不確定系統(tǒng)的魯棒與隨機模型預(yù)測控制算法比較研究

謝瀾濤 謝磊 蘇宏業(yè)

模型預(yù)測控制(Model predictive control,MPC)指的是一類通過顯式的系統(tǒng)過程模型來預(yù)測其未來響應(yīng)并求解能使系統(tǒng)表現(xiàn)最優(yōu)的輸入量的計算機算法的總稱[1?2].MPC的思想最早可追溯到十九世紀六十年代.由于MPC概念簡單,并且能夠有效地處理復(fù)雜系統(tǒng)的約束問題,實現(xiàn)復(fù)雜控制目標(biāo),使得MPC在過程工業(yè)、汽車、能源、環(huán)境、航空、醫(yī)療等一系列領(lǐng)域取得了廣泛的應(yīng)用[2?5].MPC的一般工作流程可概括如下:1)在當(dāng)前時刻,獲取系統(tǒng)狀態(tài)測量值;2)求解一個優(yōu)化控制問題(Optimal control problem,OCP)得到預(yù)測時域控制率;3)僅將預(yù)測時域中第一個控制量作為系統(tǒng)輸入;4)在下一時刻再回到1).這個過程被一直重復(fù)進行,因此MPC又叫做滾動時域控制.

能否準確對系統(tǒng)的未來響應(yīng)進行預(yù)測將直接影響MPC應(yīng)用的效果,而預(yù)測的準確性又取決于系統(tǒng)模型是否準確.模型的不確定性有時會導(dǎo)致被控系統(tǒng)反應(yīng)遲鈍,甚至不穩(wěn)定[6].雖然滾動時域的方式使得MPC具有一定的魯棒性[5],但傳統(tǒng)的MPC并不是為處理系統(tǒng)不確定性而設(shè)計的,其魯棒穩(wěn)定性的實現(xiàn)要求外部噪聲足夠小或者狀態(tài)約束不存在[7],所以它仍然無法滿足一般情況下不確定系統(tǒng)控制的需求.為了系統(tǒng)地解決這個問題,Campo等在1987年率先提出了Min-max魯棒模型預(yù)測控制(Robust model predictive control,RMPC)的算法[8],隨后Allwright等在文獻[9?10]中將這種Min-max RMPC的思想進一步完善.Min-max RMPC考慮了由不確定性引起的“最壞”的情況,如果系統(tǒng)能在這種“最壞”的情況下穩(wěn)定運行,則對于未來發(fā)生的任何一種不確定性,系統(tǒng)仍然可以穩(wěn)定運行[11?12].雖然這種考慮“最壞”情況的設(shè)計方法使得約束能被所有不確定性所滿足,但這種方法卻是十分保守的,甚至?xí)?dǎo)致控制問題不可解.在Min-max RMPC算法發(fā)展同時,Blanchini和Kouvaritakis等為處理系統(tǒng)的不確定性提出了另一種基于Tube的RMPC算法[13?15].早期的基于Tube的算法和Min-max算法一樣,也十分的保守.為了減少考慮不確定性帶來的保守性,Rakovi和Cannon等近期提出了新型的基于Tube的RMPC算法[16?21],通過采用分離控制策略,將名義系統(tǒng)(無不確定性系統(tǒng))從實際系統(tǒng)中分離出來,把對實際系統(tǒng)的控制轉(zhuǎn)化為對名義系統(tǒng)的控制,把系統(tǒng)狀態(tài)控制在一個狀態(tài)約束的子集當(dāng)中,這個子集就是所謂的Tube.Tube的存在保證了實際系統(tǒng)對約束的滿足,這種特性使得設(shè)計更簡單快速的算法成為可能.

系統(tǒng)中的不確定性也可以看作噪聲.RMPC算法只能處理有界、確定噪聲,并且要求約束也是有界的.如果把隨機噪聲當(dāng)作確定有界干擾來處理,會使得控制器過于保守,較大的隨機噪聲分布范圍甚至?xí)?dǎo)致RMPC控制器找不到可行解.隨機模型預(yù)測控制(Stochastic MPC,SMPC)利用了噪聲的隨機特性并且能處理更多約束類型.在SMPC算法當(dāng)中,人們通常求取的是懲罰函數(shù)的最小期望值[7],而用到的隨機特性通常是噪聲的期望和協(xié)方差(如文獻[22?23]),有時還會用到噪聲的概率密度分布函數(shù)(如文獻[24?25]).對于無界噪聲,SMPC算法一般考慮以下三種約束:均值約束[26]、概率約束(又叫機會約束)[18,22]和有界輸入約束[27?28].這種情況下,SMPC算法設(shè)計難點在于處理無界噪聲,因為噪聲的無界特性會在下一時刻將系統(tǒng)狀態(tài)拉至過遠而導(dǎo)致相關(guān)OCP沒有可行解.當(dāng)然,SMPC也是可以處理有界噪聲下的有界狀態(tài)約束的,只要把概率約束中的概率當(dāng)作1來處理,例如文獻[18]和[29].

RMPC和SMPC算法主要研究的是參數(shù)不確定性、外部不確定性或結(jié)構(gòu)不確定性,結(jié)構(gòu)不確定性可以轉(zhuǎn)化為參數(shù)不確定處理[30].本文主要討論外部不確定性,讀者可以將處理外部不確定性的一些方法拓展到參數(shù)不確定性或者更復(fù)雜的情況上去.例如,當(dāng)線性系統(tǒng)中參數(shù)和外部不確定性都出現(xiàn)時,在RMPC算法中可以通過將兩種不確定性分離,并通過適當(dāng)?shù)腖MI轉(zhuǎn)換就可以進行求解[31],而在SMPC算法中也有類似的通過情景優(yōu)化的方法來解決[32].

本文的目的在于歸納總結(jié)和分析各種典型的RMPC和SMPC算法(如圖1所示),揭示這些算法的特點,并對可以用于相同控制對象的算法以表1為依據(jù)通過仿真實例來比較算法的優(yōu)劣.在前文已經(jīng)介紹了MPC、RMPC和SMPC的主要特點,在下一節(jié)將介紹兩大類主要的RMPC算法,并通過一個2維的仿真實例展示各種算法的特性.然后,探究4種主要的SMPC算法,并通過一個7維的仿真實例來展示各種算法的不同.最后,通過這些算法的應(yīng)用來說明這些算法使用的廣泛性,并總結(jié)和展望RMPC和SMPC的一些未來可研究方向.

