數(shù)學(xué)史在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中的有效整合方式*

☉重慶合川中學(xué)校 唐義恒

☉重慶第八中學(xué)校 杜 懿

☉重慶市教育科學(xué)研究院 張曉斌

數(shù)學(xué)史在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中的有效整合方式*

☉重慶合川中學(xué)校 唐義恒

☉重慶第八中學(xué)校 杜 懿

☉重慶市教育科學(xué)研究院 張曉斌

20世紀(jì)70年代以來，數(shù)學(xué)史的教育功能逐步受到世界各國教育領(lǐng)域人員的高度重視，特別是HPM（數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教學(xué)關(guān)系國際研究小組）的正式成立標(biāo)志著數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育關(guān)系已成為一個獨(dú)立的學(xué)術(shù)研究領(lǐng)域，其研究內(nèi)容涉及數(shù)學(xué)教育取向的數(shù)學(xué)史研究、基于數(shù)學(xué)史的教學(xué)設(shè)計(jì)、歷史知識在課堂中的運(yùn)用等.進(jìn)入21世紀(jì)以后，世界上許多國家先后進(jìn)行了中小學(xué)數(shù)學(xué)課程改革，我國亦在其中，此次改革的一個重要方面就是注重?cái)?shù)學(xué)文化與數(shù)學(xué)教學(xué)的有機(jī)整合，將數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)課程，增強(qiáng)數(shù)學(xué)學(xué)科的人文價值，使學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識、技能、思想方法的過程中了解數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史和未來.我國數(shù)學(xué)大師吳文俊先生曾說，數(shù)學(xué)教育與數(shù)學(xué)史是分不開的.數(shù)學(xué)方法論專家徐利治先生也認(rèn)為，數(shù)學(xué)哲學(xué)、數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育的結(jié)合是數(shù)學(xué)教育改革的一個重要方向.數(shù)學(xué)教育專家宋乃慶教授則提出數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育相互需要、相互依存、不可分割.2003年4月頒布的《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》明確給出了數(shù)學(xué)文化的內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn).《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》“第四部分實(shí)施建議的教材編寫建議”中提出“數(shù)學(xué)文化作為教材的組成部分，應(yīng)滲透在整套教材中……以及數(shù)學(xué)發(fā)展史的有關(guān)材料，幫助學(xué)生了解在人類文明發(fā)展中數(shù)學(xué)的作用，激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，感受數(shù)學(xué)家治學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)，欣賞數(shù)學(xué)的優(yōu)美.”截至目前，我國共成功舉辦了數(shù)次數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育及數(shù)學(xué)文化論壇學(xué)術(shù)會議，有關(guān)數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育、數(shù)學(xué)文化的專欄、刊物等也如雨后春筍，呈現(xiàn)比較良好的發(fā)展趨勢.但是由于國內(nèi)關(guān)于這一方面的各項(xiàng)研究開展的時間不長，因而其中也存在一些值得商榷的問題，比如，呼吁在數(shù)學(xué)教學(xué)中融入數(shù)學(xué)史的各類文章、書籍層出不窮，但對于數(shù)學(xué)史“高評價，低應(yīng)用”的現(xiàn)象依舊普遍存在；多數(shù)文章只是在理論層面討論數(shù)學(xué)史的教育功能及其意義，對于具體操作辦法幾乎是避而不談；各類研究課題的范圍大多集中在大學(xué)階段和高中階段，針對初中階段與小學(xué)階段數(shù)學(xué)史教育的研究數(shù)量甚微；關(guān)于一線數(shù)學(xué)教師把教材中的數(shù)學(xué)史內(nèi)容體現(xiàn)到課堂教學(xué)中的實(shí)際現(xiàn)狀的研究，幾乎是一片空白；等等.基于以上情況的討論，本文擬給出以下幾種具體的操作方式，旨在拋磚引玉，以期有更多的、更有效的數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育整合的方式產(chǎn)生.

