導(dǎo)數(shù)在高中數(shù)學(xué)解題中的有效應(yīng)用

徐達(dá)

【摘要】高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，導(dǎo)數(shù)是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的最基本的內(nèi)容，也是微積分學(xué)習(xí)的關(guān)鍵內(nèi)容.新課程標(biāo)準(zhǔn)改革后，導(dǎo)數(shù)概念被引入高中數(shù)學(xué)中，不僅是高考考試的熱點(diǎn)，也逐漸被應(yīng)用在數(shù)學(xué)題解的過程中，由于導(dǎo)數(shù)蘊(yùn)含豐富的數(shù)學(xué)知識，應(yīng)用在數(shù)學(xué)解題的過程中，不僅能夠降低數(shù)學(xué)理論的難度，提高數(shù)學(xué)解題的效率，還能夠提高學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的積極性.數(shù)學(xué)解題中應(yīng)用導(dǎo)數(shù)知識，對當(dāng)今的高中數(shù)學(xué)解題提出新要求.文章主要針對高中學(xué)生，分析在數(shù)學(xué)解題中如何應(yīng)用導(dǎo)數(shù)知識，對高中數(shù)學(xué)解題過程中的導(dǎo)數(shù)應(yīng)用實(shí)例進(jìn)行探討，提高學(xué)生的解題效率以及擴(kuò)展學(xué)生的思維，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新實(shí)踐能力.

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué)；導(dǎo)數(shù)；解題；應(yīng)用

近年來，隨著我國新課程標(biāo)準(zhǔn)改革的實(shí)現(xiàn)，現(xiàn)代教育形式逐漸發(fā)生改變，高中數(shù)學(xué)課本的編撰中逐漸增加了很多的內(nèi)容，其中導(dǎo)數(shù)就是新增加的內(nèi)容，導(dǎo)數(shù)也逐漸成為現(xiàn)代教育的重點(diǎn)和高考考查的重點(diǎn).導(dǎo)數(shù)知識應(yīng)用在高中數(shù)學(xué)解題的過程中，主要提高了函數(shù)問題、不等式問題等的解決效率.學(xué)生要想更好地解決問題，首先，要牢固掌握導(dǎo)數(shù)的基礎(chǔ)知識，能夠在實(shí)際數(shù)學(xué)解題的過程中靈活運(yùn)用知識，提高數(shù)學(xué)解題的效率，降低數(shù)學(xué)解題的難度，在實(shí)際的解題過程中，定時對導(dǎo)數(shù)知識進(jìn)行復(fù)習(xí)，提高知識的靈活運(yùn)用能力.

一、導(dǎo)數(shù)知識在解決高中數(shù)學(xué)題中的應(yīng)用

在數(shù)學(xué)解題中，解題方式主要經(jīng)歷三個步驟：首先，分析題意，主要是將抽象化的問題形象化、具體化，找出題中的干擾條件；然后，建立模型，一般模型都是應(yīng)用數(shù)學(xué)方法來建立的，通過建立模型來找出數(shù)學(xué)問題，確定數(shù)學(xué)題目中的自變量與因變量，明確待求量與已知量之間的關(guān)系，并將數(shù)學(xué)題目等相關(guān)問題表現(xiàn)在模型中；最后，模型建立成功后，進(jìn)行結(jié)果的求解，一般都是通過題目提供的信息，來列出正確的數(shù)學(xué)表達(dá)式，進(jìn)行求解.

在函數(shù)極值的求解上，一般都運(yùn)用導(dǎo)數(shù)知識進(jìn)行求解.在函數(shù)極值的求解中，應(yīng)該了解極值是在特定的條件下求解的.在具體的解題中，應(yīng)該注意討論特殊條件下的變量，這種情況下，高中數(shù)學(xué)解題增加了學(xué)生的解題難度，針對這種情況，就要重視數(shù)學(xué)知識、技能的合理應(yīng)用.

在高中數(shù)學(xué)知識的求解中，要注意及時鞏固導(dǎo)數(shù)知識，不僅是對導(dǎo)數(shù)的概念進(jìn)行分析，要將其形象化，還要了解導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)，在高中數(shù)學(xué)解題過程中，導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)運(yùn)用最為普遍，一般都在求導(dǎo)的過程中，找到題目的突破口，減少題目干擾項(xiàng)的影響.導(dǎo)數(shù)應(yīng)用在高中數(shù)學(xué)解題中，不僅鞏固導(dǎo)數(shù)等相關(guān)知識，還促使高中數(shù)學(xué)知識與大學(xué)知識的連接，減少高中數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)難度.

二、導(dǎo)數(shù)知識在函數(shù)問題解題過程中應(yīng)用具體案例分析

函數(shù)極值的求解中，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)知識，能夠簡化函數(shù)極值求解的程序，同時導(dǎo)數(shù)的條理性能夠促使數(shù)學(xué)問題更加簡明.

例1求函數(shù)f（x）=x2（x+2）在定義域[-5，10]上的極值.

解析高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，函數(shù)的極值求解問題既是難度最大的，也是高考考試的熱點(diǎn)問題.在實(shí)際求解的過程中，函數(shù)極值一般都是區(qū)間（參數(shù)）范圍上，通過分段進(jìn)行求解的.函數(shù)極值求解主要是運(yùn)用導(dǎo)數(shù)知識對函數(shù)的區(qū)間范圍進(jìn)行討論，由于函數(shù)區(qū)間分段較多，每一區(qū)間的求解比較困難，所以在很多時候，會增加求解的難度.在極值的求解上，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)，將函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)設(shè)為零，在確定一個條件的基礎(chǔ)上，求出區(qū)間內(nèi)的最值，判斷函數(shù)最值的單調(diào)性，然后進(jìn)行分段函數(shù)的求解，計(jì)算最值.

