切換非線性系統(tǒng)全局優(yōu)化運(yùn)行的經(jīng)濟(jì)預(yù)測(cè)控制

楊亞茹 李少遠(yuǎn)

化工生產(chǎn)過(guò)程中對(duì)于生產(chǎn)運(yùn)作的需求,已從過(guò)去著重考慮系統(tǒng)的穩(wěn)定性,轉(zhuǎn)變至兼顧系統(tǒng)安全穩(wěn)定下同時(shí)優(yōu)化全局系統(tǒng)運(yùn)行的經(jīng)濟(jì)性.這里的經(jīng)濟(jì)性通常用一類定義在系統(tǒng)工作范圍的經(jīng)濟(jì)指標(biāo)(泛指一類評(píng)價(jià)系統(tǒng)運(yùn)行狀況的性能函數(shù))評(píng)價(jià),全局優(yōu)化運(yùn)行的目標(biāo),是使得系統(tǒng)實(shí)際閉環(huán)運(yùn)行軌跡在允許的工作范圍內(nèi),同時(shí)盡可能減少各時(shí)刻工作狀態(tài)對(duì)應(yīng)的經(jīng)濟(jì)指標(biāo)在整個(gè)生產(chǎn)過(guò)程的累積量.大型系統(tǒng)的全局優(yōu)化常用分層遞階控制結(jié)構(gòu)將生產(chǎn)中對(duì)于安全、魯棒、經(jīng)濟(jì)等多目標(biāo)逐層分解.實(shí)時(shí)優(yōu)化層根據(jù)調(diào)度層的計(jì)劃與排產(chǎn)信息,從面向全局系統(tǒng)整體經(jīng)濟(jì)性的角度,給出滿足各子系統(tǒng)運(yùn)行約束的穩(wěn)態(tài)經(jīng)濟(jì)優(yōu)化點(diǎn).下層先進(jìn)控制層常用MPC(Model predictive control)動(dòng)態(tài)跟蹤上層給出的穩(wěn)態(tài)經(jīng)濟(jì)優(yōu)化點(diǎn),綜合處理系統(tǒng)運(yùn)行過(guò)程中的約束與擾動(dòng),并給底層各控制回路合適的設(shè)定值.同時(shí),新工業(yè)需求下的全局優(yōu)化運(yùn)行還要求系統(tǒng)在工作過(guò)程中,對(duì)定制生產(chǎn)下不同排產(chǎn)計(jì)劃、更小尺度的對(duì)象模型變化(如不同批次組分差異的原料、不同反應(yīng)過(guò)程工況變化)都有對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)模式變化,在這種情況下的全局優(yōu)化問(wèn)題可歸結(jié)于討論切換非線性系統(tǒng)在雙層控制結(jié)構(gòu)下的經(jīng)濟(jì)優(yōu)化運(yùn)行.

