如何準(zhǔn)確判斷近似數(shù)與有效數(shù)字

貴州省安順市普定縣馬場中學(xué) 宋座云

一、產(chǎn)生近似數(shù)的主要原因

一是“計算”產(chǎn)生近似數(shù)。如除不盡,有圓周率π參加計算的結(jié)果等；

二是用測量工具測出的量一般都是近似數(shù),如長度、重量、時間等；

三是不容易得到,或不可能得到準(zhǔn)確數(shù)時,只能得到近似數(shù),如人口普查的結(jié)果,就只能是一個近似數(shù)；

四是由于不必要知道準(zhǔn)確數(shù)而產(chǎn)生近似數(shù)。

二、近似數(shù)和有效數(shù)字的有關(guān)概念

近似數(shù)：與實際數(shù)字比較接近,但不完全符合 (比實際數(shù)字略多或略少)的數(shù),稱之為近似數(shù)。對近似數(shù)，人們常需知道他的精確度。一個近似數(shù)的精確度。有兩種表述方式：一是四舍五入法；二是進一和去尾法。在實際問題中，不僅存在大量的準(zhǔn)確數(shù)，同時也存在大量的近似數(shù)，出現(xiàn)近似數(shù)有兩點：一是完全準(zhǔn)確是辦不到的；二是有時是沒有必要的。

有效數(shù)字：一個數(shù)，從左邊第一個不為0的數(shù)字?jǐn)?shù)起，到精確的數(shù)位止，所有的數(shù)字（包括0，科學(xué)計數(shù)法不計10的N次方），稱為有效數(shù)字。簡單的說，把一個數(shù)字前面的0都去掉,從第一個正整數(shù)到精確的數(shù)位止，所有的都是有效數(shù)字了。與實際數(shù)字比較接近,但不完全符合 (比實際數(shù)字略多或略少) 的數(shù),稱之為近似數(shù)。

熟悉精確度的兩種形式，一是精確到哪一位，二是保留幾個有效數(shù)字，它們是不一樣的。精確到哪一位，可以表示出誤差絕對值的大小，如在測量樓的高度時，精確到0.1米，這說明結(jié)果與實際誤差不大于0.05，而有效數(shù)字則可以比較幾個近似數(shù)中哪一個更精確。

三、近似數(shù)的判斷

第一，某些小范圍的可數(shù)的數(shù)據(jù)一般為精確的，其它加上人為因素的一般是近似的，比如，經(jīng)過測量得到的數(shù)據(jù)；

第二，語句中帶有“大約，左右”等詞語，里面出現(xiàn)的數(shù)據(jù)是近似數(shù)。

四、已知一個近似數(shù)如何去判斷其精確度和有效數(shù)字

（一）普通形式的數(shù),這種數(shù)能直接判斷

例1 下列由四舍五入得到的近似數(shù),各精確到哪一位?各有哪幾個有效數(shù)字?

(1)38200 (2)0.040 (3)2 0.05000

分析：對于一個四舍五入得到的近似數(shù),如果是整數(shù),如38200,就精確到個位；如果有一位小數(shù),就精確到十分位；兩位小數(shù),就精確到百分位；象0.040有三位小數(shù)就精確到千分位；象20.05000就精確到十萬分位。有效數(shù)字的個數(shù)應(yīng)按照定義計算。

(1)38200精確到個位,有五個有效數(shù)字3、8、2、0、0。

(2)0.040精確到千分位(即精確到0.001)有兩個有效數(shù)字4、0。

(3)20.05000精確到十萬分位(即精確到0.00001),有七個有效數(shù)字2、0、0、5、0、0、0。

（二） 科學(xué)記數(shù)法表示的近似數(shù)的判斷方法

對于用科學(xué)記數(shù)法表示的近似數(shù)，有效數(shù)字只看“a×10n”前面的部分，在確定其精確到哪一位時，需先將科學(xué)記數(shù)法表示的數(shù)還原成小數(shù)或整數(shù)，再看科學(xué)記數(shù)法中“a”的最右邊的數(shù)字所處的位置，這也就它精確的位數(shù)。對于有效數(shù)字，a里面的每一位數(shù)字都是有效數(shù)字。

例2下列用科學(xué)記數(shù)法表示的近似數(shù)，各精確到哪一位，有幾個有效數(shù)字？

①1.78×105；②2.50×102

解①1.78×105=178000,8在千位上，所以精確到千位，有效數(shù)字是1、7、8、三個。

②2.50×102=250,0在個位上，所以精確到個位，有效數(shù)字是2、5、0三個。

（三）帶文字單位數(shù)的判斷方法

例3下列由四舍五入得到的近似數(shù),各精確到哪一位?各有幾個有效數(shù)字?

(1)70萬 (2)9.03萬 (3)1.8億

分析：因為這四個數(shù)都是近似數(shù),所以

(1)的有效數(shù)字是2個：7、0,0不是個位,而是“萬”位；

(2)的有效數(shù)字是3個：9、0、3,3不是百分位,而是“百”位；

(3)的有效數(shù)字是2個：1、8,8不是十分位,而是“千萬”位；

解：

(1)70萬. 精確到萬位,有2個有效數(shù)字7、0；

(2)9.03萬.精確到百位,有3個有效數(shù)字9、0、3；

(3)1.8億.精確到千萬位,有2個有效數(shù)字1、8；

五、如何根據(jù)要求取近似值

（一）小于10的數(shù)

如 用四舍五入法,按括號里的要求對下列各數(shù)取近似值。

(1)1.5982(精確到0.01)

(2)0.03049(保留兩個有效數(shù)字)

分析：四舍五入是指要精確到的那一位后面緊跟的一位,如果比5小則舍,如果比5大或等于5則進1,與再后面各位數(shù)字的大小無關(guān)。

(1)1.5982要精確到0.01即百分位,只看它后面的一位即千分位的數(shù)字,是8＞5,應(yīng)當(dāng)進1,所以近似值為1.60。

(2)0.03049保留兩個有效數(shù)字,3左邊的0不算,從3開始,兩個有效數(shù)字是3、0,再看第三個數(shù)字是4＜5,應(yīng)當(dāng)舍,所以近似值為0.030。

（二）大于10的數(shù)

用四舍五入法,按括號里的要求對下列各數(shù)取近似值,并說出它的精確度(或有效數(shù)字)。

(1)26074(精確到千位)

(2)7049(保留2個有效數(shù)字)

(3)26074000000(精確到億位)(4)704.9(保留3個有效數(shù)字)

分析：根據(jù)題目的要求：

(1)26074≈26000；

(2)7049≈7000

(3)26074000000≈26100000000(4)704.9≈705

(1)、(2)、(3)題的近似值中看不出它們的精確度,所以必須用科學(xué)記數(shù)法表示。(1)26074=2.6074×104≈2.6×104,精確到千位,有2個有效數(shù)字2、6。(2)7049=7.049×103≈7.0×103,精確到百位,有兩個有效數(shù)字7、0。

(3)26074000000=2.6074×1010≈2.61×1010,精確到億位,有三個有效數(shù)字2、6、1。

(4)704.9≈705,精確到個位,有三個有效數(shù)字7、0、5。

六、注意區(qū)別，以防誤區(qū)

（1）近似數(shù)最前面的數(shù)0，不能當(dāng)做有效數(shù)字。

（2）近似數(shù)最后面的數(shù)0，不能隨便省略。