分類思想方法的內(nèi)涵及數(shù)學(xué)教育價值

◎劉悅紅

分類思想方法的內(nèi)涵及數(shù)學(xué)教育價值

◎劉悅紅

數(shù)學(xué)教育的目的不僅要使學(xué)生掌握數(shù)學(xué)知識與技能，喚起學(xué)生對數(shù)學(xué)的認(rèn)識，更要發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)意識，培養(yǎng)他們應(yīng)用數(shù)學(xué)的能力，形成解決問題的策略。因此，在學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識、基本技能獲得的過程中，也應(yīng)同時讓學(xué)生感悟基本的數(shù)學(xué)思想方法，形成正確的數(shù)學(xué)觀念，全面提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)。分類思想方法是現(xiàn)實(shí)世界人們應(yīng)用最廣泛的思想方法，對人的數(shù)學(xué)能力的發(fā)展有著重要的作用。通過分類內(nèi)容的學(xué)習(xí)與分類思想方法的應(yīng)用，使學(xué)生獲得分類思想方法，學(xué)會用分類思想方法分析、解決問題，形成有效的解決問題的策略，對學(xué)生的數(shù)學(xué)能力的提高有著極為重要的作用。

一、分類思想方法的內(nèi)涵

數(shù)學(xué)思想，是指人們對數(shù)學(xué)理論與內(nèi)容的本質(zhì)認(rèn)識，是從某些具體數(shù)學(xué)認(rèn)識過程中提煉出的一些觀點(diǎn)，它揭示了數(shù)學(xué)發(fā)展中普遍的規(guī)律，直接支配著數(shù)學(xué)的實(shí)踐活動，是對數(shù)學(xué)規(guī)律的理性認(rèn)識。數(shù)學(xué)方法，就是解決數(shù)學(xué)問題的方法，即解決數(shù)學(xué)具體問題時所采用的方式、途徑和手段，也可以說是解決數(shù)學(xué)問題的策略。數(shù)學(xué)思想是宏觀的，它更具有普遍的指導(dǎo)意義。而數(shù)學(xué)方法是微觀的，它是解決數(shù)學(xué)問題的直接具體的手段。一般來說，前者給出了解決問題的方向，后者給出了解決問題的策略。由于小學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容比較簡單，所以隱藏的數(shù)學(xué)思想和方法其本質(zhì)往往是一致的，很難截然分開。如常用的分類思想和分類方法、化歸的思想和化歸的方法，在本質(zhì)上都是相通的，所以小學(xué)數(shù)學(xué)通常把數(shù)學(xué)思想和方法看成一個整體概念，即數(shù)學(xué)思想方法。我們通常將分類思想、分類方法統(tǒng)稱為分類思想方法。

（一）分類思想

分類思想，是指根據(jù)一定的標(biāo)準(zhǔn)，對事物進(jìn)行有序劃分和組織的過程。是人們對分類對象的本質(zhì)及規(guī)律性的認(rèn)識，它是在分類活動中解決問題的基本觀點(diǎn)和根本想法，是建立數(shù)學(xué)知識和運(yùn)用分類工具解決問題的指導(dǎo)思想。在數(shù)學(xué)上的重要應(yīng)用就是分類討論的思想，即將問題按照一定的標(biāo)準(zhǔn)分為若干類，然后逐類進(jìn)行討論，再將這幾類的結(jié)論匯總，得出問題的答案。如在小學(xué)階段，得出“三角形內(nèi)角和是180°”這個結(jié)論，可以用動手操作試驗(yàn)的方法獲得結(jié)果：將某個三角形的三個角撕下，拼在一起，能拼成一個平角，從而得出這個三角形內(nèi)角和是180°。但只做一個三角形的操作試驗(yàn)不能足以說明任意三角形的內(nèi)角和是180°，可以根據(jù)三角形按角分類分為：銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形，對三種類型的三角形分別進(jìn)行動手操作試驗(yàn)，由此使學(xué)生認(rèn)識到，每類三角形將其三個角撕下，拼在一起，均能拼成一個平角，而得出一般結(jié)論：“任意三角形內(nèi)角和是180°”。這種得出“任意三角形內(nèi)角和是180°”的方法，就是將三角形按角分為的三類，逐類進(jìn)行討論，得出“每類三角形的內(nèi)角和都是180°”的結(jié)論，從而得出“任意三角形內(nèi)角和都是180°的結(jié)論?！?/p>

（二）分類方法

在分類思想的指導(dǎo)下，人們在從數(shù)學(xué)角度提出問題、解決問題的過程中獲得了分類解決問題的概括性策略，產(chǎn)生了分類方法。下面對分類的涵義、分類方法、分類應(yīng)遵循的原則及分類過程加以闡述。

