小結(jié)論大作用

梁昌金

我們默認(rèn)自然數(shù)不包含0，用符號(hào)N表示全體自然數(shù)組成的集合.如果一個(gè)自然數(shù)p的因子只有1和p本身，我們就稱p為素?cái)?shù).素?cái)?shù)，又稱之為質(zhì)數(shù).默認(rèn)在自然數(shù)中，1不是素?cái)?shù).我們稱自然數(shù)中其它非1、非素?cái)?shù)的數(shù)為合數(shù).所以根據(jù)我們的定義，1既不是素?cái)?shù)也不是合數(shù).在下面的討論中，我們把素?cái)?shù)按照遞增的順序?qū)懗梢粋€(gè)序列：p1=2，p2=3，p3=5，p4=7，…，pn，….素?cái)?shù)在自然數(shù)中占有重要的地位.回顧一下數(shù)的發(fā)展歷史，整數(shù)的求逆運(yùn)算使得數(shù)從自然數(shù)發(fā)展到全體整數(shù).為了使乘除法在數(shù)中有良好的定義，數(shù)又從整數(shù)擴(kuò)充到有理數(shù).數(shù)從有理數(shù)到實(shí)數(shù)的擴(kuò)充，可以理解為有理數(shù)的完備化過(guò)程.物理天文等進(jìn)一步研究需求的產(chǎn)生，使得數(shù)又從實(shí)數(shù)擴(kuò)充到復(fù)數(shù).如果把復(fù)數(shù)看成一個(gè)物體，實(shí)數(shù)、有理數(shù)、整數(shù)、自然數(shù)等可以看成這個(gè)物體的一些基本的組成部件.下面定理使得我們可以將自然數(shù)看成全體素?cái)?shù)的乘積，即素?cái)?shù)可以看成自然數(shù)的組成“元素”，即從素?cái)?shù)出發(fā)可以構(gòu)造出全體復(fù)數(shù)！算數(shù)基本定理設(shè)n為一個(gè)大于1的自然數(shù)，則有

n=p1p2…ps，其中s為某自然數(shù)，pj（1≤j≤s）是素?cái)?shù)，并且在不記素?cái)?shù)排列次序的意義下，上式分解是唯一的.素?cái)?shù)在實(shí)際中也有很多應(yīng)用.在密碼學(xué)中，一些公鑰加密體系就是將想要傳遞的信息在編碼時(shí)加入質(zhì)數(shù)計(jì)算，編碼之后傳送給收信人，任何人收到此信息后，若沒(méi)有此收信人所擁有的密鑰（某個(gè)素?cái)?shù)），將會(huì)因?yàn)檎屹|(zhì)數(shù)的過(guò)程（分解質(zhì)因數(shù)）過(guò)久而使取得的信息也會(huì)無(wú)意義.在汽車變速箱齒輪的設(shè)計(jì)上，相鄰的兩個(gè)大小齒輪齒數(shù)最好設(shè)計(jì)成質(zhì)數(shù)，以增加兩齒輪內(nèi)兩個(gè)相同的齒相遇嚙合次數(shù)的最小公倍數(shù)，可增強(qiáng)耐用度減少故障.在害蟲的生物生長(zhǎng)周期與殺蟲劑使用之間的關(guān)系上，殺蟲劑的質(zhì)數(shù)次數(shù)的使用也得到了證明.實(shí)驗(yàn)表明，質(zhì)數(shù)次數(shù)地使用殺蟲劑是最合理的：都是使用在害蟲繁殖的高潮期，而且害蟲很難產(chǎn)生抗藥性.以質(zhì)數(shù)形式無(wú)規(guī)律變化的導(dǎo)彈和魚雷可以使敵人不易攔截.多數(shù)生物的生命周期也是質(zhì)數(shù)（單位為年），這樣可以最大程度地減少碰見(jiàn)天敵的機(jī)會(huì).關(guān)于素?cái)?shù)有無(wú)窮多個(gè)的證明，早期經(jīng)典的證明可以追溯到歐幾里德（Euclid）的《幾何原本》.這也用到了數(shù)學(xué)中的反證法.

證法1（Euclid的證明）：假設(shè)p12，則整數(shù)N-1為一些素?cái)?shù)的乘積，從而必有某個(gè)pi為N的素因子，所以pi整除N-（N-1）=1，矛盾.證法3（Harmite的證明）考慮任意的正整數(shù)n，只需證明必存在大于n的素?cái)?shù)即可.為此，考慮P=n！+1，若P為素?cái)?shù)，則結(jié)論成立.若P為合數(shù)，則P必存在比n大的素因子.利用上面證明思想還引發(fā)出一些有趣的數(shù)論問(wèn)題.比如，考慮序列q1=2，q2=3，q3=7，q4=43，q5=139，q6=50207，q7=340999，…，其中qn+1是q1q2…qn+1的最大素因子（從而qn+1≠q1q2…qn）.可以考慮序列（qn）n≥1是否含有所有素?cái)?shù)？是否有無(wú)窮多個(gè)素?cái)?shù)不在序列中？這個(gè)序列是否是單調(diào)遞增的？類似的，還可以考慮序列：l1=2，l2=3，l3=7，l4=43，l5=13，l6=53，l7=5，l8=6221271，…，一般地，ln+1是l1l2…ln+1的最小素因子，是不是每一個(gè)素?cái)?shù)都屬于這個(gè)序列？1985年，Odoni考慮一個(gè)類似的序列：w1=2，w2=3，…，wn+1=w1w2…wn+1.他證明了存在無(wú)窮多個(gè)素?cái)?shù)不是此序列中任何一項(xiàng)的因子，也存在無(wú)窮多個(gè)素?cái)?shù)至少是此序列中某項(xiàng)的因子.這也證明了素?cái)?shù)有無(wú)窮多個(gè).更一般的有Dirichlet的素?cái)?shù)定理，即當(dāng)正整數(shù)h和k滿足（h，k）=1時(shí)，算數(shù)序列h，h+k，h+2k，…，h+nk，…中有無(wú)窮多個(gè)素?cái)?shù).