目前多數(shù)非線性系統(tǒng)全局優(yōu)化運(yùn)行的運(yùn)作模式是建立在“穩(wěn)態(tài)假設(shè)”[1]基礎(chǔ)上,因此,非線性系統(tǒng)模式切換的研究熱點(diǎn)在于保證各個(gè)模式運(yùn)行工作點(diǎn)的穩(wěn)定性、魯棒性及模式間的平穩(wěn)過(guò)渡[2?6].其中,由于控制時(shí)域受到計(jì)算負(fù)擔(dān)限制,不同模式下優(yōu)化問(wèn)題的可行域未必存在交集,有一部分研究工作考慮限制計(jì)算量的情況下保證系統(tǒng)在大工作范圍內(nèi)切換可行性[7].新工業(yè)需求下,系統(tǒng)頻繁的切換使得“穩(wěn)態(tài)假設(shè)”不能滿足,運(yùn)行動(dòng)態(tài)過(guò)程中的經(jīng)濟(jì)性變的不可忽略.近年來(lái),學(xué)者將經(jīng)濟(jì)預(yù)測(cè)控制[8?10](Economic model predictive control,EMPC)運(yùn)用到切換非線性系統(tǒng)中,對(duì)于提高系統(tǒng)在整個(gè)運(yùn)行過(guò)程中的經(jīng)濟(jì)性有顯著貢獻(xiàn).EMPC是一種在形式上、運(yùn)行策略上與實(shí)時(shí)求解的MPC相同的滾動(dòng)時(shí)域控制算法,其在每一時(shí)刻同樣需實(shí)時(shí)求解一個(gè)有限時(shí)域最優(yōu)控制問(wèn)題.但EMPC的控制性能指標(biāo)為直接與經(jīng)濟(jì)指標(biāo)相關(guān)的廣義性能指標(biāo),正定性和(或)凸性不再保證.因此,在討論穩(wěn)定性問(wèn)題上,EMPC常常需要引入額外的假設(shè)條件或約束.常規(guī)的方法主要有以下兩種:文獻(xiàn)[8]中首次提出的耗散性條件通過(guò)構(gòu)造關(guān)于經(jīng)濟(jì)性能指標(biāo)、系統(tǒng)模型、穩(wěn)態(tài)經(jīng)濟(jì)優(yōu)化點(diǎn)的不等式約束關(guān)系,構(gòu)造了對(duì)應(yīng)的Lyapunov函數(shù),從而保證穩(wěn)態(tài)經(jīng)濟(jì)優(yōu)化點(diǎn)的穩(wěn)定性.以此假設(shè)為基礎(chǔ),后續(xù)工作拓展至終端集約束EMPC[9]、無(wú)終端約束EMPC等[10];另一類方法通過(guò)構(gòu)造輔助Lyapunov函數(shù)和(或)Lyapunov控制器,將其作為約束放入控制率實(shí)時(shí)求解的問(wèn)題中,針對(duì)連續(xù)系統(tǒng)有文獻(xiàn)[11?12],離散系統(tǒng)有文獻(xiàn)[13?14].該類方法在一定程度上增大算法吸引域,但閉環(huán)系統(tǒng)的經(jīng)濟(jì)性能將受限于所構(gòu)造的輔助控制器及輔助Lyapunov函數(shù).

針對(duì)非線性切換系統(tǒng)的EMPC,目前的工作在系統(tǒng)前后模式可行域存在交集的前提下,保證了切換過(guò)程的平穩(wěn)過(guò)渡并提高了經(jīng)濟(jì)性能[12,15].文獻(xiàn)[12]采用基于Lyapunov函數(shù)的EMPC,每個(gè)模式下EMPC的吸引域?yàn)檩o助控制器的可控集,前后兩個(gè)模式算法吸引域需存在交集;文獻(xiàn)[15]基于拓展時(shí)域終端集約束EMPC[16]的方式保證穩(wěn)定性,其前一模式下的穩(wěn)態(tài)優(yōu)化點(diǎn)需位于后一模式終端約束集中.受限于EMPC討論穩(wěn)定性的復(fù)雜性,對(duì)于在大工作范圍內(nèi)的切換系統(tǒng),如何考慮過(guò)渡過(guò)程的經(jīng)濟(jì)性能并平穩(wěn)切換,還未有成熟的工作.