1.分類的涵義

根據(jù)事物的特點(diǎn)分別歸類。即按照事物的種類、等級或性質(zhì)等屬性分別歸類。如將人分類、將郵件分類、將圖形分類等。現(xiàn)實(shí)生活及數(shù)學(xué)問題解決中分類的現(xiàn)象很多。通過分類將研究對象細(xì)化、具體化，有利于問題解決。

2.分類方法

將事物根據(jù)其某個屬性分為若干個有規(guī)律的類別，按此類別處理事物或解決問題。分類方法是分類思想指導(dǎo)下的解決問題的程序。如在現(xiàn)實(shí)生活中，將人按其性別分為男性和女性兩個類別，據(jù)此，將公共衛(wèi)生間設(shè)置成男、女衛(wèi)生間，將學(xué)生的宿舍設(shè)置成男、女宿舍等，這是應(yīng)用分類的方法處理現(xiàn)實(shí)問題的例子。在數(shù)學(xué)問題解決中常常還有在分類思想指導(dǎo)下的分類討論方法：在研究與解決數(shù)學(xué)問題時，如果問題不能以統(tǒng)一的或同一種方法處理或同一種形式表述、概括，可根據(jù)數(shù)學(xué)對象的本質(zhì)屬性的特點(diǎn)，按照一定的原則或某一確定的標(biāo)準(zhǔn)，在比較的基礎(chǔ)上，將數(shù)學(xué)對象劃分為若干既有聯(lián)系、又有區(qū)別的部分，然后逐類進(jìn)行討論，在此基礎(chǔ)上，綜合各類情況討論的結(jié)果，獲得問題的解決。

（三）分類的原則

應(yīng)用分類思想方法解決問題，應(yīng)根據(jù)事物的屬性選擇恰當(dāng)?shù)臉?biāo)準(zhǔn)進(jìn)行正確分類，正確分類的原則是：無重復(fù)、無遺漏、一致性、逐級分類、最簡便。無重復(fù)原則是指被分類的對象是確定的，在分類的結(jié)果中，每一個對象只能被分在某一類中，而不能重復(fù)出現(xiàn)在其他類中。無遺漏原則是指在分類的結(jié)果中，每一個被分的對象應(yīng)在某一類中，而不能有遺漏。一致性原則是指每一次分類的標(biāo)準(zhǔn)必須是統(tǒng)一的。逐級分類原則是指如需多次分類，必須逐級進(jìn)行，不得越級。最簡便原則是指所選擇的分類標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)使分類簡捷，有利于簡便地解決問題。

（四）分類過程

1.根據(jù)問題解決的需要確定分類標(biāo)準(zhǔn)

分類是根據(jù)事物的某一屬性進(jìn)行的，這一屬性就是分類標(biāo)準(zhǔn)，它是根據(jù)問題解決的需要來確定的。如，解決人們公共如廁問題，就是根據(jù)人的性別這一屬性，將人分為男性、女性兩類。隨之，將公共衛(wèi)生間設(shè)為男廁、女廁兩類，有效地解決了人們公共如廁的問題。

2.恰當(dāng)?shù)貙ρ芯繉ο筮M(jìn)行分類

分類之后的子項(xiàng)既不能“交叉”也不能“從屬”，即“既不重復(fù)，又無遺漏”。如按同一標(biāo)準(zhǔn)分物品，被分的某物品不能既是這一類，又是另一類。

此外，還有逐類進(jìn)行討論和綜合概括，歸納得出最后結(jié)論等。

二、分類思想方法的教育價值

分類思想方法對于人的成長和社會的發(fā)展有著重要的價值和作用，在現(xiàn)實(shí)生活中有廣泛的應(yīng)用價值，是學(xué)生后續(xù)發(fā)展性學(xué)習(xí)、理論與實(shí)踐結(jié)合的應(yīng)用基礎(chǔ)，是發(fā)展思維能力，培養(yǎng)創(chuàng)新性人才的有效學(xué)習(xí)內(nèi)容，通過分類思想方法的學(xué)習(xí)與應(yīng)用，可以幫助人們形成分類思想方法，獲得用分類思想方法解決問題的策略。

（一）分類思想方法是最基本的教學(xué)思想方法

數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)知識的抽象和概括，它蘊(yùn)涵在數(shù)學(xué)知識的發(fā)生、發(fā)展和應(yīng)用的過程中，能夠遷移和應(yīng)用于相關(guān)知識、數(shù)學(xué)問題的解決中，是數(shù)學(xué)知識體系的靈魂和本質(zhì)所在。分類思想方法是基本的數(shù)學(xué)思想方法，通過分類思想方法的學(xué)習(xí)與應(yīng)用，可以使人們獲得通過分類解決問題的一般策略，增強(qiáng)數(shù)學(xué)意識，提高解決問題的能力。分類思想方法是人們應(yīng)該獲得的最基本的重要的思想方法，它應(yīng)用廣泛，無孔不入地滲透到人們生活的各個領(lǐng)域。如圖書館圖書的擺放、商場中賣場的劃分等等，都是利用分類思想方法，將物品分類擺放，方便人們盡快地找到物品；再如，學(xué)校中的學(xué)生管理，可以按照學(xué)生入學(xué)的年份或?qū)W習(xí)內(nèi)容，將全校學(xué)生分成一至六年級。生活中應(yīng)用分類思想方法解決問題的例子很多，不勝枚舉。當(dāng)人們在獲得了分類思想方法之后，才可能利用分類的方法去分析、解決問題，形成用分類的思想方法解決問題的意識和能力，從而在學(xué)習(xí)、生活及工作中加以應(yīng)用。