一、“歷史推導(dǎo)過程的重演”方式

教學(xué)流程：提出問題→重演歷史→歸納總結(jié)→形成結(jié)論→結(jié)論運(yùn)用.

具體操作：第1步，教師在教學(xué)開始時先設(shè)置問題情境，經(jīng)過初步分析和推敲，提出本節(jié)課需要解決的問題；第2步，教師向?qū)W生介紹與這個問題相關(guān)的歷史背景，呈現(xiàn)歷史上對這個問題的思考與解決方法；第3步，學(xué)生在教師的引導(dǎo)下進(jìn)行總結(jié)；第4步，讓學(xué)生形成對這個問題的正確認(rèn)識，得到結(jié)論；第5步，運(yùn)用結(jié)論解決其他相關(guān)問題，以加深理解.

教學(xué)案例：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）求根公式的推導(dǎo).

在當(dāng)前的教科書中，是利用配方法推導(dǎo)出ax2+bx+c= 0（a≠0）的求根公式的：

然而在代數(shù)學(xué)發(fā)展的初期，許多代數(shù)問題是利用幾何知識來解決的.下面我們重現(xiàn)古埃及推導(dǎo)一元二次方程求根公式的方法.首先提出如下問題：一個正方形與另一個以此正方形的邊為長的長方形（寬為b）面積之和為c，求此正方形的邊長.

由于尼羅河的定期泛濫，土地測量人員不得不多次丈量土地，久而久之，即形成了利用“出入相補(bǔ)”原理推導(dǎo)一元二次方程求根公式的方法.

圖1

進(jìn)行如圖1所示的操作，將長方形分割為兩個相等的小長方形（中圖），把其中一個小長方形放到正方形的底端（右圖），然后在右下角補(bǔ)上一個邊長為的小正方形，可得到一個邊長為x+的大正方形，其面積為c+，由此求出若把上述問題看作一個代數(shù)問題，則有x2+bx=c，即x2+bx=c的解為x=

特點(diǎn)分析：“歷史推導(dǎo)過程的重演”方式是以歷史為背景，以大量史料為依據(jù)，對教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行分析、提煉、歸納、提取結(jié)論.這是數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)的常用方式，它比較簡單、便捷，有很好的故事性和情趣性.學(xué)生在歷史故事中略作思考，通過歸納，便可得出結(jié)論.這一方式作為對理性抽象的數(shù)學(xué)課堂的一種調(diào)節(jié)，完全符合人文和科學(xué)相結(jié)合的時代要求.

二、“歷史矛盾觀點(diǎn)的辨析”方式

教學(xué)流程：提出問題→呈現(xiàn)歷史矛盾觀點(diǎn)→進(jìn)行辯論→形成結(jié)論→結(jié)論運(yùn)用.

具體操作：第1步，教師在教學(xué)開始時先設(shè)置問題情境，經(jīng)過初步分析和推敲，提出本節(jié)課需要解決的問題；第2步，教師向?qū)W生介紹與這個問題相關(guān)的歷史背景并提供相關(guān)的文獻(xiàn)，呈現(xiàn)歷史上對這個問題的思考及相矛盾的觀點(diǎn)，讓學(xué)生形成強(qiáng)烈的思維沖突；第3步，學(xué)生靜心思考后進(jìn)行辯論，在學(xué)生辯論的過程中，教師可以從思維上引導(dǎo)學(xué)生，并可變換立場，使辯論均衡，最后慢慢讓全班的立場都站到正確的或更具優(yōu)勢的認(rèn)識上；第4步，師生一起總結(jié)出正確的觀點(diǎn)，形成結(jié)論；第5步，運(yùn)用結(jié)論解決其他相關(guān)問題，以加深理解.

教學(xué)案例：負(fù)數(shù)教學(xué).

