審視“動(dòng)手操作”與“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)”的分野

【摘要】動(dòng)手操作和數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)兩者之間既有聯(lián)系又有區(qū)別。區(qū)別它們的形態(tài)，厘清它們的關(guān)系，把握它們在學(xué)生學(xué)習(xí)過程中的發(fā)生機(jī)制和引領(lǐng)價(jià)值，是實(shí)現(xiàn)課程理念到教與學(xué)方式轉(zhuǎn)變的必要手段。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)；動(dòng)手操作；技能；認(rèn)知；學(xué)習(xí)方式

【中圖分類號】G623.5 【文獻(xiàn)標(biāo)志碼】A 【文章編號】1005-6009（2017）09-0028-03

【作者簡介】武建軍，江蘇省連云港市墟溝中心小學(xué)（江蘇連云港，222042）副校長，高級教師，江蘇省數(shù)學(xué)特級教師。

蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材將動(dòng)手操作作為教材編寫的一大特色，選取了適合學(xué)生觀察、操作、實(shí)驗(yàn)、歸納的活動(dòng)素材，讓學(xué)生在“做數(shù)學(xué)”的過程中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律，獲得數(shù)學(xué)結(jié)論。同時(shí)，還將數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)引入課堂教學(xué)，以內(nèi)容的“可視化”促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展，使學(xué)生在“再實(shí)驗(yàn)”“再創(chuàng)造”的過程中積累數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)。因此，對二者進(jìn)行意義解構(gòu)，有助于認(rèn)識它們的基本內(nèi)涵，甄別它們的區(qū)別，使之更好地服務(wù)于教材應(yīng)用和課程實(shí)踐。

一、內(nèi)涵解構(gòu)：厘清動(dòng)手操作與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的基本要義

筆者按照“數(shù)與代數(shù)”“圖形與幾何”“統(tǒng)計(jì)與概率”“綜合與實(shí)踐”四個(gè)內(nèi)容領(lǐng)域，從“利用學(xué)具動(dòng)手操作”“結(jié)合情景演示操作”“不需要操作”三個(gè)維度，對蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)十二冊教材進(jìn)行了分類和統(tǒng)計(jì)。統(tǒng)計(jì)表明，十二冊教材中需要學(xué)生動(dòng)手操作的有87項(xiàng)，占比近55%；需要學(xué)生借助學(xué)具動(dòng)手操作的有65項(xiàng)，占比近41%；四個(gè)領(lǐng)域均有動(dòng)手操作的內(nèi)容。由此可見，動(dòng)手操作在教材中占據(jù)著重要的位置。從數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)視角出發(fā)，教編人員配合數(shù)學(xué)教材編寫了《數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)手冊》，擬定了137個(gè)實(shí)驗(yàn)課題，聚焦豐富的“動(dòng)手做”數(shù)學(xué)素材，精心設(shè)計(jì)了數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)過程，為數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的開展提供了參考。筆者認(rèn)為，認(rèn)識動(dòng)手操作和數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的本質(zhì)特征，是教師正確使用教材和解決課程實(shí)踐問題的關(guān)鍵。

1.從教學(xué)內(nèi)涵來看。動(dòng)手操作與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)都是數(shù)學(xué)活動(dòng)的基本形式，需要學(xué)生在“做中學(xué)”。其中，利用一定的操作工具、實(shí)物材料和技術(shù)手段來實(shí)現(xiàn)素材的數(shù)學(xué)化是其共同特點(diǎn)，借助數(shù)學(xué)直觀使學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)、促進(jìn)數(shù)學(xué)理解、培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維是其共同目標(biāo)。動(dòng)手操作是以學(xué)生自主參與為主，學(xué)生綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識和方法解決問題，側(cè)重于“用”；數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)則是在數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)理論的指導(dǎo)下，學(xué)生通過對實(shí)驗(yàn)素材進(jìn)行數(shù)學(xué)化的操作來解決問題，側(cè)重于“學(xué)”。

