基本學(xué)情，積極引導(dǎo)
——例談“多邊形內(nèi)角和”的教學(xué)

☉山東濱州市濱城區(qū)第六中學(xué) 王桂濱

基本學(xué)情，積極引導(dǎo)
——例談“多邊形內(nèi)角和”的教學(xué)

☉山東濱州市濱城區(qū)第六中學(xué) 王桂濱

一、引言

目前，我國(guó)有關(guān)數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的理論研究與教學(xué)實(shí)踐都比較薄弱，數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的內(nèi)涵一直難以界定，至今尚未對(duì)數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的含義達(dá)成共識(shí).多年來(lái)，一些專(zhuān)家學(xué)者撰文發(fā)表自己的看法，探究數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的確切含義，主要觀點(diǎn)有以下幾種：

1.數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是數(shù)學(xué)知識(shí)的一部分.“數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)屬于學(xué)生的主觀性數(shù)學(xué)知識(shí)的范疇”，數(shù)學(xué)知識(shí)不僅包括數(shù)學(xué)事實(shí)，也包括數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).

2.數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是一種認(rèn)識(shí)，特別是感性認(rèn)識(shí).個(gè)體的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是對(duì)自己以往經(jīng)歷的數(shù)學(xué)活動(dòng)在認(rèn)知方面的自覺(jué)或不自覺(jué)的感性概括，是一種感性認(rèn)識(shí).也有的認(rèn)為，數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是在數(shù)學(xué)目標(biāo)指引下，通過(guò)對(duì)具體事物進(jìn)行實(shí)際操作、考察和思考，從感性向理性飛躍時(shí)所形成的認(rèn)識(shí).

3.數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是體驗(yàn)，是經(jīng)歷.數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)活動(dòng)之后所留下的直接感受、體驗(yàn)和感悟.這些具有個(gè)體特色的內(nèi)容，既可以是感覺(jué)知覺(jué)的，也可以是經(jīng)過(guò)反省之后形成的經(jīng)驗(yàn).

4.數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)既是知識(shí)，也是過(guò)程.數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)分為靜態(tài)和動(dòng)態(tài)兩個(gè)層面.數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)介于緘默知識(shí)和顯性知識(shí)之間，從靜態(tài)上看是知識(shí)，是學(xué)生對(duì)整個(gè)數(shù)學(xué)活動(dòng)過(guò)程產(chǎn)生的認(rèn)識(shí)，包括體驗(yàn)和感悟等；從動(dòng)態(tài)上看是過(guò)程，是經(jīng)歷.

5.數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是組合體的整體概念.數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是指學(xué)習(xí)者在參與數(shù)學(xué)活動(dòng)的過(guò)程中所形成的感性知識(shí)、情緒體驗(yàn)和應(yīng)用意識(shí).感性知識(shí)是指具有學(xué)生個(gè)人意義的過(guò)程性知識(shí)；情緒體驗(yàn)是指對(duì)數(shù)學(xué)的好奇心和求知欲、在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)中獲得的成功體驗(yàn)、對(duì)數(shù)學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)性與數(shù)學(xué)結(jié)果確定性的感受，以及對(duì)數(shù)學(xué)美的感受與欣賞等；應(yīng)用意識(shí)包括“數(shù)學(xué)有用”的信念、應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)的信心、從數(shù)學(xué)的角度提出問(wèn)題與思考問(wèn)題的意識(shí)，以及拓展數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用領(lǐng)域的創(chuàng)新意識(shí).也有的認(rèn)為，數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是學(xué)生從經(jīng)歷的數(shù)學(xué)活動(dòng)過(guò)程中獲得的感受、體驗(yàn)、領(lǐng)悟，以及由此獲得的數(shù)學(xué)知識(shí)、技能、情感與觀念等內(nèi)容組成的有機(jī)組合性經(jīng)驗(yàn).

二、問(wèn)題的提出

我國(guó)于2011年修訂的《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》在課程目標(biāo)中明確提出“四基”，即使學(xué)生“獲得適應(yīng)社會(huì)生活和進(jìn)一步發(fā)展所必需的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想、基本經(jīng)驗(yàn)活動(dòng)”.在傳統(tǒng)的“雙基”基礎(chǔ)上增加了數(shù)學(xué)的基本思想和基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).現(xiàn)以人教版義務(wù)教育教科書(shū)數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)第11章第三節(jié)“多邊形的內(nèi)角和”教學(xué)為例，談一談具體的做法和實(shí)踐心得.