圖1 主要討論算法Fig.1 Main algorithms

表1 算法主要參數(shù)Table 1 Main parameters of algorithms

符號和定義:正整數(shù)集和實數(shù)集分別表示為N和R.N[a,b]={a,a+1,···,b}表示從a到b的整數(shù)集.X表示一個集合,則表示向量由n個分量組成,且每個分量xi∈X,i=1,···,n.對于集合X?Rn和Y?Rn,Minkowski集合加法定義為X⊕Y={x+y|x∈X,y∈Y},x+X表示{x}⊕X.Pontryagin幾何減法定義為X?Y={x|x⊕Y?X}.對于α∈R(M∈Rm×n),αX(MX):={αx(Mx)|x∈X}.co{v1,v2,···,vn}表示點集{v1,v2,···,vn}的凸包.E(·)表示期望,Exk(·)表示給定xk的條件期望,Pr(·)表示概率.‖·‖表示標(biāo)準歐幾里得范數(shù),‖ ·‖1表示?1范數(shù),‖ ·‖∞表示?∞范數(shù). 對于n×1的矩陣M(w)={m1(w),···,mn(w)}T和

1 魯棒模型預(yù)測控制(RMPC)

魯棒模型預(yù)測控制處理的是一類有界噪聲問題,帶外部噪聲的線性不確定系統(tǒng)可表示為[12,33?36]:

其中,系統(tǒng)狀態(tài)xk∈Rn,系統(tǒng)輸入uk∈Rm,外部噪聲wk∈Rr.外部噪聲w的值在時刻k和未來時刻都是未知的,只知道它的取值范圍,而且(不失一般性)可以表示為:

一些文獻(如文獻[34?37])處理的外部噪聲取值范圍為∞范數(shù)類型(即‖w‖∞≤∈),這可以看作是式(2)的一種特殊情況.外部噪聲可能來自于周圍環(huán)境噪聲,也可能來自于對模型失配部分的重構(gòu).RMPC中的約束通常都是包含原點的凸集,設(shè)閉合凸集X={x|Exx≤1},U={u|Euu≤1},則系統(tǒng)的狀態(tài)約束和輸入約束可分別表示為:

部分如文獻(如文獻[34?35])會考慮u和x的聯(lián)合約束(即Exx+Euu≤1).聯(lián)合約束在表達上更具一般性,但它不利于體現(xiàn)外部干擾在不同控制率下對輸入約束和狀態(tài)約束的影響,同時也不利于應(yīng)用到基于Tube的算法當(dāng)中.在實際應(yīng)用中,獨立的約束更常見,所以之后的章節(jié)中不對聯(lián)合約束的情況進行討論.

1.1 Min-max RMPC

如文獻[33]所描述,Min-max RMPC的OCP一般可表示為:

其中輸入約束U={u|Euu≤1},狀態(tài)約束X={x|Exx≤1},終值約束XN={x|Efx≤1},JN(x)=xTPx為終值懲罰,N為預(yù)測時域,Q,R為權(quán)重正定矩陣.

式中其他矩陣的定義在此省略.為了求解式(5),通常將這樣一種Min-max形式的OCP轉(zhuǎn)化成為標(biāo)準的優(yōu)化問題,如LP、QP或者SDP.轉(zhuǎn)化的困難主要來源于兩方面:一是怎樣處理Min-max形式的目標(biāo)函數(shù);二是怎樣讓約束擺脫噪聲的干擾.為了解決這兩個問題,學(xué)者們做了很多的努力,這里總結(jié)比較常用的策略:

S1目標(biāo)函數(shù):將Min-max形的目標(biāo)函數(shù)由

決策變量c可以被當(dāng)作是max(·)部分的上界.文獻[8]利用枚舉法列舉WN所有的頂點,將式(6)中的約束轉(zhuǎn)化為其中是由WN所有頂點組成的集合,nv為頂點的個數(shù).枚舉頂點法實質(zhì)上是基于這樣一個性質(zhì)[38]:如果C為閉合凸集且f:C→R為凸函數(shù),若f在C上存在最大值,那么這個最大值將在C的某個極點處取得.文獻[30,34]利用Schur補將式(6)中的約束轉(zhuǎn)化為一個不確定的線性矩陣不等式(LMI),然后通過一個半定松弛過程(具體見文獻[39])將不確定LMI轉(zhuǎn)化為確定的LMI.由于枚舉法引入的約束隨著w的維數(shù)和預(yù)測時域N的增加而急劇增加,導(dǎo)致OCP的求解速度變得非常緩慢,所以在實際應(yīng)用中并不是一個很好的選擇,而LMI則沒有這樣的問題.

S2約束處理:通過枚舉WN所有頂點的方法(如文獻[8])可以保證“最壞”的情況也能夠被滿足,或?qū)⒃s束分離為確定和不確定兩部分,通過運行一個局部優(yōu)化問題求解不確定部分的最大值,即“最壞”情況(如文獻[39?40]):

決策變量是否出現(xiàn)在不確定部分會使得求解maxw{不確定部分}的方法略有不同.同樣,對于約束的處理,枚舉法會使得OCP的約束數(shù)量急劇增加,而局部優(yōu)化求解的方法則沒有這方面的問題.

Min-max RMPC算法根據(jù)控制率是否為與系統(tǒng)狀態(tài)相關(guān)的函數(shù)(即u=?(x),其中?(x)通常是仿射的)可分為開環(huán)和閉環(huán)兩大類.如圖2所示,在本文中把控制序列為{uk+j}的算法稱為開環(huán)Minmax(Open-loop min-max,OL2M)RMPC,如文獻[8,10];把控制率為uk+j=Kxk+j+vk+j(其中vk+j為新的決策變量,K為反饋矩陣)的算法稱為定常反饋Min-max(Fixed feedback min-max,FF2M)RMPC,如文獻[33,41];控制率為uk+j=Kjxk+j+vk+j(其中Kj也是決策變量)的算法稱為動態(tài)反饋Min-max(Dynamic feedback min-max,DF2M)RMPC,如文獻[34,42];雙模式枚舉Minmax(Dual mode enumeration min-max,DME2M)RMPC特指由Scokaert和Mayne在1998年提出的一種控制率uk+j=f(wk,l,wk+1,l,···,wk+j?1,l)的算法,其中f(·)為一個非線性函數(shù),{wk+j,l}為W的各個頂點,詳見文獻[12].這些算法都采用了S1和S2提及的策略來處理Min-max的OCP問題,它們的特點將在后面進行討論.

