古典概型應(yīng)用求解策略

宋揚(yáng)

摘 要：古典概型是概率論的基礎(chǔ)，又有著很高的實用價值，已成為義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)課程的一項重要內(nèi)容.結(jié)合初中數(shù)學(xué)活動課的教學(xué)實踐，通過古典概型應(yīng)用的若干實例，闡述了問題求解的策略、多種方法以及不同方法的具體適用場合，對古典概型的解題規(guī)律做了有益的探究.

關(guān)鍵詞：古典概型；等概基本事件組；有利場合數(shù)；應(yīng)用實例；求解策略；計算方法

古典概型是概率論發(fā)展史上最早被人們認(rèn)識、研究并加以應(yīng)用的概率模型，是一種特殊的數(shù)學(xué)模型.古典概型在概率論中具有相當(dāng)重要的地位，不僅其優(yōu)越性明顯，應(yīng)用廣泛，而且是進(jìn)一步學(xué)習(xí)概率不可或缺的內(nèi)容.

一、學(xué)習(xí)古典概型的重要性

1.有利于理解概率的意義.對于古典概型，頻率的穩(wěn)定性比較容易驗證，也與同學(xué)們已有的生活經(jīng)驗和數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗相吻合，從而概率的存在性和確定性易于領(lǐng)會、理解和接受.

2.可幫助我們直接計算隨機(jī)事件發(fā)生的概率，化解大量重復(fù)試驗帶來的耗時費力的矛盾，避免破壞性試驗造成的損失.也就是說，不需要做任何試驗，只要分析事件的本質(zhì)，確認(rèn)是古典概型，就可以直接計算得到概率的精確值，而且是理論值，它與用統(tǒng)計方法得到的結(jié)論相一致.

3.能夠有效地解決生產(chǎn)、生活和科研中的某一類問題.如抽簽、摸球、搖號、擲骰子、中獎率、次品率、密碼解鎖、公平規(guī)則設(shè)計等.

二、古典概型的概念

1.等概基本事件組

設(shè)A1，A2，…，An是一個事件組，如果它具有下列三條性質(zhì)：

（1）A1，A2，…，An發(fā)生的機(jī)會相同（等可能性）；

（2）在任一次試驗中，A1，A2，…，An至少有一個發(fā)生.也就是除此以外，不可能有別的結(jié)果（完全性）；

（3）在任一次試驗中，A1，A2，…，An至多有一個發(fā)生.也就是說這n個事件是互相排斥的（互不相容性）.

則稱A1，A2，…，An為一個等可能基本事件組，也稱為一個等概基本事件組，其中任一事件Ai（i=1，2，…，n）稱為基本事件.

2.概率的古典定義

如果試驗的所有可能的結(jié)果可以表述為一個等概基本事件組A1，A2，…，An.其中有且僅有m個基本事件包含于隨機(jī)事件J（即當(dāng)且僅當(dāng)這m個事件中任一事件發(fā)生時，事件J發(fā)生），則比值m/n就稱為事件J的概率，記作P（J）=m/n.其中，n是基本事件的總數(shù)，m是事件J所包含的基本事件數(shù)，通常叫做事件J的有利場合數(shù)，或有利結(jié)果數(shù).

3.古典概型及其計算公式

可以根據(jù)概率的古典定義來計算隨機(jī)事件的概率，這樣的概率模型稱為古典概型.

P（J）=m/n是概率古典定義的核心內(nèi)容，它給出了古典概型中隨機(jī)事件的概率計算公式.

三、求解方法與策略

1.古典概型的確認(rèn).對所要解決的問題，首先要確定是不是屬于古典概型？這主要根據(jù)古典概型的兩個基本特征，即試驗結(jié)果是否具有有限性和等可能性.

2.判定等可能性的常用依據(jù).

（1）客觀對稱性（如拋擲硬幣、擲骰子等試驗）；

（2）某種均衡性（如摸球、抽簽等試驗）.

3.考察等概基本事件組.

等概基本事件組是與古典概型相互印證的，也是概率計算的第一步.對某些問題，等概基本事件組不是唯一的，可供選擇.一般情況下，其基本事件的總數(shù)越少，求解越為簡便.

4.按照古典概型中隨機(jī)事件的概率計算公式，先求分母和分子，再求比值，即得所求概率.分母是等概基本事件組中基本事件的總數(shù)，分子是相應(yīng)事件所包含的基本事件數(shù)，即該事件的有利場合數(shù).

5.運用多種方法實施計算.

（1）直接列舉法；（2）表格法；（3）樹狀圖法；（4）根據(jù)乘法原理；（5）根據(jù)排列與組合的基本知識，或兼用乘法原理；（6）根據(jù)概率的運算性質(zhì).

6.不同計算方法的適用場合.

