數(shù)學(xué)“解題”的本質(zhì)：轉(zhuǎn)化、化歸

龐燕

[摘 要] 數(shù)學(xué)解題以轉(zhuǎn)化為手段，以化歸為目的，轉(zhuǎn)化與化歸思想是解決數(shù)學(xué)問題的根本思想. 除極簡單的數(shù)學(xué)問題，大多數(shù)數(shù)學(xué)問題的解決都是通過轉(zhuǎn)化為已知問題來實(shí)現(xiàn)的. 解題的過程就是一步步地轉(zhuǎn)化的過程.

[關(guān)鍵詞] 高中數(shù)學(xué)；解題；轉(zhuǎn)化；化歸

提出發(fā)現(xiàn)問題、追本溯源

何為數(shù)學(xué)解題？

著名的數(shù)學(xué)家，莫斯科大學(xué)教授C.A.雅潔卡婭曾在一次向數(shù)學(xué)奧林匹克參賽者發(fā)表《什么叫解題》的演講時(shí)提出：“解題就是把要解的題轉(zhuǎn)化為已經(jīng)解過的題”. 數(shù)學(xué)解題過程，就是從未知向已知、從復(fù)雜到簡單的化歸轉(zhuǎn)化過程；就是一個(gè)不斷發(fā)展條件、改造結(jié)論的過程.

何為轉(zhuǎn)化、化歸？

簡單言之，就是將未知問題轉(zhuǎn)化到已知的可以解決的問題中來的一種方法.數(shù)學(xué)家羅莎彼得曾經(jīng)用一個(gè)笑話對(duì)數(shù)學(xué)家眼中的轉(zhuǎn)化與化歸進(jìn)行了形象生動(dòng)的詮釋. 在面對(duì)“只有火柴、水龍頭、煤氣灶和水壺的條件下，如何燒開水”的問題，大家的回答仿佛都很一致，按照正常的程序，灌水、點(diǎn)氣、燒水. 但當(dāng)面對(duì)“如果此時(shí)水壺中已經(jīng)注滿水了，而其他條件不變的情況下怎么辦”這個(gè)問題時(shí)，當(dāng)回答者理直氣壯地認(rèn)為可以直接放水壺點(diǎn)煤氣時(shí)，數(shù)學(xué)家卻有了不同的意見，他認(rèn)為只有物理學(xué)家才會(huì)有這樣的行為，而數(shù)學(xué)家則會(huì)直接將水倒掉，使得問題化歸到最初的問題中去.

就這樣，化歸的本質(zhì)在羅莎看似荒誕和夸張的比喻中得到凸顯：在解決一個(gè)問題時(shí)人們的眼光并不落在問題的結(jié)論上，而是去尋覓、追溯一些熟知的結(jié)果，盡管向前走兩步，也許能達(dá)到目的，但我們也情愿退一步回到原來的問題上去. 利用化歸法解決問題的過程可以簡單地用以下框圖表示：

所謂數(shù)學(xué)解題的思維過程其實(shí)就是學(xué)生們對(duì)數(shù)學(xué)問題的探索過程，是他們思維從最初的困惑到嘗試?yán)斫?，到問題轉(zhuǎn)換而最終使問題得到解決的活動(dòng)軌跡. 數(shù)學(xué)解題過程可以分為四個(gè)步驟，即清楚問題—計(jì)劃解決問題—實(shí)施計(jì)劃—回顧解題過程. 新課改實(shí)施之后，廣大的數(shù)學(xué)教育工作者在創(chuàng)新方法與形式的基礎(chǔ)上，簡化提煉了這四個(gè)步驟的關(guān)鍵，將其濃縮為八個(gè)字，理解—轉(zhuǎn)化—實(shí)施—反思.

理解，就是讓學(xué)生讀懂題意，找到題目中隱藏的一些已知條件，這是學(xué)生們開啟解題思維的第一步，也是關(guān)鍵一步；轉(zhuǎn)化，則是學(xué)生讓自己的思維活躍起來，積極地調(diào)動(dòng)已有經(jīng)驗(yàn)，搜索已有知識(shí)，然后將未知問題通過思維運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)化為已知問題的過程. 問題轉(zhuǎn)化過程就是學(xué)生們積極探索和嘗試解題方法、發(fā)現(xiàn)新舊知識(shí)的聯(lián)系，自動(dòng)將知識(shí)進(jìn)行系統(tǒng)化組合的一個(gè)思維過程.

