什么呢？我能做的不是去建構(gòu)一種證據(jù)， 而是去理解它的標(biāo)準(zhǔn)。 因此， 到目前為止尚不清楚是否以及在多大程度上我可以理解它?！盵11]VI§46

盡管這時(shí)的主張明顯比中期的觀點(diǎn)更加柔和， 但介入的方式似乎沒有什么區(qū)別。 “數(shù)學(xué)邏輯入侵?jǐn)?shù)學(xué)是災(zāi)難”， 因?yàn)槲覀儸F(xiàn)在沒有任何已知的方法來決定如何準(zhǔn)確地使用量詞。 維氏認(rèn)為， 這種寫作方法只不過是普通文本的模糊翻譯， 即使“存在一個(gè)這樣的數(shù)”和在“所有自然數(shù)”之間我們有量詞， 還是存在含糊不清的問題。 從維氏的觀點(diǎn)來看， 我們并不傾向于使用多個(gè)嵌套量詞、 邏輯運(yùn)算和算術(shù)符號(hào)來建構(gòu)有意義的數(shù)學(xué)命題。 我們相信自己可以建構(gòu)各種各樣有意義的算術(shù)命題， 這些算術(shù)命題量化了無限的自然數(shù)， 然后與所建構(gòu)的算術(shù)命題一起， 從中可以發(fā)現(xiàn)哥德爾證明的矛盾。 “需要記住的是， 這里的命題邏輯是如此建構(gòu)的， 就如在實(shí)踐中信息沒有應(yīng)用一般。 它很可能是說它們完全不是命題， 并且人們寫下命題是需要理由的。 現(xiàn)在如果我們把這些命題添加到另一句子結(jié)構(gòu)中， 那么在符號(hào)組合中應(yīng)該如何應(yīng)用， 我們都處于茫然之中， 因?yàn)閱螁问蔷渥觿t不足以給出任何有意義的符號(hào)聯(lián)結(jié)。”[11]I§20

正如維氏在《邏輯哲學(xué)論》中所論述的重言式和矛盾式的邏輯命題， 它們沒有豐富的內(nèi)涵， 這意味著關(guān)于世界它們什么也沒說。 即使如“pvq”的簡單真值函數(shù)， 也只不過是一個(gè)命題框架， 這樣的真值函數(shù)的變量不是我們可以直接用來斷言某些事物的命題， 要使它成為一個(gè)命題， 我們必須用偶然命題來替換p和q。

但更為嚴(yán)重的問題是， 在“(?x)(Px&Ex)”的邏輯命題中， 我們必須附加另一種像算術(shù)句子的結(jié)構(gòu)， 那么得到了如(?x)(x是一個(gè)完美的數(shù)量， 并且x大于9000000000)。 在這種情況下， 我們“只有一個(gè)句子來回應(yīng)， 但這并不能夠給這些符合的聯(lián)結(jié)以任何意義。 即使我們提出初等數(shù)論的公式， 也并不一定意味著我們已經(jīng)構(gòu)建了一個(gè)有意義的算術(shù)命題或數(shù)學(xué)命題。 正如維氏所言： “符號(hào)‘(x)’及符號(hào)‘(?x)’在數(shù)學(xué)中肯定是有用的， 只要我們熟悉相關(guān)的證明技巧。 這里所引用的是羅素符號(hào)， 如果這些符號(hào)是開放式的， 那么這些舊邏輯概念則是非常具有誤導(dǎo)性的。”[11]V§13

