“再探冪的運(yùn)算”教學(xué)設(shè)計(jì)

【摘 要】“生長(zhǎng)數(shù)學(xué)”倡導(dǎo)要讓學(xué)生學(xué)到具有生長(zhǎng)力的數(shù)學(xué)。讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)為學(xué)生生命成長(zhǎng)助力，讓數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)在促進(jìn)學(xué)生生命成長(zhǎng)的進(jìn)程中發(fā)揮正能量。“再探冪的運(yùn)算”課例以生長(zhǎng)數(shù)學(xué)教學(xué)主張為核心，以“再探冪的運(yùn)算”為教學(xué)載體，自然引入控制變量法來(lái)探究?jī)绲牧N運(yùn)算。教學(xué)活動(dòng)始終堅(jiān)持建數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)、展思維過(guò)程、教探究方法，讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)生長(zhǎng)的過(guò)程，感悟生命成長(zhǎng)的真諦。

【關(guān)鍵詞】?jī)绲倪\(yùn)算；教學(xué)設(shè)計(jì)；控制變量；生長(zhǎng)數(shù)學(xué)

【中圖分類(lèi)號(hào)】G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)志碼】A 【文章編號(hào)】1005-6009（2017）11-0029-04

【作者簡(jiǎn)介】卜以樓，南京市寧海中學(xué)分校（南京，210036）教師，正高級(jí)教師，江蘇省特級(jí)教師。

在2016年江蘇省“教海探航”征文競(jìng)賽頒獎(jiǎng)活動(dòng)中，筆者執(zhí)教了一節(jié)“再探冪的運(yùn)算”的展示課，以下是對(duì)這一教學(xué)內(nèi)容的價(jià)值判斷、行為改進(jìn)及活動(dòng)設(shè)計(jì)的探索和思考。

一、基于教學(xué)內(nèi)容的價(jià)值分析

冪的運(yùn)算性質(zhì)包括：同底數(shù)冪的乘法、同底數(shù)冪的除法、積的乘方、冪的乘方等學(xué)習(xí)內(nèi)容。它通常被安排在整式乘法的前面，但不同版本的教材會(huì)依據(jù)其教材的編寫(xiě)體系被安排在不同的章節(jié)之中。例如，人教版教材，將之安排在八年級(jí)上冊(cè)“第十四章整式的乘法與因式分解”這一章中；北師大版教材，將它安排在七年級(jí)下冊(cè)“第一章整式的乘除”這一章中；浙教版教材，將它安排在七年級(jí)下冊(cè)“第三章整式的乘除”這一章中；上科版教材，將之安排在七年級(jí)下冊(cè)“第三章整式的乘法與因式分解”一章中；而蘇科版教材，則將這一教學(xué)內(nèi)容單獨(dú)成章，安排在七年級(jí)下冊(cè)“第八章冪的運(yùn)算”中。將它與整式的乘除以及因式分解混排，是想突出其內(nèi)容的基礎(chǔ)性和工具性；將之單獨(dú)成章，則是體現(xiàn)其在運(yùn)算中的重要性和自洽性。這種各具特色的編排價(jià)值已被教師開(kāi)發(fā)得淋漓盡致。那么，“冪的運(yùn)算”這一教學(xué)內(nèi)容，它還具有怎樣的教學(xué)價(jià)值呢？

1.讓冪的運(yùn)算性質(zhì)在運(yùn)算結(jié)構(gòu)中必然生長(zhǎng)。

各個(gè)教材中只安排了am·an=am+n、am÷an=am-n、（ab）n=anbn、（am）n=amn這四種冪的運(yùn)算性質(zhì)，而這四種運(yùn)算性質(zhì)還不足以說(shuō)明對(duì)“冪”這種特殊的對(duì)象作了運(yùn)算，至少說(shuō)還沒(méi)有對(duì)冪作全面的運(yùn)算。至于為什么只研究這四種運(yùn)算，學(xué)生更是霧里看花，懵懵懂懂，知其然而不知其所以然。這個(gè)問(wèn)題的形成，是由冪的運(yùn)算在整個(gè)運(yùn)算體系中的地位和作用所決定的。因?yàn)橛辛诉@四種冪的運(yùn)算性質(zhì)，在“數(shù)與式的運(yùn)算”這個(gè)大結(jié)構(gòu)中就夠用了，不需要再研究?jī)绲钠渌\(yùn)算了。

如果我們不囿于上述實(shí)用性的限制，從“冪的運(yùn)算”這個(gè)角度上去看待問(wèn)題、研究問(wèn)題、解決問(wèn)題，那么在七年級(jí)下學(xué)期時(shí)，就要研究?jī)绲募臃āp法、乘法、除法和乘方這五種運(yùn)算，在八年級(jí)上學(xué)期時(shí)，如果學(xué)過(guò)開(kāi)方運(yùn)算，除了要研究上述五種運(yùn)算外，還要研究?jī)绲牡诹N運(yùn)算——開(kāi)方運(yùn)算。至于到九年級(jí)，就更有必要研究?jī)绲募?、減、乘、除、乘方、開(kāi)方運(yùn)算了。為此，在這次展示活動(dòng)，筆者選擇了“再探冪的運(yùn)算”這一教學(xué)內(nèi)容，就是基于“運(yùn)算”這個(gè)大系統(tǒng)對(duì)冪的運(yùn)算作一個(gè)全面的研究，讓冪的運(yùn)算在數(shù)與式的運(yùn)算結(jié)構(gòu)下自然地生長(zhǎng)并和數(shù)與式的運(yùn)算自洽。