針對(duì)這一問(wèn)題,本文采取的思想是構(gòu)造一系列可行中間過(guò)渡穩(wěn)態(tài)點(diǎn)拓展前后模式的可行域,通過(guò)設(shè)計(jì)局部EMPC控制器,將狀態(tài)逐次轉(zhuǎn)移至中間點(diǎn)并完成切換.在這一策略下,本文構(gòu)造了基于耗散的EMPC輔助性能指標(biāo),在輔助性能指標(biāo)控制下的EMPC能夠保證任一可行穩(wěn)態(tài)點(diǎn)漸近穩(wěn)定,并盡可能逼近原經(jīng)濟(jì)性能指標(biāo);進(jìn)一步,本文設(shè)計(jì)了對(duì)應(yīng)的切換策略,在模式常規(guī)運(yùn)行時(shí),算法保證狀態(tài)穩(wěn)定在該模式的穩(wěn)態(tài)經(jīng)濟(jì)優(yōu)化點(diǎn).同時(shí),在模式切換時(shí)根據(jù)前后模式的經(jīng)濟(jì)指標(biāo)求解和更新可行中間點(diǎn)及最優(yōu)軌跡,將狀態(tài)逐次轉(zhuǎn)移至中間穩(wěn)態(tài)點(diǎn)并利用最優(yōu)軌跡保證狀態(tài)在模式間的平穩(wěn)過(guò)渡.所提方法適用于存在不可達(dá)問(wèn)題的非線性切換系統(tǒng),實(shí)際可操作性強(qiáng),在保證平穩(wěn)切換的基礎(chǔ)上提高了暫態(tài)過(guò)程的經(jīng)濟(jì)性,仿真結(jié)果驗(yàn)證了算法的有效性.

符號(hào)說(shuō)明:集合I表示非負(fù)整數(shù)集.S≥a表示集合滿足S≥a={x∈S;x≥a},同樣,S[a,b]={x∈S;a≤x≤b},其中a,b∈I.|·|表示歐幾里得范數(shù).Bxs(r)表示閉球域滿足:ClassL表示一類定義在γ:上的連續(xù)且單調(diào)遞減函數(shù),滿足limx→∞γ(x)=0,f?g(x)表示復(fù)合函數(shù)f(g(x)).

1 問(wèn)題描述及基本定義

考慮如下非線性系統(tǒng)離散時(shí)間模型:

假設(shè) 1.經(jīng)濟(jì)性能指標(biāo)上連續(xù),且各模式下模型fi(·) 在Xi×Ui上利普希茨連續(xù),滿足:

假設(shè) 2.模式i下存在(但不唯一)穩(wěn)態(tài)經(jīng)濟(jì)優(yōu)化點(diǎn)為如下問(wèn)題的最優(yōu)解,不失一般性,

定義1.模式i下的穩(wěn)態(tài)點(diǎn)的N步可達(dá)狀態(tài)集合為

定義2.N步可控至的初始可行狀態(tài)集合為

定義3.模式i下,控制時(shí)域?yàn)镹時(shí)與穩(wěn)態(tài)點(diǎn)相關(guān)的成對(duì)可行約束集定義為

假設(shè)3.模式i下對(duì)應(yīng)的成對(duì)可行約束集均滿足且為緊集.

類似于多數(shù)EMPC文獻(xiàn)[8?12]中關(guān)于系統(tǒng)實(shí)際運(yùn)行經(jīng)濟(jì)性的定義,對(duì)于每一模式確定的本文所考慮的切換系統(tǒng)暫態(tài)過(guò)程經(jīng)濟(jì)性(Transient performance)為下述形式:

本文的目的是設(shè)計(jì)針對(duì)非線性切換系統(tǒng)全局優(yōu)化運(yùn)行的EMPC算法,保證i模式常規(guī)運(yùn)行時(shí)系統(tǒng)穩(wěn)定在指定的穩(wěn)態(tài)目標(biāo)優(yōu)化點(diǎn)模式間切換時(shí)保證系統(tǒng)平穩(wěn)切換至新模式并提高暫態(tài)過(guò)程的經(jīng)濟(jì)性,本文并不要求相鄰模式間常規(guī)運(yùn)行時(shí)EMPC算法吸引域存在交集,僅要求在狀態(tài)約束和輸入約束范圍內(nèi)存在有限個(gè)控制時(shí)域可達(dá)集或可控集相交的中間穩(wěn)態(tài)點(diǎn),滿足如下假設(shè).