此外， 維氏還質(zhì)疑了哥德爾證明的前提。 如果命題p是真的但無法證實(shí)， 那么它必須在兩種意義上為真： (1)p是真的， 因?yàn)樵诂F(xiàn)有的自然數(shù)無限集中不存在一個(gè)自然數(shù)滿足正在討論的關(guān)系問題； 或(2)p是真的， 因?yàn)槿魏蔚谋匾到y(tǒng)不可能構(gòu)造一個(gè)自然數(shù)來滿足正在討論的關(guān)系問題。 從某種意義上說， 對(duì)于任何(1)這樣的系統(tǒng)， 都存在無窮多個(gè)是真的， 但卻是無法證實(shí)的命題。 因而維氏堅(jiān)決反對(duì)數(shù)學(xué)柏拉圖主義和數(shù)學(xué)表達(dá)式的無限擴(kuò)展。 在《哲學(xué)評(píng)論》中， 維氏寫道： “如果數(shù)學(xué)在自然科學(xué)無限擴(kuò)展的話， 我們永遠(yuǎn)不能有詳盡的知識(shí)， 在原則上可以假設(shè)這個(gè)問題是不可判定的， 但這卻是不可設(shè)想的。 在真理中， 不可能討論‘所有x恰好擁有某種屬性’， ‘(x)……在算術(shù)中不能被擴(kuò)展為支持者’?！盵7]§174后期， 維氏同樣拒斥了柏拉圖主義， 因?yàn)榘乩瓐D主義要么是一個(gè)純粹的真理， 要么會(huì)導(dǎo)致無窮多的模糊世界。 此外， 如果我們成功地證明了適當(dāng)?shù)臍w納基礎(chǔ)和歸納步驟， 那么命題的意義只可能是所有自然數(shù)的真； 如果命題在某些實(shí)際系統(tǒng)中不能被證明， 那么在所有自然數(shù)中它也不可能都為真。

三、 對(duì)維特根斯坦評(píng)論的辯護(hù)

維氏對(duì)哥德爾定理的論證遭到后世許多學(xué)者的批評(píng)， 他們認(rèn)為維氏實(shí)際上是不懂?dāng)?shù)學(xué)的， 但也有部分學(xué)者如弗洛伊德(J. Floyd)和古德斯坦( R. L. Goodstein)等人就從不同的角度對(duì)維氏的評(píng)論提出了自己辯護(hù)意見。

弗洛伊德認(rèn)為， 維氏的觀點(diǎn)是把哥德爾證明轉(zhuǎn)換為意愿的理由， 將之稱為“一個(gè)句子無法證實(shí)或不可證明的”。 如果接受哥德爾證明作為句子“不可證明”的證據(jù)， 就澄清了事物是無法證實(shí)的觀點(diǎn)。 維氏對(duì)哥德爾數(shù)學(xué)證明的解釋確實(shí)如哥德爾本身理解的一樣， 從維氏的觀點(diǎn)來看， 哥德爾證明不是一個(gè)邏輯悖論， 而是一篇數(shù)學(xué)論文， 即產(chǎn)生了一個(gè)需要澄清的問題， 是否有“是真的但無法證實(shí)的”問題。 弗洛伊德認(rèn)為， 維氏同意哥德爾的觀點(diǎn)， 在羅素的系統(tǒng)中有真的但無法證實(shí)的命題。 弗洛伊德進(jìn)一步認(rèn)為： “維氏關(guān)于哥德爾的工作既沒有過多解釋數(shù)學(xué)的本質(zhì)， 也沒有說明其他嚴(yán)格不可能的證據(jù)。 顯然， 維氏希望縮小哥德爾定理的意義； 對(duì)他來說， 既不涉及數(shù)學(xué)證明的性質(zhì)， 因而也就不關(guān)注數(shù)學(xué)的本質(zhì)。 這僅僅是許多數(shù)學(xué)證明中的一個(gè)例子——盡管人們?cè)谡軐W(xué)上更有可能被誤導(dǎo)?！盵13]

