美國CPMP教材中隱匿的數(shù)學(xué)知識觀

胡晉賓+劉洪璐

【摘要】數(shù)學(xué)知識觀是人們對數(shù)學(xué)知識的總體認(rèn)識和基本觀點(diǎn)，它大致可以劃分為本質(zhì)觀、價(jià)值觀和獲得觀3個(gè)維度.以此分析美國CPMP教材發(fā)現(xiàn)，其中隱匿的數(shù)學(xué)知識觀是：淡化演繹，注重開放；凸顯應(yīng)用，關(guān)切現(xiàn)實(shí)；課題驅(qū)動(dòng)，強(qiáng)調(diào)互動(dòng).這啟示我們：一方面，教材編寫應(yīng)該高度重視數(shù)學(xué)知識觀的滲透和引領(lǐng)；另一方面，教師應(yīng)該多加領(lǐng)悟教材中隱匿的數(shù)學(xué)知識觀去開展教學(xué)實(shí)踐.

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)知識觀；數(shù)學(xué)教材；美國CPMP教材

1研究緣起

眾所周知，知識是課程設(shè)置與編制的基礎(chǔ).而知識觀是從人們長期的知識生成和累積過程中形成的關(guān)于知識問題的總體認(rèn)識和基本觀點(diǎn)，它往往潛藏著對知識本質(zhì)、表征、價(jià)值、標(biāo)準(zhǔn)、范式、有效性的假設(shè)與信念 [1].具體到數(shù)學(xué)知識觀，不同的數(shù)學(xué)知識觀會直接導(dǎo)致課程改革與教材編寫的不同路徑選擇，進(jìn)而對學(xué)生學(xué)習(xí)和教師教學(xué)導(dǎo)致迥然結(jié)局.一方面，以往的教材研究多從中外教材對比和編寫特色介紹等角度切入；另一方面，當(dāng)前高中數(shù)學(xué)課標(biāo)正在修訂之中，相應(yīng)的數(shù)學(xué)課標(biāo)教材即將進(jìn)行大幅度修改并面臨重新送審.為此，我們借鑒知識觀這副理論“眼鏡”來考察隱匿在美國CPMP教材中的數(shù)學(xué)知識觀，并期望拋磚引玉地引起對教材編寫和使用中數(shù)學(xué)知識觀問題的高度重視.

2數(shù)學(xué)知識觀框架

為了研究的方便，我們把數(shù)學(xué)知識觀劃分為如下3個(gè)維度：

2.1數(shù)學(xué)知識本質(zhì)觀

數(shù)學(xué)知識本質(zhì)觀回答的問題有：數(shù)學(xué)知識本質(zhì)是什么？它是開放的，還是封閉的？數(shù)學(xué)知識是外在的客觀規(guī)律，還是內(nèi)在的價(jià)值信念？數(shù)學(xué)知識是各自孤立的，還是相互辯證的？數(shù)學(xué)知識是一種人為的工具，還是一種為人的文化？數(shù)學(xué)知識是一種經(jīng)驗(yàn)的總結(jié)，還是一種邏輯的演繹？數(shù)學(xué)是先驗(yàn)的，還是經(jīng)驗(yàn)的？等等.數(shù)學(xué)知識本質(zhì)觀是對數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)理解，這是最為核心的內(nèi)容，它是數(shù)學(xué)知識觀的邏輯起點(diǎn).

2.2數(shù)學(xué)知識價(jià)值觀

數(shù)學(xué)知識價(jià)值觀主要回答以下問題：數(shù)學(xué)知識具有什么樣的價(jià)值？（比如歐內(nèi)斯特所說的實(shí)用主義的目的、人本主義的目的和數(shù)學(xué)的目的，或者說在日常生活和工作、工程技術(shù)以及科學(xué)研究方面的價(jià)值）什么數(shù)學(xué)知識最有價(jià)值？不同數(shù)學(xué)知識的價(jià)值怎樣取舍？它們又該怎樣平衡和妥協(xié)？等等.數(shù)學(xué)知識價(jià)值觀既是對數(shù)學(xué)教育價(jià)值目標(biāo)的權(quán)衡理解，也是對數(shù)學(xué)教育目的的思考總結(jié).

2.3數(shù)學(xué)知識獲得觀

數(shù)學(xué)知識獲得觀主要回答以下問題：數(shù)學(xué)知識獲得是借助他人傳授的，還是自我建構(gòu)的？是通過實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)歸納的，還是抽象邏輯演繹的？數(shù)學(xué)知識的發(fā)展需要參與還是旁觀，需要主動(dòng)還是被動(dòng)？數(shù)學(xué)知識學(xué)習(xí)需要具有情境，還是不要情境？數(shù)學(xué)知識學(xué)習(xí)是一種機(jī)械學(xué)習(xí)還是一種意義學(xué)習(xí)？數(shù)學(xué)知識獲得是需要自主學(xué)習(xí)，還是合作學(xué)習(xí)？等等.數(shù)學(xué)知識獲得觀是對數(shù)學(xué)學(xué)與教的一種具體觀念.