或可表述為

注1.假設(shè)4包括的情況,大多數(shù)非特殊性連續(xù)化工切換系統(tǒng)在采樣時(shí)間足夠短的情況下,其離散表述均能滿足假設(shè).

2 基于耗散性條件的全局優(yōu)化運(yùn)行EMPC

對(duì)于具有穩(wěn)態(tài)運(yùn)行需求的化工過(guò)程,需保證任一模式下的系統(tǒng)漸近穩(wěn)定在穩(wěn)態(tài)優(yōu)化點(diǎn)切換過(guò)程中,由于控制時(shí)域N受計(jì)算負(fù)擔(dān)限制,新模式的穩(wěn)態(tài)點(diǎn)對(duì)于舊模式當(dāng)前狀態(tài)常常是控制時(shí)域內(nèi)不可達(dá)的,即且本文采取的策略如圖1所示,首先,該切換算法優(yōu)化求解可行中間穩(wěn)態(tài)點(diǎn)使其滿足條件(8)和(9).其次,將狀態(tài)依次經(jīng)濟(jì)轉(zhuǎn)移至中間穩(wěn)態(tài)點(diǎn)最終進(jìn)入中.由于EMPC在保證穩(wěn)定性上更具復(fù)雜性,問(wèn)題的難點(diǎn)在于局部EMPC算法如何使?fàn)顟B(tài)偏離該模式下的穩(wěn)態(tài)優(yōu)化點(diǎn),并漸近穩(wěn)定至中間穩(wěn)態(tài)點(diǎn),并在有限時(shí)間Tp內(nèi)完成經(jīng)濟(jì)切換.

圖1 模式間切換策略Fig.1 Modes switching strategy

為后文闡述方便,本文將先進(jìn)控制層EMPC需動(dòng)態(tài)實(shí)時(shí)求解的如下非線性約束優(yōu)化問(wèn)題表述為

注2.不同于MPC,性能指標(biāo)l非凸非正定.

首先介紹EMPC中與穩(wěn)定性相關(guān)的重要定義與引理.

通過(guò)耗散性條件,將經(jīng)濟(jì)性能指標(biāo)轉(zhuǎn)化為正定的旋轉(zhuǎn)性能指標(biāo),并附加終端等式約束保證遞推可行性,同時(shí)旋轉(zhuǎn)性能指標(biāo)控制下的控制問(wèn)題與原問(wèn)題同解,與旋轉(zhuǎn)性能指標(biāo)相關(guān)的李雅普諾夫函數(shù)保證穩(wěn)態(tài)優(yōu)化點(diǎn)的漸近穩(wěn)定.本文接下來(lái)的內(nèi)容,將先提出一種保證任一可行穩(wěn)態(tài)點(diǎn)漸近穩(wěn)定的EMPC算法,再闡述與該算法對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)模式間切換策略.

2.1 適用于非穩(wěn)態(tài)目標(biāo)優(yōu)化點(diǎn)的EMPC

注4.給定滿足定理1假設(shè)條件的正定連續(xù)函數(shù),如已經(jīng)設(shè)計(jì)好的MPC性能指標(biāo),可通過(guò)條件(13) 確定進(jìn)而找到

注5.由定理1知,可以理解為給系統(tǒng)提供耗散性質(zhì)的函數(shù).

由定理3的證明過(guò)程,可得上界ˉδ.考慮到實(shí)際應(yīng)用時(shí)可操作性,可由下述約束優(yōu)化問(wèn)題的優(yōu)化函數(shù)最優(yōu)值替代滿足

2.2 非線性切換系統(tǒng)的經(jīng)濟(jì)預(yù)測(cè)控制

考慮實(shí)際化工生產(chǎn)系統(tǒng)工作特點(diǎn),默認(rèn)當(dāng)系統(tǒng)接到切換至i+1模式的切換請(qǐng)求時(shí)已穩(wěn)定工作在工作步驟如下:

步驟 2.首次迭代時(shí),系統(tǒng)接到切換請(qǐng)求,并根據(jù)下一模式信息確定中間穩(wěn)態(tài)點(diǎn)的個(gè)數(shù)pi,pi+1,進(jìn)入步驟 2.1;否則,若pi?=1且pi+1?=0,則進(jìn)入步驟2.2;若pi=1,pi+1=0,則目標(biāo)點(diǎn)設(shè)置為上次迭代備用穩(wěn)態(tài)點(diǎn)進(jìn)入步驟3.