當(dāng)然， 弗洛伊德認(rèn)為維氏實(shí)際上是拒絕承認(rèn)哥德爾定理所擁有的重要哲學(xué)地位。 她解釋道： “維氏關(guān)于哥德爾證明的根本觀點(diǎn)是， 他展示了某種不可能的建構(gòu)——就像用尺子和圓規(guī)不可能三等分一個(gè)角的證明?！盵13]維氏所堅(jiān)持的觀點(diǎn)是， “p的不可證明性”必須放棄尋找證明的強(qiáng)制理由。 也就是說， 不用去尋找如用尺子和圓規(guī)三等分一個(gè)角那樣的證明， 哥德爾的證明不構(gòu)成強(qiáng)制性理由， 因此， 哥德爾證據(jù)中有矛盾， 無法進(jìn)行這樣的預(yù)測(cè)。 鑒于哥德爾式命題既不是一個(gè)基本定律， 也不是羅素系統(tǒng)中可證明的命題， 維氏否認(rèn)哥德爾已經(jīng)澄清了這個(gè)問題， 因?yàn)樗裾J(rèn)P， 或者否認(rèn)有可能是真的但無法證實(shí)的陳述。 維氏認(rèn)為， 這種主張的真理性不可信， 因?yàn)槌嗽庌q， 人們無法使用它。

在《維特根斯坦的數(shù)學(xué)哲學(xué)》一書中， 古德斯坦寫道， 維氏在RFM中對(duì)GIT評(píng)論的核心論點(diǎn)是“唯一有意義的數(shù)學(xué)命題是它在一些系統(tǒng)中(不一定是完全形式化的系統(tǒng)中)可證明， 數(shù)學(xué)的‘真’意指是可證明的”[10]。 根據(jù)維氏的思路， 這里的“真”意味著在其他系統(tǒng)中是可證明的。 因此， 哥德爾的句子被認(rèn)為在一些A系統(tǒng)中是可證明的， 但不能說在另一個(gè)B系統(tǒng)中也是可證明的。 當(dāng)然， 古德斯坦認(rèn)為維氏的觀點(diǎn)被誤解了， 因?yàn)榫S氏認(rèn)為， 一個(gè)詞的“真”在于其使用。 在標(biāo)準(zhǔn)解釋中， “(?x)G(x)是真的， 因?yàn)樗拿總€(gè)實(shí)例G(0)、G(1)、G(2)……都是可證明的， 因此是真的”[10]。 或者我們可以通過排中律來解釋“真”。

古德斯坦認(rèn)為， 我們可能只訴諸排中律來肯定“(?x)G(x)”， “(?x)┒G(x)”是真的， 因?yàn)檫@些句子都是不可證明的， 即無法說明一個(gè)句子既是真的又是可證實(shí)的。 首先， “(?x)┒G(x)”不是真的， 如果它是真的話， 那么就應(yīng)該存在“(?x)G(x)”的證據(jù)； 如果有相關(guān)證據(jù)的話， 那么我們就可以證明“(?x)┒G(x)”， 但在這種情況下， 系統(tǒng)是不自洽的。 其次， 如果系統(tǒng)是自洽的， 那么命題就獨(dú)立于系統(tǒng)， 然而這條論證思路是問題乞求的， 正如維氏所說： “我們認(rèn)為自己已經(jīng)有了固定的排中律， 這是無論如何都不能懷疑的。 而事實(shí)上， 當(dāng)我們質(zhì)疑p或者～ p時(shí)， 在某種意義上這種重言式是不可靠的。”[11]V§12“當(dāng)有人苦惱于研究我們的排中律時(shí)是不能被否認(rèn)的， 很明顯的是這是有問題的。 當(dāng)有人設(shè)立了排中律， 他是在我們面前放置了兩張可供選擇的圖片， 然后說其中一張圖片必須與事實(shí)相對(duì)應(yīng)。 但讓人質(zhì)疑的是， 這些圖片可以應(yīng)用于這里的事例嗎？”[11]V§10