開環(huán)Min-max(Open-loop min-max,OL2M)RMPC:作為最簡單的控制結(jié)構(gòu),OL2M RMPC的OCP中的決策變量為通過利用S1和S2,Min-max OCP可以被轉(zhuǎn)化為一個標(biāo)準的LP問題(如文獻[8])或SDP問題(如文獻[39]).

定常反饋Min-max(Fixed feedback min-max,FF2M)RMPC:在經(jīng)典控制論中使用閉環(huán)回路往往可以實現(xiàn)更好的控制效果,模型預(yù)測中采用反饋校正的方法也能實現(xiàn)閉環(huán)回路.反饋的關(guān)鍵是利用可測量的系統(tǒng)狀態(tài)信息,對原預(yù)測系統(tǒng)進行矯正.另一種利用系統(tǒng)狀態(tài)信息的方法是在輸入中直接引入狀態(tài)信息,FF2M RMPC就是這樣一種閉環(huán)控制算法,控制率uk+j=Kxk+j+vk+j為系統(tǒng)狀態(tài)的線性函數(shù),通常選取能使得A+BK冪零的K[33],即存在特定的整數(shù)s使得(A+BK)s=0.這種定常反饋的好處在文獻[41]中已經(jīng)進行了詳細的敘述,總的來說就是反饋的存在使得式(7)中的maxw{不確定部分}部分在一定程度上得到抑制,從而使得約束得以放寬,降低了保守性.但是,由此并不能斷言FF2M RMPC一定比OL2M RMPC好,因為這種約束的放寬往往是針對狀態(tài)約束而言的,而對于輸入約束,由于反饋的存在,使得干擾也進入了輸入,從而導(dǎo)致經(jīng)過局部優(yōu)化后的輸入約束變得更加狹小.比較極端的情況是,輸入約束本來就很小,而干擾比較大,經(jīng)過S2的局部優(yōu)化后輸入約束會變?yōu)榭占瘡亩鴮?dǎo)致OCP不可解.同樣,FF2M RMPC的OCP也可被轉(zhuǎn)化為一個標(biāo)準的LP或SDP問題.

動態(tài)反饋Min-max(Dynamic feedback minmax,DF2M)RMPC:在反饋控制中,K的選擇將極大地影響控制效果,為了綜合K的選取與控制器的設(shè)計,一種自然的想法是將反饋矩陣K也設(shè)置成決策變量,控制率則變?yōu)閡k+j=Kjxk+j+vk+j.動態(tài)反饋使得OCP的自由度增加,使得保守性得以降低.事實上,OL2M RMPC和FF2M RMPC分別屬于DF2M RMPC的一種特殊情況,當(dāng)Kj=0,?j時,則為 OL2M RMPC,當(dāng)Kj=K,?j時則為FF2M RMPC.

但不幸的是,控制率uk+j=Kjxk+j+vk+j并不能直接應(yīng)用于OCP(4),它會使得OCP(4)變成非凸問題.在發(fā)現(xiàn)控制率uk+j=Kjxk+j+vk+j實質(zhì)上是干擾w的函數(shù)后,文獻[34]提出了干擾仿射控制率文獻[42]則進一步證明了干擾仿射控制率和狀態(tài)仿射控制率實際存在著一一對應(yīng)關(guān)系,而更有利的是,干擾仿射控制率能繼續(xù)保持原OCP的凸特性,所以一般用干擾仿射來代替狀態(tài)仿射的情況.

雙模式枚舉Min-max(Dual mode enumeration min-max,DME2M)RMPC:Scokaert和Mayne在文獻[12]中提出了一種DME2M RMPC的算法.這種算法本質(zhì)上是一種開環(huán)算法,不同的干擾實現(xiàn)對應(yīng)著不同的決策變量,同時利用了雙模策略來保證了算法的可行性與穩(wěn)定性.雙模算法是一種被廣泛應(yīng)用的確?？尚信c穩(wěn)定性的算法,如基于Tube的算法[19?20,43]或基于動態(tài)規(guī)劃的算法[44?45].在雙模算法當(dāng)中,有個概念是十分重要的:

魯棒控制不變(Robust control invariant,RCI)集[12,46]:

如果需要滿足約束X和U的系統(tǒng)(1)在控制率uk=Kxk和初始狀態(tài)xk∈S的情況下滿足Kxk∈U且(A+BK)xk+Gwk∈S,?wk∈W,則集合S?X?Rn叫做魯棒控制不變(RCI)集,K可離線計算得到.

注意.文獻中有很多種對于不變集的定義,例如文獻[31]把如上這樣的集合S叫做正魯棒不變(Robustly positively invariant,RPI)集,而文獻[16]和[46]又用正魯棒不變(RPI)集來定義不需要滿足狀態(tài)反饋控制率和系統(tǒng)約束的不變集,為了避免混淆,本文中魯棒控制不變(RCI)集指的是如文獻[12,46]中所定義的集合.

在DME2M RMPC算法中,S為RCI集,則雙模算法可概括為:

·如果xk/∈S,“外部控制器”作用,通過求解相應(yīng)的OCP,將x引導(dǎo)至S中.

·如果xk∈S,“內(nèi)部控制器”作用,不需求解任何OCP,直接將輸入設(shè)置為uk=Kxk,K為與RCI集S相關(guān)的反饋矩陣.由RCI集的特性可知,系統(tǒng)狀態(tài)將始終處于S中,并最終趨于穩(wěn)定.

文獻[12]中的“外部控制器”實質(zhì)上求解的是一個開環(huán)OCP問題.對于預(yù)測時域為N的控制器,噪聲W的所有頂點實現(xiàn)可用集合表示,其中nv為w頂點的數(shù)目,表示nv的N次冪,Wv為W所有頂點的集合.每一種頂點實現(xiàn)Wl都有與之對應(yīng)的決策序列和相應(yīng)的狀態(tài)序列則“外部控制器”求解的OCP可描述見附錄中的(A1).

式(A1)是已經(jīng)枚舉過的開環(huán)OCP,通過策略S1可以很容易地進行求解.由于不同的噪聲頂點實現(xiàn)對應(yīng)不同的決策組合,使得OCP的自由度比一般開環(huán)OCP更高,所以這種雙模枚舉的算法保守性會更低.可以看到,由于噪聲頂點實現(xiàn)有種組合,所以決策變量數(shù)由普通開環(huán)OCP的N×m個提高到個,但如果沒有因果約束的限制,即使求解出所有的決策變量,控制器也不知道選擇哪一個輸入給系統(tǒng),且系統(tǒng)穩(wěn)定性也無法保證,所以文獻[12]用因果約束又將決策變量數(shù)目降低到個.由前文知,這種頂點實現(xiàn)決定決策變量的方法也可應(yīng)用到閉環(huán)控制策略中,但由于它仍屬于枚舉法,當(dāng)N增大,或噪聲維數(shù)增多時,計算量過于龐大,導(dǎo)致此種算法并不實用.但這種DME2M RMPC算法的意義非凡,它提供了一種直觀地確保可行性和穩(wěn)定性的雙模結(jié)構(gòu),被后期大量的學(xué)者和算法廣泛采用.

