集合及其運(yùn)算

楊宇++高保中

核心知識(shí)概述

1. 集合的特征：確定性、互異性、無(wú)序性.

2. 集合與集合之間的關(guān)系：A?B，AB，A=B. 注意：空集是任何非空集合的真子集.

3. 集合的三種運(yùn)算：交、并、補(bǔ).

4. 集合的基本性質(zhì)：（1）A∩A=A；（2）A∪A=A；（3）A∩B=B∩A；（4）A∪B=B∪A；（5）（A∩B）∩C=A∩（B∩C）；（6）（A∪B）∪C=A∪（B∪C）；（7）A∩?=?；（8）A∪?=A；（9）?U（?UA）=A；（10）?U（A∪B）=（?UA）∩（?UB）；（11）?U（A∩B）=（?UA）∪（?UB）.

解題中的三大注意點(diǎn)

1. 理解集合的內(nèi)涵與外延——理清元素的屬性

在用描述法表示的集合中，要根據(jù)代表元的特征，理清元素的屬性，準(zhǔn)確把握集合的外延（是哪些元素組成的集合）. 如[{x|y=lgx}]，[{y|y=lgx}]，[{（x，y）|y=lgx}]表示的集合互不相同；而[{x|x2-2x-3=0}]與[{t|t2-2t-3=0}]表示相同的集合（代表元的含義相同）.

例1 已知集合M={x|x=[k2+14，k∈Z]}，N={x|x=[k4+12，k∈Z]}，若x0∈M，則x0與N的關(guān)系是（ ）

A. [x0∈N] B. [x0?N]

C. [x0∈N]或[x0?N] D. 不能確定

解析 M={x|x[=2k+14，]k∈Z}，N={x|x[=k+24，]k∈Z}，

∵2k+1（k∈Z）是一個(gè)奇數(shù)，k+2（k∈Z）是一個(gè)整數(shù)，∴x0∈M時(shí)，一定有[x0∈N].

答案 A

解讀 本題還可以列舉兩個(gè)集合的部分元素，找出規(guī)律，發(fā)現(xiàn)它們之間的關(guān)系.

2. 時(shí)刻關(guān)注互異性

互異性是集合元素的重要特征，在解題中要時(shí)刻提高警惕，以防掉入“陷阱”.

例2 已知集合A是由0，m，m2-3m+2三個(gè)元素組成的集合，且[2∈A]，則實(shí)數(shù)m的值為（ ）

A. 2 B. 3

C. 0或3 D. 0，2，3均可

解析 由2∈A可知：若m=2，則m2-3m+2=0，這與m2-3m+2≠0相矛盾；若m2-3m+2=2，則m=0，或m=3. 當(dāng)m=0時(shí)，與m≠0相矛盾；當(dāng)m=3時(shí)，此時(shí)集合A={0，3，2}，符合題意.

答案 B

解讀 此類(lèi)問(wèn)題在求出集合中的參數(shù)后，要代入檢驗(yàn)，看集合中的元素是否滿(mǎn)足互異性.

3. 不能忘記空集——空集是任何集合的子集

式子[B?A]的含義有：[B=?]，[B][A]和[B=A]. 當(dāng)題目中出現(xiàn)[B?A]時(shí)，則應(yīng)考慮[B=?]的情形.

例3 已知[A={x|x2-3x+2=0}]，[B={x|ax-2=0}]，且[A∪B=A]，則實(shí)數(shù)[a]組成的集合[C]是 .

誤解 由[x2-3x+2=0]得，[x=]1，或2. 當(dāng)[x=1]時(shí)，[a]=2；當(dāng)[x=2]時(shí)，[a]=1. 故[C={1，2}].

正解 上述解答只注意了[B]為非空集合的情形. 實(shí)際上，[A∪B=A?B?A，]因此[B=][?]時(shí)，仍滿(mǎn)足[A∪B=A]. 當(dāng)[B=][?]時(shí)，[a]=0，符合題意. 故正確答案為[C]={0，1，2}.

例4 已知集合[A={x|x2-3x-10≤0}]，集合[B=][{x|p+1≤x≤2p-1}]，若[B?A]，求實(shí)數(shù)[p]的取值范圍.

錯(cuò)解 由[x2-3x-10≤0]得，[-2≤x≤5]. 欲使[B?A]，只需[-2≤p+1，2p-1≤5.∴-3≤p≤3].

∴[p]的取值范圍是[[-3，3]].

正解 上述解答忽略了[B=?]的情形. 正確解答為：

（1）當(dāng)[B]≠[?]時(shí)，有[p+1≤2p-1，即p≥2]時(shí)，結(jié)合上述解法得，[2≤p≤3].

（2）當(dāng)[B]=[?]時(shí)，即[p+1>2p-1， ∴p<2].