因此， 維氏主張如果系統(tǒng)是自洽的， 那么在每個(gè)獨(dú)立的系統(tǒng)中無論是p還是～p都是不可證明的。 如果我們承認(rèn)在一個(gè)特定的系統(tǒng)中一種表達(dá)式是不可證明的話， 那么這個(gè)系統(tǒng)中的其他命題也是不可證明的。 因此， 古德斯坦說： “在哥德爾的工作中新的事物是什么呢？是一種發(fā)現(xiàn)的方法， 在任何足夠豐富的形式化算術(shù)中， 該方法可用來產(chǎn)生不可判定的句子， 這表明沒有算術(shù)公理的遞歸集是完全的。”[10]古德斯坦認(rèn)為， p或者～ p必須真的， 在系統(tǒng)內(nèi)一種表達(dá)式是可證明的， 那么另一系統(tǒng)內(nèi)表達(dá)式也必須為真或?yàn)榧佟?在形式化運(yùn)算中， 我們可以建構(gòu)真的但不可判定的命題。 但維氏認(rèn)為， 在這種情況下， 意義的建構(gòu)是模糊的， 也就是說建構(gòu)的意義遠(yuǎn)未確定。 鑒于p獨(dú)立于我們的算術(shù)演算， 我們?nèi)绾沃阑蛘邽槭裁次覀冋f這是一個(gè)為真或?yàn)榧俚臄?shù)學(xué)命題呢？正如維氏所言， 這種符號(hào)建構(gòu)只是一個(gè)句子， 但不足以給出這些符號(hào)聯(lián)結(jié)以意義。

古德斯坦認(rèn)為， 也許更好的方法是重新考慮維氏的立場(chǎng)， 即重新考慮關(guān)于“系統(tǒng)的真”和“在系統(tǒng)中的證明(或可證明的)”的立場(chǎng)。 對(duì)維氏來說， 這些表達(dá)式是共外延的(co-extensive)。 然而， 人們對(duì)于維氏存在的誤解正是在于， 維氏不會(huì)支持它們是共外延的， 因?yàn)檫@隱含了真理性和證明是不同的事物， 進(jìn)而數(shù)學(xué)命題的“真”是通過證明這些數(shù)學(xué)命題來發(fā)現(xiàn)它們的真。 維氏對(duì)數(shù)學(xué)命題的主要看法是， 一切都是句法的， 沒有什么是語義的。 真正的數(shù)學(xué)命題是特定的演算式， 或者可以用演算式來證明它， 或者可以用演算式來說明它是可證明的。 在實(shí)在論者與形式主義者的爭議中， 維氏的評(píng)論提供了一種新的解決方案： 數(shù)學(xué)命題是真的， 因?yàn)樗鼈冊(cè)谘菟闶街惺强勺C明的， 它們能通過形式上的公理規(guī)則推演出來； 這些數(shù)學(xué)命題是真的， 由于其有效地應(yīng)用了推理規(guī)則， 并且沒有什么能歸因于數(shù)學(xué)之外的世界。[10]

事實(shí)上， 古德斯坦認(rèn)為， 維氏的數(shù)學(xué)不是一個(gè)純粹的游戲， 因?yàn)閿?shù)學(xué)也應(yīng)該用于日常生活中。 后期維氏也強(qiáng)調(diào)了數(shù)學(xué)日常的應(yīng)用系統(tǒng)， 對(duì)數(shù)學(xué)演算進(jìn)行語義解釋， 也應(yīng)該包括不同的真理和證據(jù)。

四、 結(jié)論

在RFM中， 維氏評(píng)價(jià)GIT的一個(gè)主要目的是要提醒我們， 根據(jù)羅素系統(tǒng)的規(guī)則， GIT不能排除p的可推論性， 因?yàn)楦绲聽柖ɡ碇皇潜砻鳎?如果羅素的系統(tǒng)是自洽的， 那么p則不是可推論的。 維氏理論的優(yōu)勢(shì)在于他迫使我們?nèi)ベ|(zhì)疑哥德爾所建構(gòu)的命題p的意義。 從1929年維氏重新回歸哲學(xué)研究開始， 他就一直在質(zhì)疑數(shù)論表達(dá)式是否能夠量化無限數(shù)學(xué)領(lǐng)域， 因?yàn)檫@樣的一些表達(dá)式將是不可判定的， 因此它們也不是有意義的數(shù)學(xué)命題。 如果沒有一個(gè)適當(dāng)?shù)摹?有效的判定過程， 那么我們無法確定GC和FLT的真或假。 鑒于大多數(shù)數(shù)學(xué)家和哲學(xué)家把維氏的反直覺結(jié)論看成一種建構(gòu)數(shù)學(xué)的激進(jìn)歸謬法， 從而導(dǎo)致人們對(duì)維氏誤解的加劇。 但筆者認(rèn)為， 不應(yīng)該簡單地駁斥維氏對(duì)于GIT的評(píng)論， 事實(shí)上， 維氏對(duì)GIT評(píng)價(jià)的真正價(jià)值在于， 我們應(yīng)該質(zhì)疑p的意義， 因?yàn)閜在數(shù)學(xué)證明和計(jì)算中是不可用的， 也很難想象在另外一個(gè)應(yīng)用系統(tǒng)中， 它是如何被應(yīng)用于現(xiàn)實(shí)世界中的。