三、“多邊形內(nèi)角和”內(nèi)容解析

1.地位及作用.

2011年修訂的《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》對(duì)多邊形內(nèi)角和的教學(xué)要求是“探索并掌握多邊形內(nèi)角與外角和公式”，從課標(biāo)可以看出，對(duì)于多邊形的內(nèi)角和和外角和強(qiáng)調(diào)了知識(shí)的發(fā)展過(guò)程，這就要求教師在教學(xué)時(shí)應(yīng)創(chuàng)造有利于學(xué)生探索的教學(xué)情境.

2.多邊形內(nèi)角和與外角和的教學(xué)分析.

本節(jié)課是人教版義務(wù)教育教材數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)第11章11.3.2第一課時(shí)，是在探究了三角形的內(nèi)角和與外角和，并學(xué)習(xí)了多邊形的有關(guān)概念的基礎(chǔ)上進(jìn)行的，學(xué)生已初步具備對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行論證的邏輯推理能力，這節(jié)課需要學(xué)生在已有的知識(shí)、生活經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上來(lái)學(xué)習(xí).

四、學(xué)習(xí)過(guò)程

1.問(wèn)題情景.

（1）三角形的內(nèi)角和是多少？

設(shè)計(jì)說(shuō)明：本節(jié)課對(duì)于多邊形的內(nèi)角和，主要是借助三角形的內(nèi)角和求解.

（2）三角形的內(nèi)角和定理是如何證明的？

設(shè)計(jì)說(shuō)明：多邊形的內(nèi)角和定理與三角形內(nèi)角和定理的證明思想方法是一致的.

生1：如圖1，過(guò)頂點(diǎn)A作EF∥BC.

因?yàn)镋F∥BC，所以∠FAC=∠C，∠EAB=∠B.

因?yàn)椤螰AC+∠EAB+∠BAC=180°，所以∠C+∠B+∠BAC=180°.

圖1

圖2

生2：如圖2，在邊BC上任取一點(diǎn)D（異于B、C），作DE∥AB，DF∥AC.

因?yàn)镈E∥AB，DF∥AC，所以∠B=∠EDC，∠C=∠FCB，∠A=∠DEC，∠FDE=∠DEC.

又因?yàn)椤螰DE+∠EDC+∠FDB=180°，所以∠A+∠B+∠C=180°.

生3：如圖3，在△ABC內(nèi)部任取一點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作MN∥AB，EF∥AC，HG∥BC.

因?yàn)镸N∥AB，HG∥BC，所以∠B=∠MNC=∠MDG.同理∠A=∠DFH=∠FDM，∠C=∠FEB=∠FDH.

而∠FDM+∠MDG+∠FDH=180°，所以∠A+∠B+∠C=180°.

圖3

圖4

生4：如圖4，在△ABC外部任取一點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作MN∥BC，EF∥AC，HG∥AB.

因?yàn)镋F∥AC，HG∥AB，所以∠A=∠CHP=∠EDH.

同理∠B=∠HPC=∠HDN，∠ACB=∠E=∠FDN.

而∠EDH+∠HDN+∠FDN=180°，所以∠A+∠B+∠ACB=180°.

師：通過(guò)以上四位同學(xué)的回答，我們可以總結(jié)：分別過(guò)三角形的頂點(diǎn)、邊、內(nèi)部和外部作平行線，構(gòu)造平角，證明了三角形的內(nèi)角和定理.

設(shè)計(jì)說(shuō)明：四位學(xué)生的回答回顧了以前學(xué)習(xí)三角形內(nèi)角和定理的證明方法，為本節(jié)課多邊形內(nèi)角和定理的證明作鋪墊，也就是積累了解決多邊形相關(guān)問(wèn)題的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).

2.多邊形的內(nèi)角和.

（1）我們小學(xué)學(xué)過(guò)哪些多邊形？它們的內(nèi)角和是多少？

生1：學(xué)過(guò)正方形、長(zhǎng)方形，因?yàn)樗鼈兊拿恳粋€(gè)內(nèi)角均為90°，所以它們的內(nèi)角和均為360°.