解題過程如下，令f′（x）=0，有x（3x+4）=0，x=0或者x=-43，區(qū)間分為三段，分別是以下三種情況：

當(dāng)區(qū)間控制在-5，-43，f′（x）>0時，則f（x）在區(qū)間上單調(diào)遞增，

當(dāng)區(qū)間控制在-43，0，f′（x）<0時，則f（x）在區(qū)間上單調(diào)遞減，

當(dāng)區(qū)間控制在（0，10]，f′（x）>0時，則f（x）在區(qū)間上單調(diào)遞增.

由此，求解函數(shù)的極值中，極大值點(diǎn)為x=-43，極小值點(diǎn)為x=0.

例2已知函數(shù)f（x）=xlnx-2x+a，其中a的取值范圍確定為全體實(shí)數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.

解析本題主要是解決函數(shù)的單調(diào)性問題，在實(shí)際求解的過程中，能夠借助函數(shù)圖像進(jìn)行展示.在函數(shù)單調(diào)性求解的過程中，主要是求解函數(shù)的最小值，當(dāng)a<函數(shù)最小值，則直線y=a與函數(shù)圖像沒有交點(diǎn)，則求解的即為參數(shù)a的最值.

利用導(dǎo)數(shù)知識，求解函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′（x）=lnx-1，令f′（x）=0，得lnx-1=0，則x=e，函數(shù)的定義域?yàn)椋?，+∞），令f′（x）>0，則x>e，函數(shù)f（x）呈現(xiàn)出單調(diào)遞增的態(tài)勢；令f′（x）<0，則x處在0到e的范圍內(nèi)，函數(shù)f（x）呈現(xiàn)出單調(diào)遞減的態(tài)勢.

在函數(shù)問題中，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)知識，簡化了函數(shù)求解的步驟，降低函數(shù)求解的難度，靈活地運(yùn)用導(dǎo)數(shù)知識，不僅鞏固了該項(xiàng)知識，也讓學(xué)生能夠在函數(shù)問題中，“舉一反三”地運(yùn)用知識，開發(fā)自身的學(xué)習(xí)潛能，降低學(xué)習(xí)難度，減輕課業(yè)負(fù)擔(dān).

三、導(dǎo)數(shù)知識在曲線切線問題解答中應(yīng)用的案例分析

在幾何問題中，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)知識進(jìn)行題目的求解，能夠降低難度，簡化求解步驟，增加數(shù)學(xué)解題的效率.一般在幾何問題中，導(dǎo)數(shù)知識主要應(yīng)用在取切線題目中.在切線方程的求解中，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)知識，能夠更好地對坐標(biāo)點(diǎn)進(jìn)行判斷，切線方程的最基本求解方式為：

已知曲線C：y=f（x），曲線經(jīng)過點(diǎn)M（x1，y1），求過點(diǎn)M的切線方程.在切線方程的求解的過程中，應(yīng)用到導(dǎo)數(shù)的概念以及性質(zhì)，在這個問題的求解中，首先，要判斷點(diǎn)M是否在曲線上，需要分類討論，然后，通過導(dǎo)數(shù)f′（x）的基本性質(zhì)來進(jìn)行求解.不論是函數(shù)問題還是曲線、切線的求解問題，都要討論，討論完成后，分別對多種情況的結(jié)果進(jìn)行分析，由此判斷曲線的切線方程.

例3有直線P：x+4y-4=0，有曲線C：y=x4，其中直線P與曲線C的一條切線N相互垂直，求曲線的切線N的方程.

解析根據(jù)題目的要求，了解到在實(shí)際求解的過程中，應(yīng)用到了導(dǎo)數(shù)知識，首先，對題目進(jìn)行分析，題目提供三個條件，分別是x+4y-4=0（直線），y=x4（曲線），切線N（與曲線相切，并與直線垂直），在這些信息中判斷想要提出的條件，求出直線P的斜率，由于P與N垂直，由此求出直線N的斜率，然后求出曲線的導(dǎo)函數(shù)，設(shè)置導(dǎo)函數(shù)的具體值，求出與曲線相切的切點(diǎn)，根據(jù)切線N的斜率與切點(diǎn)坐標(biāo)來共同求切線方程.

求解過程如下：

y=x4的求導(dǎo)結(jié)果為y′=4x3，直線P的斜率為-14，由于P與N垂直，兩者斜率相乘得-1，由此可得切線N的斜率=4，令y′=4x3=4，即可求出x=1，由此能夠得出切線與曲線的切點(diǎn)坐標(biāo)為（1，1），確定了切點(diǎn)的坐標(biāo)與切線的斜率，即可求出切線方程為y=4x-3.

在切線方程的求解過程中，主要是運(yùn)用導(dǎo)數(shù)知識來求解切點(diǎn)，通過切點(diǎn)與斜率共同解決問題，在整個求解過程中，循序漸進(jìn)，上一步的求解為下一步做好鋪墊，通過導(dǎo)數(shù)的突破口，簡化了切線的求解過程，為數(shù)學(xué)解題創(chuàng)造出更多的思路，開闊了數(shù)學(xué)命題的空間.

三、結(jié)語

要想更好地運(yùn)用導(dǎo)數(shù)知識，對導(dǎo)數(shù)的概念、性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，應(yīng)深入理解，提高高中數(shù)學(xué)解題中導(dǎo)數(shù)知識靈活應(yīng)用的能力，簡化高中數(shù)學(xué)函數(shù)解題的程序，提高導(dǎo)數(shù)知識的應(yīng)用水平.

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