可行性與穩(wěn)定性:算法可行性是指對應(yīng)OCP有可行解的特性,對于RMPC來說,算法可行性往往與系統(tǒng)的約束以及噪聲的取值范圍有關(guān).OCP(4)可行的必要條件為:

可行必要條件指出了系統(tǒng)約束和噪聲的取值范圍需滿足的關(guān)系式,它在系統(tǒng)設(shè)計階段能給予設(shè)計者很好的幫助.例如,通過Matlab的MPT工具箱[47],很容易對式(8)中的關(guān)系進行測試.如果條件沒有滿足,則無論設(shè)計什么樣的模型預(yù)測控制器,系統(tǒng)的遞歸可行性都是沒有辦法保證的.設(shè)計者就不需要花費時間去調(diào)試不同的算法和設(shè)計不同控制率上,而是把精力放在如何從硬件或周圍環(huán)境上降低噪聲范圍,如何擴大輸入約束,或者擴大狀態(tài)約束上.

當(dāng)提及穩(wěn)定性的時候,是以算法的可行性為前提的.以上算法中,除了DME2M,還沒有討論穩(wěn)定性所需要滿足的條件.系統(tǒng)穩(wěn)定性可通過終值約束和終值懲罰滿足一定條件來實現(xiàn)[48],或者使用無窮預(yù)測時域[32?33],但通過無窮預(yù)測時域?qū)崿F(xiàn)的穩(wěn)定性往往要求系統(tǒng)為漸進穩(wěn)定系統(tǒng)或者系統(tǒng)矩陣(A,B)可控.為了保證OL2M,FF2M,DF2M RMPC的穩(wěn)定性,終值懲罰JN(x)=xTPx和終值約束XN需滿足[39,48]:A1:XN為RCI集;A2:當(dāng)uk=Kxk時,對于?xk∈XN和?wk∈W有如果不考慮穩(wěn)定性,僅保證算法的遞歸可行性的話,A1就足夠了.

表2 Min-max算法的問題規(guī)模Table 2 Problem scale of algorithms

最大的RCI集:為了降低算法的保守性,XN需要盡可能大.當(dāng)uk=Kxk,且需滿足約束X和U時,系統(tǒng)(1)的最大的RCI集SM可如下求出[31]:

同樣的,最大的控制不變(Control invariant,CI)集S0M可以通過令用同樣的方法求得.如果對于需滿足約束X和U的系統(tǒng)(1)滿足:S0?X,KS0?U且(A+BK)S0?S0,則S0叫做控制不變(CI)集,更多和不變集的相關(guān)信息可查閱綜述文獻[46].

Min-max算法的問題規(guī)?？偨Y(jié)如表2,其中帶?表示求解中利用枚舉法進行轉(zhuǎn)化.

參數(shù)不確定系統(tǒng)處理的是形如minumax(A,B)∈?J(x,u),s.t.xk+1=Axk+Buk,x∈X,u∈U的問題[49],其中參數(shù)不確定集 ? =co{(A1,B1),···,(Ano,Bno)}.一種自然的想法是類似外部不確定問題那樣采用枚舉法,然而參數(shù)不確定性使得優(yōu)化問題對(A,B)是非凸的,枚舉法并不能保證目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)和約束的滿足.文獻[30]利用不變橢圓集和LMI解決了上述問題.具體過程可分為三步:1)將預(yù)測時域設(shè)置為無窮大,并作相關(guān)假設(shè)保證懲罰函數(shù)有上界;2)采用反饋控制率u=Kx,其中為決策變量,并建立使懲罰函數(shù)上界相關(guān)不等式得以滿足的LMI;3)在u=Kx作用下,未來狀態(tài)實際上都會保持在不變橢圓集P(Qp)中,再建立使P(Qp)?X和KP(Qp)?U成立的LMI.這樣原問題就被轉(zhuǎn)化成了SDP問題,同時不變集和無窮時域的應(yīng)用保證了遞歸可行性和穩(wěn)定性.文獻[30]的這種方法被大量學(xué)者處理RMPC問題或LPV問題所采用,如文獻[50?53].

1.2 基于Tube的RMPC

基于Tube的RMPC首先由文獻[13]提出,之后被文獻[15,19?20,43,54?55]等所發(fā)展.其基本思想是通過某種控制率將系統(tǒng)的狀態(tài)xk+j控制在一個可以叫做Tube的集合Xk+j中,這個Tube集合為系統(tǒng)約束X的子集,然后將整個Tube引導(dǎo)至一個希望的位置.這種對于Tube的操作讓人們可以直接處理不確定性所帶來的對于系統(tǒng)動態(tài)和約束的影響[56].此算法的一大優(yōu)勢是可以將系統(tǒng)確定部分和不確定部分分離,使得控制器可以將很多工作離線計算完成,這個特點使基于Tube的算法得到廣泛發(fā)展和應(yīng)用.本文討論三種典型的基于Tube的RMPC算法(如圖3所示):基于Rigid tube(RT)的RMPC[55],基于Homethetic tube(HT)的RMPC[19]和基于Parameterized tube(PT)的RMPC[20].

圖3 基于Tube的RMPCFig.3 Tube-based RMPC

對于這些基于Tube的RMPC,可以給出一個通用的OCP:

其中|Xk+j|T表示從Xk+j到目標(biāo)集合T距離的測度,可以叫做“位置控制”.?s(Xk+j)表示對集合Xk+j形狀(包括大小)的懲罰,可以叫做“形狀控制”.表示對決策變量的懲罰.為終值懲罰.

RT和HT RMPC中的T為{0},而PT RMPC中為一個RCI集S.約束xk+j∈Xk+j?X需要被分為xk+j∈Xk+j和Xk+j?X兩部分來單獨處理,通常用所屬遞歸法

來保證系統(tǒng)狀態(tài)待在對應(yīng)Tube中,即xk+j∈Xk+j,第二部分則可直接通過約束Xk+j?X保證.uk+j∈Uk+j?U同樣可直接在約束中保證.