步驟2.1.置pi=1,pi+1=0.此時(shí)當(dāng)前狀態(tài)參考文獻(xiàn) [19]求解從穩(wěn)態(tài)點(diǎn)之間是否存在可行軌跡.其中,np=pi+pi+1,κ1=pi(N+1),κ2=(np+1)(N+1)?1.若無(wú)解,依次增大pi,pi+1:pi=1,pi+1=1,pi=2,pi+1=1···,直到中間點(diǎn)問(wèn)題(23)存在可行解.

步驟4.更新pi,pi+1.若pi＞0,則pi=pi?1,pi+1=pi+1;否則,pi=pi,pi+1=pi+1?1.

注9.中間點(diǎn)問(wèn)題及輔助性能指標(biāo)的構(gòu)造具有較大的計(jì)算量,在RTO層中求解.該切換算法要求準(zhǔn)備時(shí)間Tp應(yīng)至少滿足Tp≥N×pi.因此,若準(zhǔn)備時(shí)間非常短時(shí),可以考慮改變步驟2.1中初始求解中間點(diǎn)個(gè)數(shù)時(shí)的策略.

注 10.若m?=m′,表示實(shí)際系統(tǒng)即將發(fā)生切換.Tp足夠長(zhǎng)時(shí),實(shí)際切換信號(hào)由狀態(tài)決定,系統(tǒng)狀態(tài)到達(dá)時(shí)發(fā)生切換;Tp受限時(shí),切換信號(hào)由時(shí)間決定,實(shí)際切換時(shí)刻即為τi+Tp.因此,

注 11.由于輔助序列(24)為滿足動(dòng)態(tài)模型的狀態(tài)與輸入軌跡,因此問(wèn)題(25)每一時(shí)刻都滿足遞推可行性,在約束集內(nèi)均有可行解.

注12.在第一次運(yùn)算確定好pi,pi+1后,步驟2每次迭代均有可行解,這是由于k=K+N+1時(shí),由上一時(shí)刻問(wèn)題(25)的最優(yōu)解可構(gòu)造從當(dāng)前狀態(tài)到目標(biāo)點(diǎn)的可行軌跡,同時(shí)與上次迭代步驟2獲得的從的最優(yōu)軌跡,共同構(gòu)成步驟2的初始可行解.

3 切換過(guò)程暫態(tài)經(jīng)濟(jì)性分析

對(duì)于終端等式約束,旋轉(zhuǎn)性能指標(biāo)與原性能指標(biāo)求解優(yōu)化問(wèn)題下的優(yōu)化軌跡完全相同,且優(yōu)化問(wèn)題最優(yōu)值只相差個(gè)常數(shù)項(xiàng).因此:

求和號(hào)表示上式中對(duì)應(yīng)向量在[0,Ts]時(shí)刻的累加,為與參數(shù)δ,函數(shù)αi,及切換時(shí)間TS,暫態(tài)過(guò)程時(shí)間τi+1?τi相關(guān)的誤差項(xiàng).是求取中間點(diǎn)問(wèn)題的最優(yōu)函數(shù)值.

2)切換時(shí)間受限,此時(shí)TS=Tp=K+N,K時(shí)刻狀態(tài)位于中間點(diǎn)鄰域:

考慮k∈[K,K+N):此時(shí)實(shí)時(shí)求解經(jīng)濟(jì)切換問(wèn)題(25).K時(shí)刻,該問(wèn)題與有相同最優(yōu)解與最優(yōu)軌跡且最優(yōu)值滿足關(guān)系:

后同可得式(34)和(35).