分析解決問題、滲透思想

總結(jié)歸納：此題可以利用“數(shù)形結(jié)合”的思想，進(jìn)行轉(zhuǎn)化和化歸，先把條件和待求結(jié)論的代數(shù)式（或量）都化成形.

數(shù)形結(jié)合，就是通過數(shù)與形之間的對(duì)應(yīng)和轉(zhuǎn)化，來解決數(shù)學(xué)問題.包含“以形助數(shù)”和“以數(shù)解形”兩個(gè)方面.一方面，許多數(shù)量關(guān)系、解析式，若賦予幾何意義，往往可以變得非常直觀、形象；另一方面，一些圖形的屬性，又可以通過數(shù)量關(guān)系的研究，使圖形的性質(zhì)更豐富、更精確、更深刻. 通過數(shù)形結(jié)合，對(duì)問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，可以使復(fù)雜問題簡單化，抽象問題具體化.

條件最值問題種類很多，內(nèi)涵豐富，解法靈活，解題的關(guān)鍵在分析和思考，因題而異，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒? 數(shù)學(xué)常用方法有：消元法、不等式法、換元法和數(shù)形結(jié)合法等等.

反思剖析問題、淋漓盡致

數(shù)學(xué)解題的目的是為了理解概念、熟悉知識(shí)、掌握方法、領(lǐng)會(huì)思想、發(fā)展思維、學(xué)會(huì)思考，并提高分析問題和解決問題的能力. 解題時(shí)，面對(duì)一個(gè)新的問題，應(yīng)該一步一步地分析，該怎樣轉(zhuǎn)化和化歸，由不會(huì)到會(huì)，由陌生到熟悉，并在解題過程中，鍛煉解題意志，克服困難，走向終點(diǎn).

具體來說，第一步：先審題，然后向自己發(fā)問.通過反復(fù)讀題，思考題目讓我求什么？條件是什么？條件到結(jié)論怎樣轉(zhuǎn)化？試著結(jié)合條件畫出一個(gè)示意圖，此問題屬于哪方面的數(shù)學(xué)知識(shí)，是函數(shù)問題、解三角問題、數(shù)列問題、立體幾何問題、解析幾何問題？第二步：找條件和結(jié)論的聯(lián)系，找到關(guān)鍵詞，如最值、取值范圍等，聯(lián)想相關(guān)定理、公式、概念；結(jié)合結(jié)論，聯(lián)想相似的問題并利用之；試著用不同的方式重新敘述命題，找到問題的等價(jià)命題.能否把條件或結(jié)論特殊化？是否有隱含的條件沒用上？（運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法，如數(shù)形結(jié)合等）. 第三步，具體求解時(shí)，檢驗(yàn)每一步運(yùn)算是否合理、正確. 第四步，解題后反思，總結(jié).

在數(shù)學(xué)解題的轉(zhuǎn)化與化歸中，對(duì)基本知識(shí)、方法與技能的熟練掌握是重要的前提；認(rèn)真細(xì)致的分析、豐富大膽的想象，對(duì)類比、比較等數(shù)學(xué)思維方法的靈活運(yùn)用是轉(zhuǎn)化思想得以能夠順利實(shí)施的保障. 要想將轉(zhuǎn)化思想訓(xùn)練培養(yǎng)成一種自覺行為，就要去深刻理解數(shù)學(xué)公式、定理以及法則的本質(zhì)，要學(xué)會(huì)在典型習(xí)題的練習(xí)中不斷提煉和總結(jié)，有意識(shí)且有針對(duì)性地去找到事物之間存在的某種本質(zhì)上的密切聯(lián)系. 數(shù)學(xué)解題的關(guān)鍵在于不但要牢固基礎(chǔ)，更要注重轉(zhuǎn)化.作為教育者，可以通過問題條件、問題結(jié)論、問題內(nèi)部結(jié)構(gòu)或者是外部形式等多種形式的變更，來開拓學(xué)生們這種既可以代數(shù)，也可以幾何的思維視角.

一個(gè)數(shù)學(xué)問題，我們可視其為一個(gè)數(shù)學(xué)系統(tǒng)或數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，組成其要素之間相互聯(lián)系的形式是多變的、多樣的，因此，解題時(shí)，需要我們依據(jù)問題本身所提供的信息，利用動(dòng)態(tài)思維，尋找解決問題的途徑，遵循“多變—轉(zhuǎn)化—解決”的規(guī)律.