（2）是否所有的四邊形的內(nèi)角和均為360°？

設(shè)計(jì)說(shuō)明：因?yàn)樾W(xué)學(xué)過(guò)的長(zhǎng)方形、正方形的內(nèi)角和為360°，猜想一般四邊形內(nèi)角和的度數(shù)，向?qū)W生滲透由具體到抽象、由特殊到一般的數(shù)學(xué)思想方法.

師：怎么將這個(gè)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為我們已知的問(wèn)題呢？

生：可以轉(zhuǎn)化為三角形的問(wèn)題.

師：如何轉(zhuǎn)化呢？

生1：可以連接四邊形的對(duì)角線，例如，如圖5，在四邊形ABCD中，連接AC.

將四邊形分割為兩個(gè)三角形.因?yàn)槊總€(gè)三角形的內(nèi)角和為180°，所以四邊形的內(nèi)角和為360°.

圖5

圖6

生2：如圖6，還可以在四邊形內(nèi)部取一點(diǎn)E，然后連接EA、EB、EC、ED.

四邊形被分解為四個(gè)三角形，這四個(gè)三角形每個(gè)的內(nèi)角和為180°，總的內(nèi)角和為720°，又因?yàn)橹虚g多了一個(gè)周角，所以四邊形的內(nèi)角和是360°.

生3：如圖7，還可以在邊BC任取一點(diǎn)E，然后連接EA、ED.

四邊形被分解為三個(gè)三角形，這三個(gè)三角形每個(gè)的內(nèi)角和為180°，總的內(nèi)角和為540°，又邊BC上多了一個(gè)平角，所以四邊形的內(nèi)角和是360°.

圖7

圖8

生4：如圖8，還可以在四邊形的外部任取一點(diǎn)，連接EA、EB、EC、ED.

四邊形的內(nèi)角和等于△ABE、△ADE、△DCE的內(nèi)角和再減去△BCE的內(nèi)角和，所以四邊形的內(nèi)角和為360°.

師：四位同學(xué)的回答很精彩，我們可以發(fā)現(xiàn)四位同學(xué)的思路與前面證明三角形內(nèi)角和的思維方法是一致的，同學(xué)們，我們?cè)谝院蟮膶W(xué)習(xí)過(guò)程中，要學(xué)會(huì)將未知問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已知問(wèn)題.

師：請(qǐng)同學(xué)們選擇自己喜歡的方法來(lái)探索五邊形、六邊形、七邊形的內(nèi)角和，并將探索的結(jié)果填入表1.

表1

（學(xué)生通過(guò)實(shí)驗(yàn)、探究順利完成了表1）

3.多邊形的外角和.

（1）正方形、長(zhǎng)方形的外角和是多少度？

設(shè)計(jì)說(shuō)明：對(duì)于長(zhǎng)方形、正方形，學(xué)生能夠很快算出它們的外角和，從而向?qū)W生滲透從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想.

師：是否任意一個(gè)四邊形的外角和都是360°？

（學(xué)生思考）

生1：如圖9，∠NAB+∠BAD=180°，∠EBC+∠ABC= 180°，∠DCF+∠BCD=180°，∠ADC+∠ADM=180°，四邊形的內(nèi)角和為∠ABC+∠BCD+∠CDA+∠DAB=360°，所以四邊形的外角和為360°.

圖9

圖10

生2：如圖10，過(guò)點(diǎn)C作CH∥AD交AB于H點(diǎn)，CE∥AB.

顯然可以得到∠NAB=∠AHC=∠HCE，∠HBC=∠ECF，∠ADM=∠HCD.

而∠DCH+∠HCE+∠ECF+∠DCF=360°，所以四邊形的外角和為360°.

生3：如圖11，過(guò)點(diǎn)P作PO∥AB，PH∥CD，PM∥AD.

容易得到∠QAB=∠AEP=∠EPI，∠CBE=∠CPI，∠DCF=∠HPC，∠NDA=∠AHZ=∠EPH.

同生2，可以得到四邊形的外角和為360°.

圖11

圖12

圖13

生4：如圖12，也可以在四邊形內(nèi)部任取一點(diǎn)P，作XY∥AD，EF∥BC，KL∥CD，GH∥AB.

同樣可以得出四邊形的外角和為360°.

生5：如圖13，也可以在四邊形外部任取一點(diǎn)P，作XY∥AB，PQ∥AD，ST∥CD.

同樣可以得出四邊形的外角和為360°.