各種算法對于Tube的控制各不相同,在RT RMPC中,只通過控制Tube的中心來控制Tube的位置,如圖4(a)所示.在HT RMPC中,Tube的位置和大小同時都可被控制,如圖4(b)所示.而PT RMPC提供了更多的自由度,通過控制Tube的頂點,不僅可以控制Tube的位置和大小,還可以控制其形狀,如圖4(c)所示.

圖4 對于Tube的控制Fig.4 Manipulation of tubes

其中式(12b)為名義系統(tǒng)模型,式(12c)為不確定部分.當(dāng)K被時變參數(shù)Kk+j代替時,式(12)仍然成立,只需把式(12c)替換為ek+1=(A+BKk)ek+Gwk.PT RMPC采用了更為復(fù)雜的參數(shù)化控制策略,但它仍然是基于名義系統(tǒng)(12b)的.這三種算法的目標(biāo)函數(shù)都不包含不確定部分的,更多細節(jié)將隨后討論.

Righid tube(RT)RMPC:由于控制率可以將不確定系統(tǒng)進行分離,得到確定的名義系統(tǒng)部分和不確定的噪聲部分.文獻[55]由此設(shè)計了只需控制確定的名義系統(tǒng)狀態(tài)的RT RMPC算法.RT RMPC中的Tube形式為其中Sr為正魯棒不變(RPI)集[16]:

正魯棒不變(Robustly positively invariant,RPI)集:集合Sr叫做系統(tǒng)(1)的正魯棒不變集,如果當(dāng)uk=Kxk時,對于?xk∈Sr和?wk∈W有(A+BK)xk+Gwk∈Sr成立.

在控制率的作用下,有(A+BK)Sr+GW?Sr成立,所以所屬遞歸式 (11)自然成立.由于Xk+j和Uk+j需要分別為X和U的子集,所以希望Sr盡可能小,系統(tǒng)(1)的最小RPI集可通過求得[57],或通過近似求得[16],其中r和ρ∈[0,1)滿足(A+BK)rGW?ρGW.其實,直接使用Sr是十分保守的,一種有效地降低保守性的方法是令相比于使用無窮時域的RPI集,這里得到的Tube將會更小.但這種方法的提升和PT RMPC比起來,效果是有限的,所以沒有學(xué)者單獨以此提出過一種算法.

因此,RT RMPC的OCP可見附錄中的(A2).

文獻[31]提出了一種等價于文獻[55]中RT RMPC的不同表達式,這種方法里利用了系統(tǒng)(1)的分解模型:

其中uk+j=Kxk+j+ck+j.注意式(13b)和(12b)之間的不同,這種分解模型在基于Tube的SMPC中同樣被廣泛應(yīng)用.

Homethetic tube(HT)RMPC:由于RT RMPC算法中Tube的大小是不能改變的,且Tube在設(shè)計的過程中過度地考慮了未來所有時刻噪聲的影響,使得Tube體積較大,保守性太強,所以文獻[19]設(shè)計了一種Tube大小可控的HT RMPC算法.在控制率下,HT RMPC中Tube為和(其中決策變量αk+j≥0).集合Sr同樣為RPI集.

在HT RMPC中,所屬遞歸式(11)并不能單獨靠控制率而得到.由于控制Tube大小的決策變量αk+j的存在,同樣的控制率并不能保證(A+BK)αk+jSr+GW?αk+j+1Sr,需要顯示地將之作為約束條件加入到OCP中才能保證所屬遞歸式(11)成立.

HT RMPC的最終OCP可見附錄中的(A3).

Parameterized tube(PT)RMPC:HT RMPC使得Tube算法的保守性在一定程度上得到了降低,但仍存在兩個問題,一是Tube可能在某些方向上還有縮小的可能;二是如果系統(tǒng)約束和Tube不在相同的朝向,即使Tube體積很小,但在某些方向上仍會使得緊縮后的系統(tǒng)約束沒有多少余量.PT RMPC就是解決了這兩個問題的一種算法.在PT RMPC中的Tube和控制率更為復(fù)雜,這種復(fù)雜給求解OCP提供了更多的自由度.根據(jù)文獻[20],W被描述為其中q為W的頂點數(shù).為了保證穩(wěn)定性,OCP中的終值約束為一個RCI集S={x:Esx≤1},Tube和控制率如表3所示.

通過這樣的參數(shù)化,可確保xk+j∈Xk+j和uk+j∈Uk+j,且參數(shù)滿足

PT RMPC中的目標(biāo)集合T為終值約束S.點到集合距離測度有許多不同的定義,如文獻[20,31],這里討論容易理解的文獻[31]中的定義:

點 到集合的距離:如果x∈S則|x|S=0,否則|x|S=max{Esx}?1.所以集合X到S的距離定義為|X|S=maxx∈X|x|S.則PT RMPC中的OCP(10)最終可見附錄中的(A4).

基于Tube的RMPC算法的問題規(guī)模如表4所示.設(shè)集合Xf={x|Efx≤1}和Sr={x|Esrx≤1}的表達為不可約,則nf表示Ef的行數(shù),nsr表示Esr的行數(shù).

各個算法的保守性是不一樣的,往往保守性越大,可行域越小.各算法可行域之間的關(guān)系可以通過以下定理來說明:

定理1.假設(shè)集合A→B表示A?B,AB表示在一定條件下A?B,對于滿足約束X和U的系統(tǒng)(1),以上算法的可行域滿足如圖5所示關(guān)系.

表3 PT RMPC的Tube和參數(shù)化Table 3Tubes and parameterization of PT RMPC

表4 基于Tube的RMPC算法的問題規(guī)模Table 4 Problem scale tube-based RMPC

1.3 仿真和分析

采用文獻中廣泛應(yīng)用的仿真系統(tǒng)模型[17,19,55]:

圖5 可行域關(guān)系Fig.5 Relationships of feasible sets

圖6 仿真結(jié)果Fig.6 Simulation result

圖7 可行域Fig.7 Feasible set

圖9 滿足條件時OL2M和RT RMPC的可行域Fig.9 Feasible sets of OL2M and RT RMPC under condition

圖10 DF2M和PT RMPC的可行域Fig.10 Feasible sets of DF2M and PT RMPC

選擇控制時域為N=5,仿真時域為TN=20.仿真結(jié)果和可行域如圖6～圖10所示.從圖6可以看到所有RMPC算法都滿足約束要求(曲線幾乎重合),而MPC算法則違反了約束.從圖7(a)可以看到FOL2M?FDF2M和FFF2M?FDF2M.DME2M RMPC算法作為一種特殊的開環(huán)算法,通過增加OCP的自由度使得其可行域也得以擴大,在本例中,FDME2M=FDF2M,但是其變量數(shù)目,特別是約束數(shù)目太多,使得求解平均用時為88.9s,遠遠高于其他非枚舉算法.從圖8～圖9可以看到,當(dāng)XfSc時,不能保證FRT?FOL2M,而如圖9(b)所示,當(dāng)Xf?Sc時,有FRT?FOL2M.所有仿真結(jié)果都符合定理1.

