問題轉(zhuǎn)接模式下的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)初探

劉利國

[摘 要] 問題轉(zhuǎn)接模式是20世紀(jì)美籍匈牙利數(shù)學(xué)家馮諾依曼在著名摩爾理論提出之前進(jìn)行的有效研究，其提出了教學(xué)需要從問題入手，以解決問題后進(jìn)行的問題轉(zhuǎn)接進(jìn)一步思考研究，這對于數(shù)學(xué)教學(xué)有了重要的方向指導(dǎo).

[關(guān)鍵詞] 問題；數(shù)學(xué)；課堂教學(xué)；轉(zhuǎn)接；模式

眾所周知，問題是數(shù)學(xué)的核心. 學(xué)數(shù)學(xué)的主要目的是解決數(shù)學(xué)理論問題和生活中的實(shí)際問題.我們知道，愛因斯坦說過一句很經(jīng)典的話：提出問題往往比解決問題來得更為重要.正是基于這樣的不同思路，數(shù)學(xué)家馮諾依曼對問題模式研究提出了新的見解：當(dāng)我們解決了問題后，是不是有足夠的思考提出轉(zhuǎn)接型的相關(guān)問題？這種相關(guān)轉(zhuǎn)接型的問題設(shè)計(jì)、思考、實(shí)踐、反思，對于數(shù)學(xué)教學(xué)來說顯得更有價(jià)值. 作為一線教師，筆者深深地思考了問題轉(zhuǎn)接模式能否與中學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)進(jìn)行緊密聯(lián)系？這需要從問題轉(zhuǎn)接模式的特點(diǎn)出發(fā)：

第一，延續(xù)性. 問題轉(zhuǎn)接模式是一種知識承上啟下程度的教學(xué)模式，以問題為起點(diǎn)，以解決問題后的思考為后續(xù)起點(diǎn)，思考問題背后的、可進(jìn)一步挖掘的相關(guān)知識；

第二，創(chuàng)新性. 問題轉(zhuǎn)接模式提供了知識后續(xù)的思考，將問題解決的后續(xù)給出了更多自由的思考，這種思考可以是進(jìn)一步深度上的挖深，也可以是數(shù)學(xué)相關(guān)問題廣度上的延伸，甚至進(jìn)一步可以讓學(xué)生提出更為創(chuàng)新的問題，有助于學(xué)生思維的發(fā)展；

第三，開拓性. 問題轉(zhuǎn)接模式在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐中是使用頻率較低的教學(xué)模式，究其原因是其本身理論的認(rèn)知度較低，開發(fā)也不夠完善，但是其有用的部分對于中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)而言是一種全新思路的指引，對于教師而言又必須對自身有更高的專業(yè)性知識的訴求，成為開拓教師專業(yè)化成長的一個(gè)重要的新視角.

問題轉(zhuǎn)接延續(xù)性探索

數(shù)學(xué)教學(xué)必須依賴問題，往往較好的問題很值得教師教學(xué)繼續(xù)挖掘. 這種挖掘既有問題自身值得挖掘的因素，也需要教師有敏銳的觀察眼光，將問題順利的通過轉(zhuǎn)變、思考、再探索、再思考進(jìn)行延續(xù)性的實(shí)踐與探索.

說明：從案例實(shí)踐來看，延續(xù)性是問題轉(zhuǎn)接模式最直接、最容易與教學(xué)實(shí)際進(jìn)行聯(lián)系的重要性質(zhì)，也是教師比較容易實(shí)施的第一層次教學(xué). 如何思考這種問題轉(zhuǎn)接變化呢？從上述案例來看，教師引導(dǎo)下的問題轉(zhuǎn)接變換是首要任務(wù)，這里教師借助自身的專業(yè)素養(yǎng)，通過問題的變換讓學(xué)生感受類似知識不同解決以及不同問題類似解決. 問題轉(zhuǎn)接延續(xù)性在上述案例中最具亮點(diǎn)的體現(xiàn)是：其一是遵從學(xué)生認(rèn)知心理學(xué)特點(diǎn)，問題從簡單入深，延續(xù)到學(xué)生認(rèn)知最深刻的理性思維，體現(xiàn)課程教學(xué)層層遞進(jìn)、螺旋上升、循序漸進(jìn)的理念；其二與中國傳統(tǒng)變式教學(xué)緊密結(jié)合，給我們開發(fā)問題轉(zhuǎn)接模式教學(xué)提供了不少的素材，值得在延續(xù)性上進(jìn)行更有效的開發(fā).

問題轉(zhuǎn)接創(chuàng)新性實(shí)踐

學(xué)生的思維是千變?nèi)f化、多姿多彩的，其對于數(shù)學(xué)問題的認(rèn)識并不像我們一樣僵化，而且不同學(xué)生對于同一問題的看法、思考都是不盡相同的，這正是教學(xué)每年都與眾不同的原因.基于這樣的原因，對于問題解決之后轉(zhuǎn)接的創(chuàng)新性就顯得無限可能.