[1] 維特根斯坦.維特根斯坦全集：第三卷哲學(xué)評(píng)論[M].丁冬紅，等,譯.石家莊：河北教育出版社,2003.

[2] WAISMANN F.Wittgenstein and the Vienna Circle[M].B.F.McGuinness,ed.and tran.Oxford:Blackwell,1979.

[3] 維特根斯坦.維特根斯坦全集：第二卷維特根斯坦與維也納小組[M].黃裕生，等,譯.石家莊：河北教育出版社，2003.

[4] 維特根斯坦.論數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)[M].涂紀(jì)亮，等,譯.石家莊：河北教育出版社，2003.

[5] WANG H.Wittgenstein’s and Other Mathematical Philosophies[J].Monist,1984(67):18-28.

[6] WANG H.Reflections on Kurt G?del[M].Cambridge:The MIT Press,1988.

[7] WITTGENSTEIN L.Philosophical Remarks[M].Oxford: Blackwell,1975.

[8] WITTGENSTEIN L.Philosophical Grammar[M].Rush Rhees ed.Anthony Kenny,tran Cambridge:Blackwell,1974.

[9] WITTGENSTEIN L.TractatusLogico-Philosophicus[M].London:Routledge,1922.

[10] GOODSTEIN R L.Wittgenstein’s Philosophy of Mathematics[M]∥ Ambrose,Alice and Morris Lazerowitzeds.Ludwig Wittgenstein:Philosophy and Language[M].London:George Allen and Unwin Ltd,1972:271-286.

[11] WITTGENSTEIN L.Remarks on the Foundations of Mathematics[M].2nded.London:Blackwell,1967.

[12] VICTOR R.Wittgenstein’s Inversion of G?del’s Theorem[J].Erkenntnis,1999(2/3):173-206.

[13] FLOYD J.On Saying What You Really Want to Say:Wittgenstein,G?del,and the Trisection of the Angle[J].Hintikka,1995(2):373-425.

[責(zé)任編輯尚東濤]

RemarkonWittgenstein’sCommentsonG?del’sTheorem

FAN Yue-hong

(SchoolofPhilosophyandSociology,ShanxiUniversity,Taiyuan030006,China)

The basic problem of the philosophy of mathematics has long been of concern to Wittgenstein. G?del’s proposed First Incompleteness Theorem that has thoroughly shaken mathematics of logicism, intuitionism and formalism at 1930s. Wittgenstein commented G?del’s First Incompleteness Theorem in his mid-to-late period, but his comments were widely questioned and criticized. This is mainly because people misunderstood or misread Wittgenstein’s view. This paper will analyze and interpret his comments in the context of Wittgenstein’s philosophy of mathematics, and finally clarify his theoretical features.

Wittgenstein; GIT; mathematical proposition; undecidable; finitism

N031

A

1009-4970(2017)10-0008-06

2017-06-01

教育部人文社會(huì)科學(xué)青年基金項(xiàng)目(15YJC720006)

樊岳紅(1981—)， 女， 湖南岳陽人， 博士， 副教授， 研究方向?yàn)榭茖W(xué)哲學(xué)與認(rèn)知科學(xué)哲學(xué)。