2.從教學(xué)特點(diǎn)與功能來看。動(dòng)手操作與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)都是以問題為載體，以學(xué)生為主體，具有直觀性與應(yīng)用性。動(dòng)手操作的內(nèi)容具有普遍性，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的內(nèi)容具有確定的指向性；動(dòng)手操作具有實(shí)踐性和開放性，而數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)還具有操作性、反復(fù)性和探索性。

3.從教學(xué)目標(biāo)指向來看。動(dòng)手操作與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)都著眼于學(xué)生“動(dòng)手做”學(xué)習(xí)方式的建立。動(dòng)手操作目標(biāo)指向不是很明確，重在實(shí)踐，注重與生活實(shí)際以及其他學(xué)科知識間的聯(lián)系；數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)?zāi)繕?biāo)指向明確，注重實(shí)驗(yàn)結(jié)果和實(shí)驗(yàn)結(jié)論。

4.從教學(xué)問題設(shè)置來看。動(dòng)手操作與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)都設(shè)有一定的問題情境。動(dòng)手操作給出問題情境，設(shè)置具有可操作性的問題或給出操作方案，學(xué)生根據(jù)要求實(shí)施即可；數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)給出問題情境，設(shè)置遞進(jìn)式或并行式問題，一般要求學(xué)生先估測或猜想，然后收集數(shù)據(jù)，并進(jìn)行一定的操作來驗(yàn)證。

二、形態(tài)解構(gòu)：辨別動(dòng)手操作與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的運(yùn)行方式

從認(rèn)知心理學(xué)理論出發(fā)，動(dòng)手操作和數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)在組織結(jié)構(gòu)上具有相似的特征。認(rèn)知的發(fā)生具有動(dòng)力學(xué)機(jī)制，學(xué)生在不同的活動(dòng)模式中將形成不同的學(xué)習(xí)心理，建構(gòu)不同的學(xué)習(xí)范式，呈現(xiàn)不同的個(gè)性差異。

動(dòng)手操作模型的教學(xué)實(shí)施一般分為以下幾個(gè)步驟（如圖1）：明確問題—操作思考—建立模型—解決問題—反饋應(yīng)用。其中，操作是外因向內(nèi)因轉(zhuǎn)化的關(guān)鍵，是認(rèn)知結(jié)網(wǎng)的紐帶，學(xué)生將通過操作經(jīng)驗(yàn)的積累和素材的數(shù)學(xué)化理解構(gòu)建個(gè)體操作經(jīng)驗(yàn)系統(tǒng)。

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ偷慕虒W(xué)實(shí)施一般分為以下幾個(gè)步驟（如圖2）：提出問題—?jiǎng)邮謱?shí)驗(yàn)—驗(yàn)證結(jié)果—拓展運(yùn)用。實(shí)驗(yàn)是整個(gè)模型的核心，涵蓋素材的選擇、結(jié)論的得出以及規(guī)律的揭示。實(shí)驗(yàn)以情境的方式，將知識與身體、自我、經(jīng)驗(yàn)、行動(dòng)等融合，促進(jìn)知識轉(zhuǎn)化及其螺旋動(dòng)態(tài)的生成，構(gòu)建學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)系統(tǒng)。

綜觀以上兩種模型，兩者都是基于兒童“動(dòng)手做”學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)的建構(gòu)，都體現(xiàn)了觀察與直覺經(jīng)驗(yàn)、表象與原型經(jīng)驗(yàn)、表征與心向經(jīng)驗(yàn)、遷移與再造經(jīng)驗(yàn)的一致性，因此可將兩者融為一體來運(yùn)行。

三、功能解構(gòu)：激活動(dòng)手操作與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的發(fā)生機(jī)制

動(dòng)手操作與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)觀視域下的具體呈現(xiàn)形式，立足于“做、思、學(xué)”的功能解構(gòu)，它們又具有不同的發(fā)生機(jī)制。

1.學(xué)習(xí)認(rèn)知視域下動(dòng)手操作的發(fā)生機(jī)制。

[案例1]教學(xué)北師大版二上“4×7”（如圖3）

教學(xué)時(shí)，從乘法的意義切入，可以有兩種教學(xué)方式：一是引導(dǎo)學(xué)生以和與積轉(zhuǎn)化的形式表示出7個(gè)4或4個(gè)7的和，寫作4×7或7×4；二是應(yīng)用7的乘法口訣得出答案。