仿真由CPU為Intel(R)Core(TM)i7-4600@2.1GHz 2.7GHz的電腦完成,從表5和可行域圖中可以看到以下規(guī)律:

1)有效的決策變量越多,可行域越大.

2)同類型算法結(jié)構(gòu)下(Min-max或者基于Tube的算法),變量數(shù)目和約束數(shù)目越多,平均CPU時間就越大.

由于PT RMPC的終值約束為RCI集,所以可以將DME2M RMPC中的雙模式方法直接應(yīng)用到PT RMPC中,即一旦xk進入RCI集,就直接啟用控制輸入uk=Kxk.雙模式方法的啟用可以大大縮短平均計算時間,在此例中,雙模式方法下的PT RMPC算法平均CPU時間為0.16s.

表5 RMPC算法對比Table 5 Comparison of RMPC algorithms

2 隨機模型預(yù)測控制(SMPC)

隨機模型預(yù)測控制利用噪聲的統(tǒng)計特性來實現(xiàn)控制目標(biāo),能夠有效地處理機會約束或者有界約束下的系統(tǒng)控制問題.由于機會約束系統(tǒng)在一定程度上允許約束被違反,它通常對噪聲的取值范圍是不敏感的.而對于有界約束系統(tǒng),無界噪聲的出現(xiàn)往往給系統(tǒng)控制帶來巨大的挑戰(zhàn).本文討論應(yīng)用較為廣泛的基于情景生成法、基于隨機Tube和基于確定性等價式的SMPC算法,以及一種處理有界約束系統(tǒng)下無界噪聲的SMPC算法.各算法處理的約束和噪聲類型如表6所示.

SMPC的OCP的一般形式表示如下[5,32,65]:

表6 主要SMPC算法Table 6 Main SMPC algorithms

2.1 基于情景生成的(Scenario generation,SG)SMPC

情景生成法實質(zhì)上是一種隨機規(guī)劃中的隨機模擬技術(shù),基于SG的SMPC由Cala fiore和Campi在2005年提出[58].這一類方法利用干擾概率密度函數(shù)對獨立同分布(Independent identically distributed,IID)的干擾進行大量的采樣(這些采樣也可以叫做情景),來構(gòu)造一個基于情景的OCP,當(dāng)情景數(shù)目達到一定量時(這個數(shù)目往往是可以定量確定的),情景OCP的解能在較大概率上成為原OPC的解.和基于采樣的(Sample-based)算法(如文獻[66?67])不同的是,基于采樣的算法通過對干擾采樣并利用大數(shù)定理來估算擾動的期望以及概率分布,構(gòu)建基于期望和概率(而不是采樣)的OCP,且基于采樣的算法往往無法確定合適的采樣數(shù)目.

研究基于SG的SMPC的穩(wěn)定性的文獻比較少,學(xué)者們更多關(guān)注的是算法的可行性和最優(yōu)性,例如文獻[68?69].因此,式(16)中的終值約束和終值懲罰常常被省略.對于基于干擾仿射反饋和狀態(tài)仿射反饋的控制率來說,OCP(16)可以被轉(zhuǎn)化為文獻[58?59]中所描述的基于SG算法的一般形式:

其中v為nv-維的決策變量,w為干擾向量.基于SG的SMPC要求J(xk, w, v)和h(xk, w, v)對于v來說是凸的,而對IID干擾的概率密度分布沒有要求,所以這種方法也可以用到參數(shù)不確定問題上.通過采樣,隨機OPC(17)可用情景OCP替代:

2.2 基于隨機Tube的(Stochastic tube,ST)SMPC

基于ST的SMPC主要由文獻[18,29,61]提出,算法具有以下特點:1)只能處理有界噪聲(即w∈W),例如,截斷正態(tài)分布噪聲;2)控制率為u=Kx+c且利用了分解模型(13);3)采用雙模式控制策略和無限預(yù)測時域(即N→+∞)來保證可行性和穩(wěn)定性,所以式(16)中的終值約束JN(xk+N)=0.算法允許∈=0.文獻[18]和[29]中只處理了狀態(tài)約束,但是由于反饋控制率u=Kx+c使輸入中引入了狀態(tài),使得輸入約束也可以被用類似方法處理,如文獻[61].接下來,僅用狀態(tài)約束來介紹基于ST的SMPC的算法的基本原理.

2.3 基于飽和函數(shù)的(Saturation functions,SF)SMPC

基于SF的SMPC最先由Hokayem在文獻[24]中提出,文獻 [24]適用于Schur穩(wěn)定系統(tǒng)(即|λi(A)|＜1,i∈N[1,n]),文獻 [25]將之?dāng)U展到 Lyapunov穩(wěn)定系統(tǒng)(即|λi(A)|≤1,i∈N[1,n],其中某些|λj(A)|=1).文獻 [27]則進一步將該方法應(yīng)用到系統(tǒng)狀態(tài)不可測的情況下,其主要方法是通過觀測器來估算當(dāng)前系統(tǒng)狀態(tài)值.

對于Lypunov穩(wěn)定系統(tǒng),文獻[25]將系統(tǒng)矩陣(A,B)轉(zhuǎn)化為的形式,其中As為Schur穩(wěn)定Ao為正交陣,且λ(Ao)=1.為了保證系統(tǒng)具有和文獻[24]一樣的穩(wěn)定性,文獻[25]對正交部分增加了“負漂移條件”的約束,且假設(shè)Umax≥U?也需要成立,其中U?為和“負漂移條件”相關(guān)的一個常量.