經(jīng)過(guò)分析,當(dāng)準(zhǔn)備時(shí)間受限時(shí),采用步驟5的策略利用中間點(diǎn)問(wèn)題得到的最優(yōu)軌跡構(gòu)造切換問(wèn)題終端動(dòng)態(tài)軌跡,暫態(tài)性能上與準(zhǔn)備時(shí)間充足的情況有相類似的上界,該上界與中間點(diǎn)問(wèn)題的最優(yōu)值、所選耗散函數(shù)α、差值函數(shù)γ、暫態(tài)過(guò)程時(shí)間有關(guān).

4 仿真驗(yàn)證

考慮連續(xù)攪拌釜(Continuous stirred tank reactor,CSTR)系統(tǒng)[9],其中發(fā)生不可逆反應(yīng)A→B,副反應(yīng)B→C.具體描述如下:

其中,CA,CB,Cc表示產(chǎn)物中反應(yīng)物A,產(chǎn)物B,C的濃度;T表示反應(yīng)器溫度,Q表示提供給反應(yīng)器的熱量,為可控變量;反應(yīng)器的體積為V=1m3,與反應(yīng)相關(guān)參數(shù)為:E1=5000kJ/kmol,E2=4000kJ/kmol,k1=176.94h?1,k2=10.88h?1,?H2=1.05×104kJ/kmol,?H1=1.15×104kJ/kmol.Cp=0.231kJ/kgK和ρ=1000kg/m3為反應(yīng)器中液體的比熱容和密度,除此之外,常數(shù)R和F分別為8.314kJ/kmol,5m3/h.

圖2 在不同控制器下的穩(wěn)定性Fig.2 Stability ofunder different controller

圖3 在不同控制器下的穩(wěn)定性Fig.3 Stability ofunder different controller

圖4 采用NMPC及所提策略控制下的切換軌跡Fig.4 Comparing between proposed method and NMPC

采用本文第2.2節(jié)的切換策略實(shí)現(xiàn)切換,如圖4所示,t=75時(shí)系統(tǒng)接到切換請(qǐng)求,切換時(shí)間受限,t=130時(shí)系統(tǒng)進(jìn)入式(25)的過(guò)渡過(guò)程,t=150時(shí)系統(tǒng)發(fā)生切換,并將狀態(tài)拉至新穩(wěn)態(tài)點(diǎn).系統(tǒng)3個(gè)小時(shí)內(nèi)實(shí)際經(jīng)濟(jì)性能(每一時(shí)刻累加):MPC:Eco= ?483.5873,所提方法:Eco= ?484.9821.因此,式(7)所定義的切換系統(tǒng)暫態(tài)過(guò)程經(jīng)濟(jì)為所提方法較非線性MPC提高了43.17%.

5 結(jié)語(yǔ)

本文考慮了系統(tǒng)全局優(yōu)化運(yùn)行時(shí)所涉及的模式間不斷切換對(duì)于經(jīng)濟(jì)性的需求,針對(duì)不同模式有限時(shí)域下控制算法可行域未必存在交集的系統(tǒng),基于耗散性條件設(shè)計(jì)了一種保證可行穩(wěn)態(tài)點(diǎn)漸近穩(wěn)定的EMPC及對(duì)應(yīng)切換策略.該方法通過(guò)優(yōu)化求解可行中間穩(wěn)態(tài)點(diǎn),并設(shè)計(jì)一系列EMPC局部控制器,在保證了中間點(diǎn)的穩(wěn)定性的基礎(chǔ)上使系統(tǒng)在模式間平穩(wěn)切換,暫態(tài)性能盡可能逼近原EMPC性能,可操作性強(qiáng).仿真結(jié)果說(shuō)明了方法的有效性.