3美國CPMP教材中隱匿的數(shù)學(xué)知識觀

“核心-強(qiáng)化數(shù)學(xué)方案”（英文Core-plus Mathematics Project，以下簡稱“CPMP”）教材是以美國西密執(zhí)安大學(xué)為研究基地，參照美國《學(xué)校數(shù)學(xué)課程與評價(jià)標(biāo)準(zhǔn)》和NCTM《數(shù)學(xué)教學(xué)專業(yè)標(biāo)準(zhǔn)》進(jìn)行編寫設(shè)計(jì)的一套教材.“核心-強(qiáng)化”的初衷和理念是：“把許多重要且有應(yīng)用價(jià)值的數(shù)學(xué)傳授給盡量多的學(xué)生”.該套教材被美國教育部評為新編課程的范例，受到數(shù)學(xué)教育界的普遍關(guān)注.接下來，我們以該套教材的第2版[2]為例來加以分析.（教材共有4本，由課程1～課程4組成，課程4是微積分初步）

3.1從知識本質(zhì)觀來看：淡化演繹，注重開放

相對于傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教材而言，在CPMP里面，看不到精確的概念、確鑿的定理、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖C明、規(guī)范的示例，它給學(xué)生提供的不是一個(gè)高度認(rèn)同的、成熟定型的、冷峻客觀的數(shù)學(xué)知識體系.從教材編寫來看，數(shù)學(xué)知識不是神秘的，也不是先驗(yàn)的，而是來自于對生活中實(shí)際問題的提煉，最后又回歸到對實(shí)際問題的解決之中.在這里面，數(shù)學(xué)知識不是演繹和傳授的，而是歸納和發(fā)現(xiàn)的.知識不是干癟的，而是鮮活的.知識不是自成一體的封閉體系，而是活力十足的開放平臺.在CPMP中，數(shù)學(xué)知識是有具體意義和豐富背景的，總是和生活中的案例聯(lián)系在一起，而不是脫離實(shí)際的、抽象的純粹知識.CPMP教材每本都有8個(gè)單元，每個(gè)單元（unit）設(shè)計(jì)一個(gè)主題，這個(gè)單元再細(xì)分為2-3個(gè)課時(shí)（lesson）.對于數(shù)學(xué)的具體門類知識如代數(shù)、幾何、三角、統(tǒng)計(jì)、概率等，依賴于主題素材背后的數(shù)學(xué)模型和思想方法，在每個(gè)年級都有可能出現(xiàn).比較而言，我們看不到類似我國教材那樣的標(biāo)示鮮明的定義公式，長篇大論的形式推導(dǎo).

3.2從知識價(jià)值觀來看：凸顯應(yīng)用，關(guān)切現(xiàn)實(shí)

對數(shù)學(xué)知識應(yīng)用的凸顯和強(qiáng)調(diào)，對社會現(xiàn)實(shí)問題的聚焦和關(guān)切，成為該套教材的最大特色和價(jià)值取向.CPMP對于信息技術(shù)（圖形計(jì)算器和計(jì)算機(jī)軟件等）的大量使用，促進(jìn)學(xué)生對于口頭、文字、圖象和符號的多種表征切換，減少對運(yùn)算技能的要求.在他們看來，學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識，重要的即是要讓他們會用這些知識解決實(shí)際問題.CPMP編寫時(shí)，將情境在時(shí)間（過去-現(xiàn)在-將來等）、空間（民族間-地球村-宇宙內(nèi)等）、領(lǐng)域（科技-文化-生活-娛樂等）等視點(diǎn)落腳，讓讀者身臨其境地覺得，數(shù)學(xué)教材人文氣息濃郁，思維視角開闊，知識效用巨大.比如，有道計(jì)算概率的問題，情境就是1912年泰坦尼克號游輪沉沒后的遇難人數(shù)和性別比例，并配有當(dāng)時(shí)的泰坦尼克號游輪照片.又如，在第1冊第8單元中（第551面），內(nèi)容是關(guān)于概率模型的，設(shè)計(jì)的問題卻是關(guān)于中國的人口問題.在一張中國三口之家合力挖掘山芋的彩色圖片之上，導(dǎo)言寫道：“在有些國家（地區(qū)），妻子習(xí)慣嫁到丈夫的家庭中一起生活.結(jié)果夫妻雙方假若只生女兒，女兒出嫁后他們就沒有子嗣來養(yǎng)老.……中國采取了獨(dú)生子女政策來限制人口過度增長，但是這些政策在養(yǎng)兒防老的農(nóng)村不受歡迎.現(xiàn)在請你考慮以下問題：眾所周知，文化傳統(tǒng)的習(xí)慣和人口基數(shù)的龐大經(jīng)常導(dǎo)致社會問題的積重難返.但是概率可以幫助理解不同政策的相應(yīng)后果.①假如國家規(guī)定一對夫婦只生一胎，那么這個(gè)孩子是男孩的可能性有多大？是女孩的可能性是多大？你回答這個(gè)問題的前提假設(shè)是什么？②如果中國的父母貫徹獨(dú)生子女政策，那么你認(rèn)為中國人口會增加、減少還是保持不變？為什么？③設(shè)想中國政府可能會采用的控制人口增長的幾個(gè)政策計(jì)劃，每個(gè)計(jì)劃均需回答以下問題：第一，該政策下，生兒子的可能性多大？第二，該政策下，中國人口是增加、減少還是保持不變？第三，該政策下，中國人口的結(jié)果是男多于女還是女多于男？第四，該政策下，每個(gè)家庭的平均子女可能是多少？”