2.4 基于確定性等價式的(Deterministic equivalents,DE)SMPC

確定性等價式是隨機規(guī)劃中處理機會約束的一種常用方法,文獻[62]將之應(yīng)用到模型預(yù)測控制中.基于確定性等價式的SMPC有兩大特點,一是利用確定性等價式將機會約束轉(zhuǎn)化為確定約束,二是將目標(biāo)函數(shù)利用狀態(tài)的期望和協(xié)方差迭代式直接表示為確定形式.這樣,隨機MPC就轉(zhuǎn)化成了確定MPC問題.若已知噪聲的期望和協(xié)方差,當(dāng)隨機噪聲的密度分布可知時,可以利用累積概率函數(shù)的反函數(shù)將機會約束確定化,如文獻[62];而當(dāng)隨機噪聲的密度分布不可知時,可利用坎泰利不等式(又叫切比雪夫單邊不等式)將將機會約束確定化,這種方法由文獻[63]提出,文獻[22]更詳細地介紹了這種算法并通過引入可選的初始約束來提高算法性能.文獻[23]將之?dāng)U展到系統(tǒng)狀態(tài)需要用觀測器觀測的情形,文獻[64]隨之又將其進一步擴展到系統(tǒng)帶有乘法擾動的情況.

對于線性外部干擾系統(tǒng),可采用控制率uk+j=

機會約束Pr[Exix≤1]≥1?∈(其中Exi為Ex的第i行)可被替換為:

其中,當(dāng)隨機噪聲服從正態(tài)分布時,式(20)可通過正態(tài)分布標(biāo)準化得到[62],且Φ(∈)=N?1(1?∈),N?1為標(biāo)準正態(tài)分布的累積概率反函數(shù).當(dāng)噪聲的密度分布不可知時,式(20)通過坎泰利不等式得到[63],且由于采用無下標(biāo)的x,所以也不用下標(biāo),當(dāng)x表示xk時,Ξ相應(yīng)地表示Ξk.但是式(20)對于Ξ是非線性的,難以直接求解,需要進行線性化:

其中α∈[0,1]為一個自由設(shè)計量.由于坎泰利不等式?jīng)]有用到噪聲的密度分布信息,導(dǎo)致其本身是比較保守的,而線性化進一步引入了更多的保守性,這點隨后將通過仿真實例展說明.機會輸入約束也可以通過類似方法處理得到Ψ(Eui,v,U),其中U=KΞKT.

2.5 仿真實例

仿真模型為一個常壓等離子射流儀(APPJ)[74],APPJ的線性化連續(xù)模型為式(22):

以采樣時間Ts=5對連續(xù)模型進行離散化,同時將預(yù)測時域選擇為N=9,仿真時域TN=50.

由于基于ST的SMPC利用了情景生成法進行求解,這里僅展示基于ST的仿真結(jié)果.當(dāng)X={x|Pr{?6≤x1≤6,?6≤x2≤6,?6≤x3≤6,x4,x5,x6,x7∈R}≥0.8},W={w|w～N(0,0.12),?1≤w≤1},η=0.1,N(nv,∈,η)=(1/∈)(e/(e? 1))(ln(1/η)+nv? 1),x0=(0,0,0,0,0,0,0.8)T時,基于ST的仿真結(jié)果如圖11所示,可以看到,系統(tǒng)表現(xiàn)沒有違反約束.

對于基于SF的SMPC,U={u|Pr{?1≤u1≤1,?1≤u2≤1}≥0.8},Umax=1,x0=(1,1,1,1,1,1,1)T,M=0.1,α=1,仿真結(jié)果如圖12所示,由于飽和函數(shù)的存在,使得無論是在仿真時域還是在預(yù)測時域,都沒有約束被違反.如果不使用飽和函數(shù),而直接使用反饋率仿真結(jié)果如圖13所示.可以看到,在仿真時域同樣能夠滿足約束,這是因為uk=vk,并沒有噪聲被引入第一個輸入值.而在預(yù)測時域卻可以看到輸入約束被嚴重違反,這樣就不能保證系統(tǒng)的閉環(huán)穩(wěn)定性了.

圖11 基于ST的SMPCFig.11 ST-based SMPC

對于基于DE的SMPC,X={x|Pr{?4≤x1≤4,?4≤x2≤4,?4≤x3≤4,x4,x5,x6,x7∈R}≥0.8},U={u|Pr{?1≤u1≤1,?1≤u2≤1}≥0.8},W={w|w～N(0,0.12)},x0=(0,0,0,0,0,0,0.2)T.圖14(a)展示了100次仿真結(jié)果,只有15次違反約束,違反率為15%,滿足要求.圖14(b)為基于DE的SMPC的可行域,其中紅色的為線性化之前的可行域,而藍色的為線性化之后的,可以看到紅色比藍色大很多,說明線性化后的系統(tǒng)更為保守.

圖12 飽和函數(shù)下的仿真結(jié)果Fig.12 Simulation result with SF

圖13 沒有飽和函數(shù)時的仿真結(jié)果Fig.13 Simulation result without SF

3 RMPC和SMPC的應(yīng)用

隨著RMPC算法和SMPC算法的不斷發(fā)展和日益成熟,使其在各領(lǐng)域得到了較為廣泛的應(yīng)用.表7匯總了近年來(自2010年)本文所討論的RMPC算法和SMPC算法的部分應(yīng)用場合.括號內(nèi)的英文縮寫表示應(yīng)用的算法,其中TB表示基于Tube(Tube-based)的算法,包括本文涉及的RT、HT和PT三種,MM表示Min-max算法,其他SMPC算法縮寫和上文一致.可以看到,除了在傳統(tǒng)的流程工業(yè)中的應(yīng)用,近年來一些新興領(lǐng)域,如無人汽車、智能家居、飛行器、機器人、風(fēng)力發(fā)電、水資源、城市交通等都有本文RMPC和SMPC算法的應(yīng)用場景.同時,在電網(wǎng)、醫(yī)療、金融等方面RMPC和SMPC也有不俗的表現(xiàn).

從表7中可以發(fā)現(xiàn),基于Min-max的RMPC相比于基于Tube的算法應(yīng)用更為廣泛一些,這是因為基于Min-max的算法概念和結(jié)構(gòu)更為簡單,易于在復(fù)雜實際對象控制中擴展,容易被工程師所接納和采用.類似的,SMPC的算法中以基于SG和基于DE的算法應(yīng)用最為廣泛,這是因為這兩類算法分別代表了隨機規(guī)劃中處理機會約束的兩種常用技術(shù),即隨機模擬和確定性等價.基于ST的算法在使用過程中也需用到這兩種技術(shù)來處理其中的子問題,相對較為復(fù)雜,且對系統(tǒng)模型更為敏感,應(yīng)用較少.而基于SF的SMPC算法難以應(yīng)用于實際對象是因為應(yīng)用中很少會考慮絕對意義的無界噪聲,且該算法僅適用于有界輸入約束,而實際應(yīng)用中常常會伴有狀態(tài)約束,并且飽和函數(shù)的運用使得算法過于局限.但是這種算法彌補了SMPC在有界約束下處理無界噪聲的理論空白,具有重要的意義.