1 Flemming T,Bartl M,Li P.Set-point optimization for closed-loop control systems under uncertainty.Industrial&Engineering Chemistry Research,2007,46(14):4930?4942

2 Liberzon D,Morse A S.Basic problems in stability and design of switched systems.IEEE Control Systems,1999,19(5):59?70

3 Hespanha J P,Morse A S.Stability of switched systems with average dwell-time.In:Proceedings of the 38th IEEE Conference on Decision and Control.Phoenix,AZ,USA:IEEE,1999,3:2655?2660

4 Li Shao-Yuan,Xi Yu-Geng.Switching smoothly of multimodel predictive control systems.Journal of Shanghai Jiaotong University,1999,33(11):1345?1347(李少遠(yuǎn),席裕庚.多模型預(yù)測(cè)控制的平滑切換.上海交通大學(xué)學(xué)報(bào),1999,33(11):1345?1347)

5 Lin Xiang-Ze,Li Shi-Hua,Zou Yun.Output feedback stabilization of invariant sets for nonlinear switched systems.Acta Automatica Sinica,2008,34(7):784?791(林相澤,李世華,鄒云.非線性切換系統(tǒng)不變集的輸出反饋鎮(zhèn)定.自動(dòng)化學(xué)報(bào),2008,34(7):784?791)

6 Chai Tian-You,Zhang Ya-Jun.Nonlinear adaptive switching control method based on unmodeled dynamics compensation.Acta Automatica Sinica,2011,37(7):773?786(柴天佑,張亞軍.基于未建模動(dòng)態(tài)補(bǔ)償?shù)姆蔷€性自適應(yīng)切換控制方法.自動(dòng)化學(xué)報(bào),2011,37(7):773?786)

7 Wan Z Y,Kothare M V.Efficient scheduled stabilizing output feedback model predictive control for constrained nonlinear systems.IEEE Transactions on Automatic Control,2004,49(7):1172?1177

8 Diehl M,Amrit R,Rawlings J B.A Lyapunov function for economic optimizing model predictive control.IEEE Transactions on Automatic Control,2011,56(3):703?707

9 Amrit R,Rawlings J B,Angeli D.Economic optimization using model predictive control with a terminal cost.Annual Reviews in Control,2011,35(2):178?186

11 Heidarinejad M,Liu J F,Christo fides P D.Economic model predictive control of nonlinear process systems using Lyapunov techniques.AIChE Journal,2012,58(3):855?870

12 Heidarinejad M,Liu J F,Christo fides P D.Economic model predictive control of switched nonlinear systems.Systems&Control Letters,2013,62(1):77?84

13 He De-Feng.Stabilizing economic model predictive control of constrained nonlinear systems.Acta Automatica Sinica,2016,42(11):1680?1690(何德峰.約束非線性系統(tǒng)穩(wěn)定經(jīng)濟(jì)模型預(yù)測(cè)控制.自動(dòng)化學(xué)報(bào),2016,42(11):1680?1690)

14 He D F,Sun J,Yu L.Economic MPC with a contractive constraint for nonlinear systems.International Journal of Robust and Nonlinear Control,2016,26(18):4072?4087

15 Liu S,Liu J F.Economic model predictive control for scheduled switching operations.In:Proceedings of the 2016 American Control Conference(ACC).Boston,MA,USA:IEEE,2016.1784?1789

16 Liu S,Liu J F.Economic model predictive control with extended horizon.Automatica,2016,73:180?192

17 Angeli D,Amrit R,Rawlings J B.On average performance and stability of economic model predictive control.IEEE Transactions on Automatic Control,2012,57(7):1615?1626

19 Flores-Tlacuahuac A,Moreno S T,Biegler L T.Global optimization of highly nonlinear dynamic systems.Industrial&Engineering Chemistry Research,2008,47(8):2643?2655