師：以上五位同學(xué)的回答實(shí)在是太精彩了，五位同學(xué)從不同的思路出發(fā)，得到了相同的結(jié)果，真可謂“條條大路通羅馬”.

師：請(qǐng)同學(xué)們選擇自己喜歡的方法來(lái)探索五邊形、六邊形、七邊形的外角和，并將探索的結(jié)果填入表2.

表2

（學(xué)生通過(guò)實(shí)驗(yàn)、探究順利完成了表2）

以上各類(lèi)證明方法充分彰顯出學(xué)生個(gè)性化的思維，以及學(xué)生綜合運(yùn)用基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能的能力，即立足于一般的解法，又基于學(xué)生的數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).

五、教學(xué)導(dǎo)向

1.深挖教材.

學(xué)生的學(xué)習(xí)是人類(lèi)發(fā)現(xiàn)基礎(chǔ)上的再發(fā)現(xiàn)過(guò)程.教材是經(jīng)過(guò)教學(xué)法加工了的素材，加之教學(xué)進(jìn)度的要求，或多或少會(huì)影響學(xué)生數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累.經(jīng)過(guò)反復(fù)審查形成的教學(xué)素材，形成了教學(xué)的基本概念、基本理論.因此教師在平時(shí)教學(xué)時(shí)，要充分利用教學(xué)素材，挖掘教材；知識(shí)的挖掘往往是一個(gè)永無(wú)止境的過(guò)程，學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的能力是有差異的，因此我們?cè)谕诰蚪滩臅r(shí)，要著重考慮課標(biāo)要求，進(jìn)行科學(xué)、合理、有發(fā)散的變式，避免通過(guò)“題海戰(zhàn)術(shù)”增加學(xué)生負(fù)擔(dān).當(dāng)前的許多中考試題，往往都源于教材，因此我們應(yīng)該深挖教材，利用好教材.

2.關(guān)注數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的獲得.

過(guò)去數(shù)學(xué)強(qiáng)調(diào)的是雙基“基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能”.從1953年提出，到1956年寫(xiě)出之后，一直成為中國(guó)數(shù)學(xué)教育的核心.基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能功不可沒(méi)，使得中國(guó)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)教育在世界上影響很大，許多數(shù)學(xué)課堂講的基本上是邏輯，是論證，是定理的證明過(guò)程，而不是發(fā)明定理的過(guò)程，也不是發(fā)現(xiàn)定理證法的過(guò)程.這對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造力是十分不利的.我們最新的課程標(biāo)準(zhǔn)加了兩個(gè)，一個(gè)是基本思想，另一個(gè)是基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，成為“四基”，幫助學(xué)生進(jìn)行思考經(jīng)驗(yàn)的積累，問(wèn)題提出的經(jīng)驗(yàn)的積累，創(chuàng)新性活動(dòng)的積累.因此在平時(shí)的教學(xué)中，一方面要關(guān)注數(shù)學(xué)知識(shí)、技能、思想方法的學(xué)習(xí)，另一方面要通過(guò)數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)啟智學(xué)生，讓學(xué)生正真參與到數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)之中，享受數(shù)學(xué).

1.黃翔，童莉.獲得數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)應(yīng)成為數(shù)學(xué)課堂教學(xué)關(guān)注的目標(biāo)［J］.課程·教材·教法，2008（1）.

2.馬復(fù).論數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)［J］.數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，1996（11）.

3.張奠宙，竺仕芬，林永.“數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”的界定與分類(lèi)［J］.數(shù)學(xué)通報(bào)，2008（5）.

4.孔凡哲.基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的含義、成分與課程教學(xué)價(jià)值［J］.課程·教材·教法，2009（3）.

5.單肖天，景敏.數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)及其對(duì)教學(xué)的影響［J］.課程·教材·教法，2008（5）.

6.王新民，王富英，王亞雄.數(shù)學(xué)“四基”中“基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”的認(rèn)識(shí)與思考［J］.數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2008（3）.

7.仲秀英.學(xué)生數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的內(nèi)涵探究［J］.課程·教材·教法，2010（10）.

8.史寧中，柳海民.素質(zhì)教育的根本目的與實(shí)施路徑［J］.教育研究，2007（8）.

9.史寧中.數(shù)學(xué)思想概論·圖形與圖形關(guān)系的抽象［M］.長(zhǎng)春：東北師范大學(xué)出版社，2009.