3.3從知識獲得觀來看：課題驅(qū)動(dòng)，強(qiáng)調(diào)互動(dòng)

相對說來，我們國家的教材采用的是知識驅(qū)動(dòng)的架構(gòu)思路，沿著核心知識展開具體的內(nèi)容.即便設(shè)計(jì)情境，也是“形式為內(nèi)容服務(wù)”，蜻蜓點(diǎn)水式的一帶而過，很快又會回歸數(shù)學(xué)知識本身.而CPMP采用的是課題驅(qū)動(dòng)的方法，來整合代數(shù)、幾何、統(tǒng)計(jì)與概率、離散數(shù)學(xué)等內(nèi)容，借助大量的課題和問題來提供給學(xué)生分析和抽象、探索和理解數(shù)學(xué)知識的機(jī)會.精心選擇的課題是相關(guān)知識的交匯點(diǎn)，它作為諸多數(shù)學(xué)知識的表現(xiàn)載體，成為教材編寫的外在軀殼.在呈現(xiàn)內(nèi)容時(shí)，教材采用的方式是互動(dòng)的、豐富的，對話是多向的.CPMP設(shè)計(jì)了大量的數(shù)學(xué)問題和習(xí)題，在許多地方，提倡學(xué)生學(xué)習(xí)的自主性，在教學(xué)和評估之中，要求通過小組加上獨(dú)立的方式，讓學(xué)生進(jìn)行探索、猜想、驗(yàn)證、應(yīng)用、評價(jià)、討論、分享，促進(jìn)數(shù)學(xué)思維的發(fā)展和數(shù)學(xué)問題的解決.在每一個(gè)數(shù)學(xué)模型概括環(huán)節(jié)，要求學(xué)生準(zhǔn)備和全班同學(xué)分享自己的總結(jié)心得（be prepared to share your thinking with the whole class）.因此，傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教材的面貌在這里得以顛覆，CPMP如同數(shù)學(xué)思維實(shí)驗(yàn)的素材手冊，數(shù)學(xué)問題探究的操作指南.

以第1冊第1單元“變化中的模式”為例，課程設(shè)計(jì)主要目的是為了發(fā)展學(xué)生的以下數(shù)學(xué)能力：認(rèn)識和描述相關(guān)變量的重要模式，使用表格、圖形、文字、符號表示關(guān)系，運(yùn)用推理和計(jì)算工具來回答問題和解決疑難.該單元?jiǎng)澐譃橐韵?課：原因和結(jié)果，隨著時(shí)間變化，研究變化模型的工具.第1課時(shí)“原因和結(jié)果”的具體內(nèi)容呈現(xiàn)流程如下.（其他課時(shí)流程大致相同）①呈現(xiàn)具體情境，是極限體育中的蹦極跳，考慮蹦極者體重和繩長的關(guān)系.②活動(dòng)研究設(shè)計(jì)，模擬蹦極運(yùn)動(dòng)的繩長設(shè)計(jì)，研究繩子定價(jià)和顧客購買的關(guān)系.③數(shù)學(xué)模型概括，從上述實(shí)例中抽象出一次函數(shù)依賴關(guān)系（線性函數(shù)）.④檢驗(yàn)數(shù)學(xué)理解，設(shè)計(jì)相關(guān)問題，評價(jià)讀者對前述內(nèi)容的理解.⑤活動(dòng)研究設(shè)計(jì)，考慮概率中的機(jī)會把握，在慈善捐款游戲中的投入和收益.⑥數(shù)學(xué)模型概括，從上述實(shí)例中抽象出離散函數(shù)依賴關(guān)系（間斷性）.⑦檢驗(yàn)數(shù)學(xué)理解，設(shè)計(jì)相關(guān)問題，評價(jià)讀者對前述內(nèi)容的理解.⑧活動(dòng)研究設(shè)計(jì)，考察汽車賽事中的速度和時(shí)間之間的函數(shù)關(guān)系（非線性）.⑨檢驗(yàn)數(shù)學(xué)理解，設(shè)計(jì)相關(guān)問題，評價(jià)讀者對前述內(nèi)容的理解.⑩自己獨(dú)立作業(yè)，劃分為應(yīng)用（applications）、聯(lián)系（connections）、反思（reflectiongs）、拓展（extensions）、復(fù)習(xí)（review）板塊.（本課時(shí)題量分別是8，5，4，3，8）其中，“應(yīng)用”的目的是提供應(yīng)用所學(xué)知識的機(jī)會，“聯(lián)系”的目的是幫助將剛學(xué)知識和以前所學(xué)知識建立聯(lián)系，“反思”是幫助反思所學(xué)內(nèi)容，“拓展”是幫助探究相對深刻一些的數(shù)學(xué)知識，“復(fù)習(xí)”是為了幫助評價(jià)所學(xué)知識，熟練數(shù)學(xué)技巧.