綜合（1）（2）得，[p]的取值范圍是[p≤3].

例5 已知集合[A={x|x2+（m+2）x+1=0，x∈R}]，若[A∩R+]=[?]，求實(shí)數(shù)[m]的取值范圍.

錯(cuò)解 由[A∩R+]=[?]知，方程[x2+（m+2）x+1=0]無(wú)正根. 又由韋達(dá)定理知方程的根不為零且同號(hào)，

故方程只有兩個(gè)負(fù)根，[∴Δ=m+22-4≥0，-m+2<0.]

解得，[m≥0].

正解 上述解法忽視了方程[x2+（m+2）x+1=0]無(wú)實(shí)數(shù)根（即[A]為空集）的情形. 正確解法為：

[Δ=m+22-4≥0，-m+2<0，]或[△=（m+2）2-4<0].

解得，[m≥0]，或[-4

綜合得，[m>-4]即為所求.

解題中的三大輔助工具

在解決有關(guān)集合運(yùn)算的問(wèn)題中，若能充分利用數(shù)軸、坐標(biāo)系、Venn圖，則能使問(wèn)題的解決簡(jiǎn)捷明快.

1. 借助數(shù)軸處理數(shù)集運(yùn)算問(wèn)題

例6 設(shè)[A={x|-21}]，[B={x|x2+ax][+b≤0}]，已知[A∪B={x|x>-2}]，[A∩B={x|1

解析 如圖，當(dāng)且僅當(dāng)[B]覆蓋住集合[{x|-1-2}]，且[A∩B={x|1

解讀 不等式型集合的交集、并集通常可以借助數(shù)軸來(lái)解，解題時(shí)注意驗(yàn)證區(qū)間端點(diǎn)是否符合題意.

2. 借助平面圖形、圖象

例7 已知集合[A={（x，y）|y≥|x-1|}，][B=][{（x，y）|y≤-|x|+a}，][A∩B≠?]，求實(shí)數(shù)[a]的取值范圍.

解析 設(shè)[f（x）=x-1，g（x）=-x+a]，作出兩函數(shù)圖象（如圖），則集合[A]表示在函數(shù)[y=f（x）]圖象上方的點(diǎn)的集合，集合[B]表示在函數(shù)[y=g（x）]圖象下方的點(diǎn)的集合.要使[A?B≠?]，由圖象易知[a≥1]，所以實(shí)數(shù)[a]的取值范圍是[[1，+∞）].

解讀 一般地，在平面直角坐標(biāo)系中，不等式[y>f（x）]表示的區(qū)域?yàn)楹瘮?shù)[y=f（x）]的圖象上方對(duì)應(yīng)的區(qū)域；不等式[y

3. 借助Venn圖

例8 已知全集U={a|a∈N*，且a≤9}，且（?UA）∩B=[{1，9}]，A∩B={2}，（?UA）∩（?UB）={4，6，8}，試確定集合A，B.

解析 由題意得，U={1，2，3，4，5，6，7，8，9}，

又（?UA）∩B={1，9}，A∩B={2}，（?UA）∩（?UB）={4，6，8}，

將它們?cè)赩enn圖上表示出來(lái)（如圖）. 由Venn圖可得，A={2，3，5，7}，B={1，2，9}.

解讀 本題從Venn圖上一目了然. 若采用邏輯的方法推導(dǎo)，運(yùn)算量要大得多.

例9 向50名學(xué)生調(diào)查對(duì)A，B兩事件的態(tài)度，有如下結(jié)果：贊成A的人數(shù)是全體的五分之三，其余的不贊成；贊成B的比贊成A的多3人，其余的不贊成；另外，對(duì)A，B都不贊成的學(xué)生數(shù)比對(duì)A，B都贊成的學(xué)生數(shù)的三分之一多1人. 問(wèn)對(duì)A，B都贊成的學(xué)生和都不贊成的學(xué)生各有多少人？

解析 贊成A的人數(shù)為50×[35]=30，贊成B的人數(shù)為30+3=33（如圖），記50名學(xué)生組成的集合為U，贊成事件A的學(xué)生全體為集合A，贊成事件B的學(xué)生全體為集合B. 設(shè)對(duì)事件A，B都贊成的學(xué)生人數(shù)為x，則對(duì)A，B都不贊成的學(xué)生人數(shù)為[x3]+1，贊成A而不贊成B的人數(shù)為30-x，贊成B而不贊成A的人數(shù)為33-x，依題意，得（30-x）+（33-x）+x+（[x3]+1）=50，解得x=21，所以對(duì)A，B都贊成的同學(xué)有21人，都不贊成的有8人.

解讀 此類(lèi)應(yīng)用問(wèn)題，借助Venn圖，可直觀(guān)、快捷地解決.