盡管負(fù)數(shù)及其運(yùn)算法則在16世紀(jì)就已經(jīng)產(chǎn)生，但直到19世紀(jì)，數(shù)學(xué)家仍然不用負(fù)數(shù).在他們看來負(fù)數(shù)是荒謬的，一個小于0的“數(shù)量”表示什么？數(shù)學(xué)家因?yàn)檎也坏截?fù)數(shù)的對應(yīng)物，而不能理解它，但他們又無法否認(rèn)負(fù)數(shù)在形式推導(dǎo)上是正確的.所以，有的數(shù)學(xué)家雖在思想上不承認(rèn)它，但仍然讓它參與數(shù)量運(yùn)算.數(shù)學(xué)家之所以遲遲不能接受負(fù)數(shù)，是因?yàn)楫?dāng)在數(shù)軸上表示數(shù)時，僅僅認(rèn)為數(shù)具有大小關(guān)系，而忽略了數(shù)在數(shù)軸上又表現(xiàn)為一種順序關(guān)系；不僅在數(shù)軸的正向有順序關(guān)系，在數(shù)軸的反向也具有順序關(guān)系.數(shù)學(xué)家只有在用負(fù)數(shù)表示虧損或負(fù)債時，才能理解負(fù)數(shù)的現(xiàn)實(shí)意義，才能認(rèn)識到數(shù)在另一個方向上也有大小和順序，才承認(rèn)負(fù)數(shù)是客觀存在的數(shù).因此，部分學(xué)生在學(xué)習(xí)負(fù)數(shù)時也會產(chǎn)生同樣的“認(rèn)知障礙”，而幫助學(xué)生順利跨越這個“認(rèn)知障礙”就成為教師教學(xué)的一個重要任務(wù).

特點(diǎn)分析：辯論是該模式中不可缺少的環(huán)節(jié)，是達(dá)到意義建構(gòu)的一個重要手段.采用“歷史矛盾觀點(diǎn)的辨析”方式進(jìn)行教學(xué)，使學(xué)生在辯論的過程中逐步養(yǎng)成敢于質(zhì)疑、善于交流、樂于合作的科學(xué)學(xué)習(xí)態(tài)度，從而能夠更加清晰地認(rèn)識問題的本質(zhì).事實(shí)上，這種教學(xué)模式對師生的要求都很高，操作難度也很大.它既要求教師能夠深刻領(lǐng)會先哲的觀點(diǎn)，特別是“錯誤觀點(diǎn)”；同時又要求學(xué)生具有較高的科學(xué)理性和思辨能力，讓學(xué)生認(rèn)識到，錯誤中也有合理性，正確只是更具優(yōu)越性，科學(xué)理論永遠(yuǎn)是不斷向前發(fā)展的.

三、“歷史假說猜想的驗(yàn)證”方式

教學(xué)流程：提出問題→呈現(xiàn)歷史假說或猜想→進(jìn)行實(shí)驗(yàn)→分析與論證→形成結(jié)論→結(jié)論運(yùn)用.

具體操作：第1步，教師在教學(xué)開始時先設(shè)置問題情境，經(jīng)過初步分析和推敲，提出本節(jié)課需要解決的問題；第2步，提供歷史上對這個問題提出的假說或猜想；第3步，根據(jù)假說或猜想，提出方案，進(jìn)行實(shí)驗(yàn)操作并記錄數(shù)據(jù)；第4步，對實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析與論證；第5步，教師引導(dǎo)學(xué)生形成正確的結(jié)論；第6步，運(yùn)用結(jié)論解決其他相關(guān)問題，以加深理解.

教學(xué)案例：勾股定理的教學(xué).

為了使學(xué)生理解并能用多種方式證明勾股定理，教師首先簡單介紹勾股定理的歷史背景，然后以小任務(wù)的形式讓學(xué)生明確整個實(shí)驗(yàn)的具體操作流程.

任務(wù)一：教師向?qū)W生介紹古希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯發(fā)現(xiàn)勾股定理的故事，給學(xué)生展示出“朋友家的地板圖”，在圖中選擇一個直角三角形，以這個直角三角形的三條邊各自為邊向外側(cè)畫正方形（假設(shè)基本單位長度為1），讓學(xué)生分別計(jì)算出這三個正方形的面積，并分析它們之間的數(shù)量關(guān)系.