問題2：直角三角形的兩直角邊都是（0，1）區(qū)間上的隨機(jī)數(shù)，試求斜邊長小于的概率.

解答1：設(shè)兩直角邊分別為x，y（0

解答2：設(shè)兩直角邊分別為x，y（0

問題轉(zhuǎn)接創(chuàng)新：不同的解法帶來了不同的結(jié)果，這究竟是什么原因？一一對應(yīng)難道不等同于等可能？這些概率問題我們研究得少之又少. 那么我們順著教材中提出的概率問題最本質(zhì)的驗(yàn)證思路出發(fā)：用EXCEL數(shù)據(jù)模擬實(shí)驗(yàn)來驗(yàn)證正確性豈不更有意義？有興趣的讀者可以參與詳細(xì)步驟（參加《兩道幾何概型趣題》一文，數(shù)學(xué)通訊，2011，6，作者：沈恒，此處省略步驟），分別得到了明顯的等可能與否的散點(diǎn)圖（圖3）.

說明：從上述案例研究，我們發(fā)現(xiàn)教師按照常態(tài)解決了典型的概率問題，但是學(xué)生對于問題的思考卻是教師不曾思考的，為此教師引導(dǎo)下的問題轉(zhuǎn)接創(chuàng)新思考應(yīng)運(yùn)而生，給我們教學(xué)提供了新的處理和示范.

問題轉(zhuǎn)接開拓性思考

開拓性更多是針對教師自身專業(yè)化成長而言的，問題轉(zhuǎn)接的角度自然比學(xué)生理解的層面要更進(jìn)一步. 筆者認(rèn)為，要提出開拓性問題的思考需要教師首先選擇比較恰當(dāng)?shù)狞c(diǎn)，這樣的選擇材料有很多，比如教材后面有很多可開發(fā)的閱讀與思考、探索和實(shí)踐、信息和技術(shù)等，這些知識材料是源于教材高于教材的，教師可以從開拓性的角度提出問題的轉(zhuǎn)接，特別是從選修課程的角度實(shí)施是很有具體價(jià)值的，對于教學(xué)開拓性和教師發(fā)展是大有益處的.

問題3：《必修1》閱讀與思考：《集合中元素的個(gè)數(shù)》最后提出了一個(gè)思考：“有限集合中元素的個(gè)數(shù)，我們可以一一數(shù)出來，而對于元素個(gè)數(shù)無限的集合，如：A={1，2，3，4，…，n，…}，B={2，4， 6，8，…，2n，…}，我們無法數(shù)出集合中的元素個(gè)數(shù)，但可以比較這兩個(gè)集合的元素個(gè)數(shù)的多少. 你能設(shè)計(jì)一個(gè)比較這兩個(gè)集合中元素個(gè)數(shù)多少的方法嗎？”

分析：此處可以提出很多與學(xué)生剛剛所學(xué)集合知識相矛盾的問題！也是教師認(rèn)知沖突的體現(xiàn).從與所學(xué)知識矛盾的觀點(diǎn)，至少可以思考下列問題的轉(zhuǎn)接（見表1）：

通過給出康托爾集合論對于無限集合的闡述以及多種案例的研究（詳細(xì)可參見《對一個(gè)課本問題的思考》一文，中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2009，3，作者：劉薇），我們發(fā)現(xiàn)高中數(shù)學(xué)中的集合論依托的背景是有限集合，而閱讀與思考中多闡述的是無限集合，正是因?yàn)橛邢薜綗o限的變換，才從量變發(fā)生到了質(zhì)變，讓我們自身認(rèn)識到了無限集合的魅力！進(jìn)一步教師自身也可以思考：中國古代對于圓面積的求解過程，恰恰是這里無限到有限的一種質(zhì)變，不正是正n邊形不斷趨向無窮時(shí)得到的面積嗎？這種問題背后轉(zhuǎn)接的思考，有助于教師自身專業(yè)化水平的提高.

說明：從上述案例我們發(fā)現(xiàn)，教師對于閱讀與思考中經(jīng)典的一個(gè)問題，進(jìn)行了轉(zhuǎn)接與開發(fā)，讓學(xué)生較好地理解了問題開拓的美妙之處，進(jìn)而產(chǎn)生了對問題多一點(diǎn)思考的要求，這種問題轉(zhuǎn)接模式對于我們教學(xué)有了更多的思考.

最后借用北師大劉紹學(xué)教授這樣表述問題轉(zhuǎn)接模式教學(xué)：問題背后隱藏著更好的思考，讓這種思考成為新的問題，轉(zhuǎn)接到新的知識、新的思想，周而復(fù)始循序漸進(jìn)，不斷開發(fā)問題、不斷做學(xué)問、做思考，讓問題轉(zhuǎn)接模式成為與新課程標(biāo)準(zhǔn)理念緊密結(jié)合的獨(dú)特教學(xué)方式.