輔助線的添加

溫靜

摘 要：平行線是學生接觸比較早的幾何圖形之一，學生對它的性質判定是比較了解的，但在幾何題目的運用解答中往往不容易想到添加平行線來解決問題。利用平行線可以得到角之間的相等或互補的關系，達到轉化的目的，為學生帶來新的解題思路和方法。

關鍵詞：平行線；同位角；內錯角；同旁內角

在新人教版七年級下冊教材第五章相交線與平行線中，我們認識了平行線，學習了平行線的判定及性質，在這個過程中我們發(fā)現(xiàn)可以由兩直線間的特殊位置關系——平行得到三類位置關系角的特殊數(shù)量關系：兩直線平行，同位角、內錯角相等，同旁內角互補。反之，由同位角、內錯角相等或同旁內角互補能得出兩直線平行。這些結論為我們解決一些求角度或角之間的關系之類問題帶來了新的方法和解題思路。

例1：如圖，a∥b，M、N分別在a、b上，P為兩平行線間一點，那么∠1+∠2+∠3等于____________.

解析：雖然本題中有兩平行線，但卻不是由兩平行線形成的同旁內角。因而想到了過點P構造一條與直線a、b平行的射線，這樣又形成的兩組平行線就有效地把∠1、∠2、∠3的關系體現(xiàn)出來，從而解決所求角度和的問題。

過點P作PQ∥b，（把圖中原先的∠2分成了兩個角∠4、∠5）

由題意可得：PQ∥b∥a，∴∠1+∠4=180°，∠5+∠3=180°（三條平行線間的兩組同旁內角互補）

根據(jù)等式的性質，我們就可以得到∠1+∠4+∠5+∠3=360°

即：∠1+∠2+∠3=360°.

由例1這個基本圖形，我們可以繼續(xù)擴展：如圖，a∥b，M、N分別在a、b上，P1，P2，P3，…，Pn為兩平行線間的點，順次連接M、P1、P2、P3、…、Pn、N，形成了（n+2）個角，那么它們的和又有什么規(guī)律呢？

由例1我們可以想到分別過P1，P2，P3，…，Pn作直線a的平行線P1Q1，P2Q2，P3Q3，…，PnQn，從而得出a∥P1Q1∥P2Q2∥P3Q3∥…∥PnQn∥b。每相鄰的兩條平行線間就會形成一組同旁內角，并且它們的和為180°，而所求的（n+2）個角的和就是這些同旁內角的和，由例1的基本圖形發(fā)現(xiàn)，三條平行線形成兩組同旁內角，∠1、∠2、∠3三個角的和是180°的2倍，以此類推，（n+2）條平行線形成了（n+1）組同旁內角，所求的（n+2）個角的和應為180°的（n+1）倍即（n+1）·180°。

例2：已知直線l1∥l2，l3與l1、l2分別交于點A、B，P是直線l3上一點，且不與A、B重合.點E、F分別是l1、l2上一點，且在l3的同側，連接PE，PF.

（1）若點P在A、B之間移動，請說出∠1、∠2、∠3之間的關系，并說明理由。

（2）若點P在A、B兩點的外側移動，請說出∠1、∠2、∠3之間的關系，并說明理由。

解析：（1）點P是兩平行線間的點，有了例1的鋪墊不難想到過點P作直線l1的平行線，從而構造出了兩組內錯角，容易得出∠1、∠2、∠3三個角之間的關系。

過點P作PQ∥l1，（把圖中原先的∠3分成了兩個角∠4、∠5）

由題意可得：PQ∥l1∥l2，∴∠1=∠4，∠5=∠2（三條平行線間的兩組內錯角分別相等）∴∠1+∠2=∠3.

（2）若點P在點A的上方移動，我們仍然可以延續(xù)第（1）問中的做法.過點P作PQ∥l1，（此時PQ與PE、PF形成了新的角∠4、∠5，并且∠5=∠4+∠3）由題意可得：PQ∥l1∥l2，∴∠1=∠4，∠5=∠2（三條平行線間的兩組內錯角分別相等）從而把∠5、∠4、∠3轉化為了∠1、∠2、∠3的關系即∠3=∠2-∠1.

若點P在點B的下方移動，做法類似，如圖，我們容易得出此時∠1、∠2、∠3的關系為：∠3=∠1-∠2.

雖然點P是移動的點，但通過添加平行線，構造出相等的內錯角，達到了轉化的目的，把分散的三個角轉移到了同一點處，使得等量關系一目了然。

例3：如圖所示，已知CD∥EF，∠1+∠2=∠B，試判斷AB與GF的位置關系，并說明理由。

解析：很容易判斷出AB與GF的位置關系應該是平行，而從現(xiàn)有的圖形根據(jù)已知條件來說明結論無從入手，因而想到添加輔助線，圖形中的拐點較多，容易想到作平行線，通過作平行線把看似毫無關系的∠1、∠2、∠B轉化到特殊位置，從而為證明AB與GF平行服務。

AB∥GF

理由如下：延長CD，交GF的延長線于點H，（把平行線作了延伸，從而得到了∠2的同位角∠H，實現(xiàn)了∠2的轉化，∠1+∠2=∠B即∠1+∠H=∠B）

過點C作CM∥AB，可以得出∠B+∠3=180°，又由已知∠1+∠2=∠B從而可得出：∠1+∠2+∠3=180°即∠MCH+∠H=180°，可證CM∥GH，又有CM∥AB，因而AB∥GH，即AB∥GF（平行于同一直線的兩直線平行）。

本題的綜合性較強，添加輔助線的方法也不止一種，而本題中輔助線的添加很好地利用了平行線的性質及判定，達到轉化的目的從而證明結論。

通過對平行線的性質及判定的學習，可以發(fā)現(xiàn)平行線是一個非常好的幾何證明工具，它可以把平行線和角有效地聯(lián)系起來，可以借助平行得出相等關系的角以及互補關系的角，而通過特殊位置的角的相等關系及互補關系我們又可得出平行的位置關系。平行線只是學習平面幾何的開始，相信只要我們用心觀察、體會，我們就可以發(fā)現(xiàn)很多平行線在證明中的用法，同時也為我們學好平面幾何打下良好的基礎。

參考文獻：

[1]宋桂珂.初中數(shù)學輔助線技巧淺略[J].學周刊，2015（6）.

[2]許晶晶.例談輔助線法在經濟生活曲線題中的運用[J].好家長，2015（25）.

編輯 李博寧