4總結(jié)及反思

4.1分析總結(jié)

綜上所述，美國CPMP教材有如下特點(diǎn)：淡化了歐氏幾何的演繹內(nèi)容和體系，把數(shù)學(xué)各個(gè)分支進(jìn)行了綜合而不是分科，強(qiáng)調(diào)了問題情境，注重了數(shù)學(xué)的實(shí)際應(yīng)用，倡導(dǎo)了學(xué)生主體和探究、合作、討論等學(xué)習(xí)方式，等等.在數(shù)學(xué)知識本質(zhì)觀方面，淡化演繹，注重開放；在數(shù)學(xué)知識價(jià)值觀方面，凸顯應(yīng)用，關(guān)切現(xiàn)實(shí)；在數(shù)學(xué)知識獲得觀方面，課題驅(qū)動(dòng)，強(qiáng)調(diào)互動(dòng).

4.2編寫反思

從理論上來說，數(shù)學(xué)知識觀和教材編寫策略之間，存在著相互作用的辯證關(guān)系.一方面，課程和教材體現(xiàn)出明顯的價(jià)值觀念，反映出不同的數(shù)學(xué)知識觀取向，師生數(shù)學(xué)知識觀受到課程設(shè)計(jì)及教材編寫的明顯影響；另一方面，數(shù)學(xué)知識觀也會影響課程的設(shè)計(jì)和教材的編寫，課程的設(shè)計(jì)和教材的編寫總是在一定的數(shù)學(xué)知識觀的指導(dǎo)和影響下進(jìn)行的.為此，在當(dāng)前的課程標(biāo)準(zhǔn)修訂和教材重新送審，以及數(shù)學(xué)課程改革縱深推進(jìn)的背景下，反思美國CPMP教材中隱匿的數(shù)學(xué)知識觀，我們認(rèn)為尤其需要注意的是：一方面，尤其需要引起教材作者的高度關(guān)注的是，作為數(shù)學(xué)知識觀傳播最佳載體的數(shù)學(xué)教材，它的編寫責(zé)無旁貸地需要肩負(fù)起相應(yīng)動(dòng)態(tài)而辯證的數(shù)學(xué)知識觀引領(lǐng)職責(zé)，從而在數(shù)學(xué)教育實(shí)踐中去轉(zhuǎn)變那些靜態(tài)的、片面的、機(jī)械的和功利的數(shù)學(xué)知識觀；另一方面，教師應(yīng)該多加領(lǐng)悟數(shù)學(xué)教材中滲透的數(shù)學(xué)知識觀，并將這些價(jià)值觀念潤物細(xì)無聲地貫徹在數(shù)學(xué)課程實(shí)施之中，從而幫助學(xué)生在習(xí)得數(shù)學(xué)知識、提升數(shù)學(xué)能力、訓(xùn)練數(shù)學(xué)思維的同時(shí)，形成辯證而動(dòng)態(tài)的數(shù)學(xué)知識觀.

參考文獻(xiàn)

[1]潘洪建.知識本質(zhì)：內(nèi)在、開放、動(dòng)態(tài)——新知識觀的思考[J].教育理論與實(shí)踐，2003（2）：1-6.

[2]Christian R. Hirsch，et al.Core-plus Mathematics Project Contemporary Mathematics in Context（Student Edition）[M].New York∶The McGraw-Hill Companies，2008.