圖14 基于CI的SMPC仿真結(jié)果Fig.14 Simulation result of CI-based SMPC

表7 RMPC和SMPC應(yīng)用Table 7 Applications of RMPC and SMPC algorithms

4 總結(jié)與展望

本文回顧了RMPC和SMPC中主要的算法及各種算法的主要特點和運作方式.可以看到,所有的算法都是求解一個帶約束的OCP問題以實現(xiàn)控制目標(biāo).遞歸可行性可以通過選擇合適的終值約束來實現(xiàn),而穩(wěn)定性則一般是通過終值約束和終值懲罰共同作用或者是選擇無窮預(yù)測時域來實現(xiàn).對于有界干擾,RMPC和SMPC都能漸近收斂到RCI集.而對于無界噪聲,正如Mayne在文獻[32]中所指出,SMPC的穩(wěn)定性要想被很好的解決,還有很長一段路要走.

事實上,保守性沒有明確定義.但是可以從上述算法討論看出,對于不確定系統(tǒng),最終處理的約束往往是被緊縮過的,而保守性越大,指的就是約束緊縮程度越大,系統(tǒng)表現(xiàn)為距離約束邊界越遠.同時,保守性和算法可行域有著密切關(guān)系,往往保守性越大,可行域越小.

雖然近幾十年來RMPC和SMPC得到了長足的發(fā)展,但在他們的實際應(yīng)用中,仍有許多需要解決的問題.如系統(tǒng)規(guī)模變大時,求解不變集、LMI、緊縮約束等計算量是十分龐大的,當(dāng)計算時間過長,系統(tǒng)狀態(tài)與測量狀態(tài)相差較遠時,控制效果會很不理想,特別是對于快速動態(tài)系統(tǒng),要求更快的運算速度.另外,在實際過程中如何確定噪聲結(jié)構(gòu)類型和取值范圍、如何建立系統(tǒng)模型、如何設(shè)計保守性低的算法也將極大地影響控制效果.這些問題的可能解決辦法和未來可能的研究方向如下:

觀測器和控制器的綜合:當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)不可測或只有部分可測時,利用觀測器對狀態(tài)進行觀測來設(shè)計反饋控制器往往效果更好.有時為了實現(xiàn)一些特殊目的也需要獲取某些新變量的信息,如為了實現(xiàn)無偏(Offset-free)跟蹤需要將噪聲看作新狀態(tài)進行觀測.觀測器中的不同預(yù)測增益矩陣(濾波增益矩陣)L對控制器的影響也會顯著不同,極端情況甚至?xí)沟每刂破鞑环€(wěn)定.如何把L和反饋控制率進行綜合設(shè)計,可否利用可測的部分狀態(tài)信息來修正觀測值,都是值得探索的話題.

前饋與反饋的綜合:在經(jīng)典控制論中,前饋的引入常常能有效地提高控制器的表現(xiàn).而在模型預(yù)測當(dāng)中,研究前饋的工作還相對較少,文獻[137]討論了這方面的內(nèi)容,如何把前饋的設(shè)計和反饋結(jié)合起來,以及前饋在RMPC中的應(yīng)用,特別是SMPC的應(yīng)用仍需要更多的工作.

模型及優(yōu)化問題的簡化:簡化模型和優(yōu)化問題主要是為了提高運算速率,可以從模型降階、模型轉(zhuǎn)化、優(yōu)化問題的分解方面考慮.模型降階在傳統(tǒng)MPC上的工作已經(jīng)有不少,而在RMPC和SMPC方面仍有不足,特別是利用離線數(shù)據(jù)進行模型校準問題,仍是需要攻克的難點.利用基函數(shù)對原模型進行轉(zhuǎn)化也是一個可研究的方向,如文獻[138?139]等利用混沌多項式展開模型把高維系統(tǒng)模型轉(zhuǎn)化為基函數(shù)的參數(shù)模型從而實現(xiàn)快速運算,類似的還有徑向基函數(shù)模型.這些模型在RMPC和SMPC的相關(guān)研究還較少,例如現(xiàn)在對于基函數(shù)的選擇往往是固定的,是否可以根據(jù)測量數(shù)據(jù)自適應(yīng)地調(diào)整基函數(shù),仍需要更多的研究.有時對優(yōu)化問題進行分解,將線上計算部分和線下計算部分盡可能分離,或?qū)?fù)雜問題分解為可并行處理的子問題,往往可根據(jù)對象特性適當(dāng)考慮.

軌跡跟蹤問題:RMPC中的軌跡跟蹤已有較多研究,SMPC領(lǐng)域相對較少,特別是對時變軌跡的跟蹤問題.目前SMPC中對軌跡的跟蹤往往是利用狀態(tài)期望去跟蹤軌跡,如果軌跡具有統(tǒng)計特性時(如上層計算傳遞下來的帶有概率分布的軌跡),在懲罰函數(shù)中引入跟蹤誤差的期望和方差項,能否提高跟蹤效果,如何解決其帶來的計算問題,還需要更多的研究.另外,基于不變集的算法一般來說是不太適合跟蹤軌跡的,因為系統(tǒng)狀態(tài)最終都會收斂到不變集,如果跟蹤軌跡不在不變集內(nèi),是否可設(shè)計不變集跟隨軌跡變動的算法呢.前饋往往可以提供更多跟蹤軌跡的信息,跟蹤中引入前饋或許會有好的效果.

多領(lǐng)域的綜合:文獻[140?141]等對RMPC在經(jīng)濟MPC(EMPC)的應(yīng)用進行了研究,而近期文獻[142]將SMPC與EMPC進行了較好的綜合,但這方面的研究相對來說是比較少的,仍有較多的工作可以進行.文獻[143]最近提出了一種迭代MPC的算法,可對這種方法在RMPC和SMPC上的應(yīng)用進行研究.

更多應(yīng)用:從第3節(jié)的表7可以看到,RMPC和SMPC的應(yīng)用是比較廣泛的,但在醫(yī)療、金融、云計算、城市交通領(lǐng)域的應(yīng)用相對較少,進一步加深對這些領(lǐng)域的研究,把理論和實際更緊密結(jié)合,探索RMPC和SMPC更多的適用場景,在促進各領(lǐng)域發(fā)展的同時也能促進RMPC和SMPC算法本身的研究進展.

附錄

DME2M RMPC的“外部控制器”O(jiān)CP:

RT RMPC的OCP:

HT RMPC的OCP:

PT RMPC的OCP:

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