基于連續(xù)函數(shù)性質(zhì)在積分計算中應(yīng)用的研究

李 偉

(集美大學(xué)理學(xué)院, 福建廈門 361021)

基于連續(xù)函數(shù)性質(zhì)在積分計算中應(yīng)用的研究

李 偉

(集美大學(xué)理學(xué)院, 福建廈門 361021)

對于Riemann積分的計算，高等數(shù)學(xué)教材中歸納出了奇、偶函數(shù)在對稱區(qū)間上的兩個運算性質(zhì)．本文在此基礎(chǔ)上，推出對稱區(qū)間[-a，a]上任意連續(xù)函數(shù)的積分性質(zhì)，以及任意區(qū)間[a，b]上連續(xù)函數(shù)積分的幾個性質(zhì)，并應(yīng)用這些性質(zhì)求解有關(guān)連續(xù)函數(shù)的Riemann積分問題．

連續(xù)函數(shù)；Riemann積分；對稱區(qū)間；任意區(qū)間

1 預(yù)備知識

定義1[1]設(shè)函數(shù)f(x)在點x0的某鄰域內(nèi)有定義，若

則稱函數(shù)f(x)在點x0連續(xù)．

定義2[2]若函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)每一點都連續(xù)，則稱函數(shù)f(x)是(a,b)內(nèi)的連續(xù)函數(shù)；若函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)連續(xù)，又在區(qū)間端點a處右連續(xù)，在b處左連續(xù)，則稱函數(shù)f(x)是閉區(qū)間[a,b]上的連續(xù)函數(shù)．

定義3[3]若函數(shù)f(x)在[-a,a]上連續(xù)且為奇函數(shù)，則

∫-aaf(x)dx=0

定義4[3]若函數(shù)f(x)在[-a,a]上連續(xù)且為偶函數(shù)，則

∫-aaf(x)dx=2∫0af(x)dx

2 推廣的性質(zhì)的證明及應(yīng)用

性質(zhì)1 若函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[-a,a]上連續(xù)，則

∫-aaf(x)dx=∫0a[f(x)+f(-x)]dx

=∫a0f(-u)(-du)dx

=∫0af(-u)du

=∫0af(-x)dx，

所以 ∫-aaf(x)dx=∫-a0f(x)dx+∫0af(x)dx=∫0af(-x)dx+∫0af(x)dx=∫0a[f(x)+f(-x)]dx．

在對稱區(qū)間上非奇、非偶的連續(xù)函數(shù)的定積分計算，運用性質(zhì)1能收到好的效果．

其中

因此

由定義3、定義4及性質(zhì)1，可將對稱區(qū)間上連續(xù)函數(shù)定積分的計算，歸納為如下性質(zhì).

若函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[-a,a]上連續(xù)，則

∫-aaf(x)dx=

性質(zhì)2[4-5]若函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則

∫abf(x)dx=

證明 令u=a+b-x，則

∫abf(x)dx=∫baf(a+b-u)d(-u) =∫abf(a+b-x)dx，

所以有

又因為

在上面后式中令u=a+b-x，則有

所以有

∫abf(x)dx=

于是性質(zhì)2得證．

因為

所以由性質(zhì)2的結(jié)論(1)有

性質(zhì)3[6]若函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且 f(x)=f(a+b-x)，則

令

因為

F(x)=-F(a+b-x)

由性質(zhì)2結(jié)論(1)，所以有

亦即

例3 計算 ∫02πxcos2xdx．

解 令 f(x)=cos2x．

因為

f(x)=f(2π-x)，

所以由性質(zhì)3有

3 結(jié)語

對于連續(xù)函數(shù)在對稱區(qū)間或任意區(qū)間上的Riemann積分的計算，只要弄清被積函數(shù)的奇、偶性或有關(guān)特征，運用本文中推廣之性質(zhì)，將有利于問題的解決，這對于Riemann積分的計算將起到事半功倍的效果．

[1] 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系．?dāng)?shù)學(xué)分析：上冊[M]．4版．北京：高等教育出版社，2010：85-91．

[2] 上海交大，集美大學(xué)．高等數(shù)學(xué)：上冊[M]．3版．北京：科學(xué)出版社，2010：62-68．

[3] 同濟大學(xué)數(shù)學(xué)系．高等數(shù)學(xué)：上冊[M]．6版．北京：高等教育出版社，2012：244-253．

[4] 朱莉．積分對稱性及其在簡化積分計算中的應(yīng)用[J]．南通職業(yè)大學(xué)學(xué)報，2010, 24(4)：78-81．

[5] 曹斌，孫艷．對稱性在積分計算中的應(yīng)用[J]．吉林師范大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，2012，8：125-128．

[6] 韋寶榮．連續(xù)函數(shù)若干性質(zhì)的研究[J]．杭州師范學(xué)院學(xué)報：自然科學(xué)版，2008,7(1)：1-5．

[責(zé)任編輯 胡廷鋒]

A Study of the Application of the Properties of Continuous Function in Integral Calculation

LI Wei

(School of Sciences, Jimei University, Xiamen 361021, China)

With regard to the calculation of Riemann integration, advanced mathematics teaching materials generalized odd and even function’s two operation properties on symmetric interval. (see literature [1]). On this basis, this paper obtains the integral properties of arbitrary continuous function on symmetric interval [-a,a], and some properties of continuous function on arbitrary interval [a,b], and applies these properties in the solution to the problems of continuous function Riemann.

continuous function; Riemann integration; symmetric interval; arbitrary interval

O171

A

1009-4970(2017)02-0026-03

2016-12-08

集美大學(xué)教學(xué)質(zhì)量工程資助項目 (C16207)

李偉(1962—)， 男， 湖北恩施人, 副教授.