從學(xué)習(xí)認(rèn)知視域可以這樣設(shè)計(jì)教學(xué)方案：（1）提供操作材料（一塊間隔距離相等的釘子板）。（2）引導(dǎo)學(xué)生用兩種方法在釘子板上擺出4×7（如圖4和圖5）。（3）引導(dǎo)學(xué)生說出圖形表達(dá)的意義。（4）引導(dǎo)學(xué)生寫出相應(yīng)的乘法算式和加法算式。

傳統(tǒng)教學(xué)觀認(rèn)為，知識是信息源之間的過渡式傳遞，知識掌握是傳授者的傾注與受教者的輸入，聽和接受是學(xué)生學(xué)習(xí)的主要形式。而學(xué)習(xí)認(rèn)知視域下動(dòng)手操作的學(xué)習(xí)方式完全不同，它以操作、思考、探究為學(xué)生的主要學(xué)習(xí)方式。從學(xué)生數(shù)數(shù)開始，到擺出圖形，學(xué)生直觀地感受釘子數(shù)的排列，建立“數(shù)”與“形”的直覺，并從“數(shù)”與“形”中抽象出算式，完成從生活事實(shí)到數(shù)學(xué)事實(shí)的過渡。其中，既包含感知覺的獲得，也蘊(yùn)含著抽象、概括等經(jīng)驗(yàn)的組合，學(xué)習(xí)得以發(fā)生。

2.具身認(rèn)知視域下數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的發(fā)生機(jī)制。

[案例2]數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)“分割長方體”

（1）將三個(gè)表面涂色、體積不同的長方體依次分割成10、12、48個(gè)棱長為1cm的小正方體（如圖6）。（2）猜想：1個(gè)面、2個(gè)面、3個(gè)面涂色的小正方體各有多少個(gè)？（3）用表格記錄每個(gè)長方體分割后1個(gè)面、2個(gè)面、3個(gè)面涂色的小正方體的數(shù)量。（4）驗(yàn)證：用字母表示發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，并在例題中驗(yàn)證。

具身認(rèn)知理論認(rèn)為：認(rèn)識依賴于來自身體各種不同感受器的多樣的經(jīng)驗(yàn)。以此為基礎(chǔ)，可以從三個(gè)維度解析數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的發(fā)生機(jī)制：（1）數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)與身體構(gòu)造的關(guān)系。在上述案例中，操作、猜想、驗(yàn)證是動(dòng)作與思維的融合，三次分割長方體，邏輯層次明顯，變式學(xué)習(xí)充分，學(xué)生的操作使身體、神經(jīng)、感官和運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)都參與其中。（2）數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)與情境的關(guān)系。在上述案例中，學(xué)生分割長方體，猜想分割后不同面涂色小正方體的個(gè)數(shù)情況，然后填表并歸類，逐步剝離操作技能，趨向發(fā)現(xiàn)規(guī)律的智慧技能。學(xué)習(xí)的場景、語境等成為學(xué)生認(rèn)知建構(gòu)的重要組成部分。（3）數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)與行動(dòng)的關(guān)系。上例教學(xué)流程體現(xiàn)了知識的生成性，特別是動(dòng)作技能向認(rèn)知思維的過渡，體現(xiàn)了學(xué)科知識與個(gè)人經(jīng)驗(yàn)的融合，具有認(rèn)知發(fā)生的動(dòng)力學(xué)機(jī)制。

四、過程解構(gòu)：建立動(dòng)手操作與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的關(guān)聯(lián)坐標(biāo)

動(dòng)手操作和數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)具有相同的情境與不同的結(jié)構(gòu)，學(xué)習(xí)進(jìn)程中包含了數(shù)學(xué)應(yīng)用意識和數(shù)學(xué)素養(yǎng)的成分。