（1）計算簡單隨機(jī)事件的概率，可運用列舉法（包括列表、畫樹狀圖）.當(dāng)試驗結(jié)果顯然或試驗步驟只有1個時，可直接列舉出所有等可能的結(jié)果；當(dāng)試驗步驟只有2個且試驗結(jié)果較少時，表格法和樹狀圖法都是行之有效的；當(dāng)試驗步驟只有2個但試驗結(jié)果較多時，宜選用列表的方法，顯得整體清晰，類別分明，解題便捷.

（2）當(dāng)試驗分為3步（或以上），通常選用樹狀圖法；如果要采用列表法，則需2張（或更多）表格，即分步列表.

（3）義務(wù)教育階段，宜使用列舉法，幫助計算.

（4）初中后階段，可介紹乘法原理，并實施計算.乘法原理通俗易懂，其思想方法與樹狀圖法是一致的.遵循認(rèn)知規(guī)律，所花時間不多，初中學(xué)生很快就能接受并較好地掌握，既可以幫助快捷計算，也可以作為對列舉法的一種驗算或印證，確保列舉的所有等可能結(jié)果既不遺漏，也不重復(fù).

（5）當(dāng)試驗出現(xiàn)的結(jié)果較多時，往往需要運用乘法原理或排列與組合的基本知識加以計算.

（6）隨著概率知識的進(jìn)一步學(xué)習(xí)和加深，運用概率的運算性質(zhì)進(jìn)行計算，常常會收到更好的效果.

7.轉(zhuǎn)化（化歸）策略舉例.

（1）編號.例如，在摸球試驗中，通常將彩色球編號，目的是創(chuàng)設(shè)等可能性.

（2）等分.例如，在轉(zhuǎn)盤問題上，通常將轉(zhuǎn)盤作等分、涂色處理，就是把無限轉(zhuǎn)化為有限，從而歸結(jié)為古典概型來求解.

8.對比策略舉例.

（1）放回與不放回，或稱有放回與無放回.例如，在摸球試驗中常有這兩種不同的情形，注意到這二者之間的聯(lián)系與區(qū)別，對比在使用表格時各自呈現(xiàn)的特點，從而掌握其規(guī)律.抽簽方法指的是不放回的情形.

（2）有序與無序，也就是考慮順序與不考慮順序.對某些問題，必須考慮順序；而對有些問題，兩種方法都能使用.注意這二者之間的聯(lián)系與區(qū)別.

（3）比照.這里是指通過對問題實質(zhì)的分析，能否與一些常見的實用類型等同看待.例如，某些實際問題可以比照為摸球問題，某些實際問題可比照為抽簽問題，等等.問題的實質(zhì)相同，解決問題的思想方法也相同.

四、應(yīng)用實例與一題多解

文中解題過程，在使用排列數(shù)或組合數(shù)符號計算的等號后面，緊接著寫出了詳細(xì)數(shù)字，是為了看清楚，讓初中學(xué)生在還沒有學(xué)習(xí)排列與組合知識的情況下，能運用乘法原理有效實施計算.為書寫簡潔起見，同一題中的同一隨機(jī)事件除首次出現(xiàn)外，均用J表示.

例1.經(jīng)典分金幣問題.傳說，17世紀(jì)中葉，法國貴族公子梅雷參加賭博，和賭友各押賭注32枚金幣.雙方約定：拋擲1枚質(zhì)地均勻的硬幣，正面朝上，梅雷得1分；反面朝上，賭友得1分，先積滿10分者贏全部賭注.賭博進(jìn)行了一段時間，梅雷已得8分，賭友得7分.這時，梅雷接到通知，要他馬上陪國王接見外賓，賭局只好中止.于是，產(chǎn)生了一個問題，應(yīng)該怎樣分配這64枚金幣才算公平合理？這就是歷史上著名的“分賭注”問題.

解：假設(shè)賭局繼續(xù)，那么最多再拋擲硬幣4次，就可以分出輸贏.不妨用m表示梅雷積1分，用d表示賭友積1分，運用樹狀圖法可得所有等可能的結(jié)果共有16種，其中，梅雷先積滿10分的有利場合數(shù)為11，賭友先積滿10分的有利場合數(shù)為5.所以P（梅雷贏）=；P（賭友贏）=.于是梅雷應(yīng)分得64×=44（枚）金幣，賭友應(yīng)分得64×=20（枚）金幣.

參考文獻(xiàn)：

[1]楊裕前，董林偉.等可能條件下的概率[M].南京：江蘇鳳凰科學(xué)技術(shù)出版社，2016.

[2]陳家鼎，劉婉如，汪仁官.古典概型，概率統(tǒng)計講義（第二版）[M].北京：高等教育出版社，1998.

編輯 趙飛飛