分類思想方法是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識、形成能力的重要基礎(chǔ)。小學(xué)生對統(tǒng)計(jì)與概率內(nèi)容的學(xué)習(xí)，正是在學(xué)習(xí)了分類知識的基礎(chǔ)之上展開的。如統(tǒng)計(jì)班級學(xué)生最喜歡什么種類的圖書，首先就要將圖書進(jìn)行正確分類，然后對學(xué)生喜歡的每類圖書情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，最后根據(jù)統(tǒng)計(jì)的數(shù)據(jù)分析而獲得對班級學(xué)生最喜歡的圖書種類的認(rèn)識。

在小學(xué)階段使學(xué)生獲得分類思想方法，將對學(xué)生升入初中、高中的后繼學(xué)習(xí)產(chǎn)生重大影響。初中和高中數(shù)學(xué)的分類解決問題的方法就是在學(xué)生已有的經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)的。分類討論思想是數(shù)學(xué)思想方法中一種比較重要的方法。分類討論思想又稱“邏輯化分思想”，是分類思想在解題中的具體應(yīng)用，它是把所要研究的數(shù)學(xué)對象劃分為若干不同的情形，然后再分別進(jìn)行研究和求解的一種數(shù)學(xué)思想,相關(guān)的習(xí)題具有明顯的邏輯性、綜合性、探索性的特點(diǎn)。學(xué)生在小學(xué)階段進(jìn)行分類思想方法的學(xué)習(xí)，對其后繼的學(xué)習(xí)及應(yīng)用有著重要的教育價值。

（二）分類思想方法是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的有效途徑

數(shù)學(xué)思想方法是學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)中最積極、最活躍的因素，處于數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的最頂端，是形成學(xué)生良好認(rèn)識結(jié)構(gòu)的紐帶，是由知識轉(zhuǎn)化為能力的橋梁。對學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的建構(gòu)具有重要的意義。數(shù)學(xué)思想方法在數(shù)學(xué)教育中有著重要的作用,它對改變傳統(tǒng)教育觀念、培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新意識及應(yīng)用意識、發(fā)展數(shù)學(xué)思維、形成良好的數(shù)學(xué)素養(yǎng)方面具有極為重要的作用。數(shù)學(xué)思想方法在培養(yǎng)人的創(chuàng)新意識、培養(yǎng)人的探究能力和動手操作能力等方面是不可或缺的重要的學(xué)習(xí)內(nèi)容，其重要作用已經(jīng)引起國內(nèi)外專家的重視。圍繞數(shù)學(xué)思想方法的論著有很多，并在此基礎(chǔ)上提出如何根據(jù)蘊(yùn)含數(shù)學(xué)知識的教學(xué)內(nèi)容，來研究現(xiàn)代數(shù)學(xué)思想方法和指導(dǎo)教學(xué)。分類思想方法是應(yīng)在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中向?qū)W生滲透的基本數(shù)學(xué)思想方法，在學(xué)生獲得知識的過程中，發(fā)展其思維的縝密性、全面性等思維能力，培養(yǎng)其抽象、概括能力和探索創(chuàng)新的意識與精神。分類思想方法是發(fā)展思維能力，培養(yǎng)創(chuàng)新人才的有效學(xué)習(xí)內(nèi)容，是培養(yǎng)創(chuàng)新性人才的基礎(chǔ)。

（三）分類思想方法是學(xué)生學(xué)會解決問題的根本策略

人們在探索解決問題的過程中獲得了一些重要的思維結(jié)果，由此形成了數(shù)學(xué)思想，將數(shù)學(xué)思想作為解決問題的工具或手段就產(chǎn)生了數(shù)學(xué)思想方法。數(shù)學(xué)思想方法在問題解決中常常起到評估、決策的作用，進(jìn)而確定解決問題的策略。數(shù)學(xué)思想方法是分析、處理和解決數(shù)學(xué)問題的根本策略，是對數(shù)學(xué)規(guī)律的理性認(rèn)識，是對數(shù)學(xué)知識和方法的本質(zhì)概括。通過分類思想方法的學(xué)習(xí)與應(yīng)用，可以使人們在解決問題的過程中獲得用分類的方法分析和解決問題的策略。

（作者單位：大連教育學(xué)院）

（責(zé)任編輯：楊強(qiáng)）