1.以應(yīng)用意識為原點(diǎn)，構(gòu)筑動(dòng)手操作與數(shù)學(xué)思維的二維空間。

[案例3]蘇教版六下“圓柱和圓錐”單元的“動(dòng)手做”內(nèi)容（如圖7）

數(shù)學(xué)應(yīng)用意識是應(yīng)用數(shù)學(xué)知識、思想方法的心理傾向，是用數(shù)學(xué)知識、方法、思想嘗試解決現(xiàn)實(shí)情境產(chǎn)生的問題的意識。上述案例中，立足于“求土豆體積”的情境，學(xué)生通過觀察、測量、記錄、計(jì)算等實(shí)際操作解決問題。學(xué)生認(rèn)識到，土豆的體積與容器中水的高度有關(guān)，把土豆放入容器后，水升高的體積就是土豆體積。情境體現(xiàn)了動(dòng)手操作在數(shù)學(xué)應(yīng)用中的作用：首先，將生活實(shí)踐作為學(xué)生認(rèn)知的基點(diǎn)，應(yīng)用生活素材的感性體驗(yàn)，使外在現(xiàn)象在學(xué)生內(nèi)源性思維活動(dòng)的參與下形成“物質(zhì)原型”與“數(shù)學(xué)原型”的關(guān)系性鏈接。其次，深入學(xué)科內(nèi)部理解知識內(nèi)涵，將土豆的體積與水的體積“同積轉(zhuǎn)化”，使“做”與“思”對接。最后，突出數(shù)學(xué)活動(dòng)的意義，物化操作能形象地反映數(shù)學(xué)原理，實(shí)現(xiàn)認(rèn)知和經(jīng)驗(yàn)的共生。

2.以數(shù)學(xué)素養(yǎng)為坐標(biāo)，確定數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)與關(guān)鍵能力的對應(yīng)關(guān)系。

[案例4]蘇教版四下《三角形邊的認(rèn)識》

教師提供四根小棒，分別長8cm、4cm、5cm和2cm。讓學(xué)生任意選三根小棒，試著圍一個(gè)三角形。

教師改編教材，設(shè)計(jì)成數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)：（1）提供一根長度為12cm的小棒。（2）請學(xué)生將小棒剪成三段（小棒長度為整數(shù)）。（3）用剪好的小棒圍三角形。（4）探究：哪些長度的小棒圍成了三角形？哪些沒有圍成？將數(shù)據(jù)列出來。（5）在實(shí)驗(yàn)過程中你有什么發(fā)現(xiàn)？（6）總結(jié)能圍成三角形的三根小棒之間的關(guān)系。

教材內(nèi)容是提供四根小棒，讓學(xué)生選出三根圍三角形，數(shù)據(jù)有限，不具有普適性。改編成數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)后，體現(xiàn)了活動(dòng)與能力的組合。測量、分割、圍圖、分類、整理數(shù)據(jù)、發(fā)現(xiàn)規(guī)律、驗(yàn)證結(jié)論等行為，使學(xué)生形成了在數(shù)學(xué)思維參與下的能力結(jié)構(gòu)模式。以分小棒為認(rèn)知起點(diǎn)，以圍三角形為邏輯主線，通過比一比和試一試，促使學(xué)生的直覺思維與數(shù)學(xué)抽象建立起聯(lián)系，使數(shù)形結(jié)合思想在操作與計(jì)算能力的形成過程中得以充分體現(xiàn)。整個(gè)活動(dòng)是認(rèn)識和方法的綜合，有助于學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的培養(yǎng)，其中的每一個(gè)細(xì)節(jié)又對應(yīng)操作、比較、分析、抽象、推理、概括等關(guān)鍵能力，是建構(gòu)學(xué)生“動(dòng)手做”數(shù)學(xué)能力的價(jià)值坐標(biāo)。

動(dòng)手操作與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)作為學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式，強(qiáng)調(diào)以“動(dòng)手做”為載體，既有內(nèi)容與方法上的一致，也有內(nèi)涵與功能上的差異，在教學(xué)實(shí)踐中要將兩者有機(jī)融合。<＼＼Ysc02＼d＼邱＼江蘇教育＼小學(xué)版＼2017＼02＼KT1.TIF>

注：本文獲2016年江蘇省“教海探航”征文競賽一等獎(jiǎng)，有刪改。