任務(wù)二：每組學(xué)生拿出事先準(zhǔn)備好的幾個大小不同的直角三角形，計(jì)算兩直角邊長的平方和、斜邊長的平方.將得到的數(shù)據(jù)列表，猜測兩直角邊長與斜邊長之間的數(shù)量關(guān)系.

任務(wù)三：任務(wù)二中所得猜測“直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方”對于所有直角三角形是否都成立呢？教師通過幾何畫板向?qū)W生進(jìn)行驗(yàn)證展示.

任務(wù)四：教師給出“趙爽弦圖”和“總統(tǒng)證明圖”，讓每組學(xué)生思考并補(bǔ)充證明過程，然后選擇幾組進(jìn)行展示說明，此舉目的在于滲透割補(bǔ)思想.

任務(wù)五：教師給出“達(dá)芬奇證明圖”和“青朱出入圖”作為課后思考，以加深學(xué)生對勾股定理和割補(bǔ)思想的理解.

特點(diǎn)分析：“歷史假說猜想的驗(yàn)證”方式是很好的過程體驗(yàn)式教學(xué)方式.實(shí)驗(yàn)過程中蘊(yùn)含了大量的數(shù)學(xué)思想與方法，這些數(shù)學(xué)思想與方法會對學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提高起到積極、有效的作用.但其教學(xué)過程可能比較費(fèi)時、費(fèi)力，它要求對應(yīng)的數(shù)學(xué)史內(nèi)容本身具有深刻的思想和方法，因此教師必須在課前進(jìn)行充分準(zhǔn)備，深入了解歷史事件，并在尊重歷史事實(shí)的基礎(chǔ)上，做出合理取舍，設(shè)計(jì)出符合中學(xué)生思維和認(rèn)知水平的教學(xué)方案，這對學(xué)生能力和素質(zhì)的提高具有積極意義.

將數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)課程，尤其是融入日常課堂教學(xué)中，發(fā)揮數(shù)學(xué)史的育人功能，挖掘數(shù)學(xué)史的教育價值，是數(shù)學(xué)課程改革的一項(xiàng)重要任務(wù)，也是一個系統(tǒng)工程，需要數(shù)學(xué)史家、數(shù)學(xué)教育家、教材編寫者和廣大一線數(shù)學(xué)教師的共同努力才能完成.以上僅是我們對數(shù)學(xué)史有效融入中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)過程的一點(diǎn)拙見，還有一些考慮不周之處，懇望各位專家、同仁給予批評指導(dǎo)，對此不勝感激.

1.汪曉勤，張曉明.HPM研究的內(nèi)容與方法［J］.數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2006（2）.

2.中華人民共和國教育部制訂.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）［S］.北京：人民教育出版社，2003.

3.中華人民共和國教育部制訂.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）［S］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

4.李春蘭.數(shù)學(xué)文化研究與傳播——“第四屆全國數(shù)學(xué)文化論壇學(xué)術(shù)會議”綜述［J］.數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2015（1）.

5.李文林.數(shù)學(xué)史概論［M］.北京：高等教育出版社，2002.

6.劉超.負(fù)數(shù)的歷史及其啟示［J］.中學(xué)生數(shù)學(xué)，2009（5）.

7.汪曉勤，韓祥林.中學(xué)數(shù)學(xué)中的數(shù)學(xué)史［M］.北京：科學(xué)出版社，2002.

8.朱鳳琴，徐伯華.數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)模式的國際研究與啟示［J］.數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2010（3）.

*本文系重慶市教育科學(xué)“十二五”規(guī)劃2015年度重點(diǎn)課題“數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中自主學(xué)習(xí)實(shí)施途徑與策略的研究”（課題批準(zhǔn)號：2015－JC－009，課題負(fù)責(zé)人：魏云樓）的階段性研究成果.