2.讓學(xué)生的真實(shí)思維在探究活動(dòng)中自然發(fā)展。

數(shù)學(xué)教學(xué)的價(jià)值在于發(fā)展學(xué)生的思維。學(xué)生的思維是指學(xué)生的真實(shí)思維，不是教師強(qiáng)加給學(xué)生的思維。學(xué)生的真實(shí)思維在探究活動(dòng)中發(fā)展了，學(xué)生的學(xué)習(xí)才算是真正發(fā)生，否則訓(xùn)練與發(fā)展學(xué)生的思維能力將成為一句空話(huà)。當(dāng)然，學(xué)生的思維需要教師的引領(lǐng)和激發(fā)，這種引領(lǐng)和激發(fā)，不是教師告訴學(xué)生應(yīng)該做什么、怎樣做，而是教師要營(yíng)造一種“思維場(chǎng)”，讓學(xué)生在這種“思維場(chǎng)”中，自主地、自發(fā)地形成“思維流”。這種“思維流”不是盲目的、漫無(wú)邊際的，而是明確的、有具體指向的，能夠直面問(wèn)題、自發(fā)地產(chǎn)生解決問(wèn)題策略或方法。這種策略方法是基于過(guò)去學(xué)習(xí)過(guò)程中的經(jīng)驗(yàn)，又不完全是以往經(jīng)驗(yàn)的簡(jiǎn)單提取，而是在傳承中有那么一些創(chuàng)新和發(fā)展，學(xué)生在這種探究活動(dòng)中，有那么一點(diǎn)沖動(dòng)產(chǎn)生的愉悅與快感。在這種“思維場(chǎng)”中產(chǎn)生“思維流”，學(xué)生的思維才算是自然地發(fā)展、真正地生長(zhǎng)，這就是數(shù)學(xué)教學(xué)給予學(xué)生生命成長(zhǎng)的正能量，也是數(shù)學(xué)教育人應(yīng)該追求的教育情懷。

回歸到冪的運(yùn)算這一教學(xué)內(nèi)容，筆者選擇了九年級(jí)學(xué)生作為探究活動(dòng)的主體，一是讓冪這個(gè)特殊對(duì)象能夠在實(shí)數(shù)系中全面實(shí)施加、減、乘、除、乘方、開(kāi)方這六種運(yùn)算；二是此時(shí)的九年級(jí)學(xué)生具備了探究?jī)绲牧N運(yùn)算的基礎(chǔ)知識(shí)與基本的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)；三是此時(shí)讓冪的開(kāi)方運(yùn)算與其他已研究過(guò)的五種運(yùn)算同時(shí)登臺(tái)，不僅可以開(kāi)闊學(xué)生的運(yùn)算視野，而且可以使教學(xué)效率最大化，因?yàn)樗献罱l(fā)展區(qū)原理，學(xué)生還能在此探究過(guò)程中體會(huì)前后一致、邏輯連貫、一以貫之的生長(zhǎng)方略。正因?yàn)榇?，筆者把本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容定位為“再探冪的運(yùn)算”，以表示與以往學(xué)習(xí)的冪的運(yùn)算的區(qū)別。“再探”的含義，就是讓學(xué)生用結(jié)構(gòu)的觀點(diǎn)，讓課本中的四個(gè)運(yùn)算性質(zhì)，上通冪的加減法，下達(dá)開(kāi)方運(yùn)算，讓學(xué)生在一個(gè)適宜的結(jié)構(gòu)中生長(zhǎng)、在一個(gè)完整的體系中成長(zhǎng)。

所要注意的是，冪的開(kāi)方運(yùn)算，《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》沒(méi)作要求，所以對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)，這是一個(gè)全新的認(rèn)知過(guò)程。因此，探究活動(dòng)要放慢節(jié)奏，靜待花開(kāi)。

3.讓控制變量法在策略把握中應(yīng)然產(chǎn)生。

通過(guò)上述的價(jià)值判斷，我們基本上確定了冪的運(yùn)算的生長(zhǎng)空間。生長(zhǎng)空間確定以后，選擇什么樣的方法來(lái)探究?jī)绲倪\(yùn)算就成了關(guān)鍵的要素。由于任何一個(gè)冪am，要受底數(shù)a與指數(shù)m這兩個(gè)變量的影響，所以，冪的運(yùn)算勢(shì)必也要受到這兩個(gè)因素的影響。如何研究受多因素影響的問(wèn)題，控制變量法就自然成了本探究活動(dòng)的應(yīng)然選擇。

控制變量法，學(xué)生在初二物理、生物及初三物理、化學(xué)中都有過(guò)接觸，但那僅限于這三門(mén)學(xué)科。把這種方法運(yùn)用到數(shù)學(xué)探究中，《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》沒(méi)有要求，各種版本的教材中也沒(méi)有體現(xiàn)，各種資料及網(wǎng)絡(luò)資源也不多見(jiàn)?？梢哉J(rèn)為，把它運(yùn)用在數(shù)學(xué)上解決問(wèn)題，對(duì)于大部分學(xué)生還是第一次。筆者在這里將之用來(lái)探究?jī)绲倪\(yùn)算主要是基于下面三個(gè)方面的思考。

一是控制變量法既是一種方法，也是一種方法論。它是研究受多因素影響問(wèn)題的通性通法，并在其他學(xué)科中顯示出強(qiáng)大的生命力，已成為研究該類(lèi)問(wèn)題的一般科學(xué)素養(yǎng)。從這個(gè)意義上說(shuō)，數(shù)學(xué)學(xué)科也沒(méi)必要受課程標(biāo)準(zhǔn)、教材的約束，而要從學(xué)生終身素養(yǎng)的角度上去提高認(rèn)識(shí)，以發(fā)揮控制變量法的正能量。

二是將控制變量遷移到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，可提高學(xué)生學(xué)習(xí)科學(xué)方法的興趣，也能提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。當(dāng)學(xué)生認(rèn)識(shí)到這種方法在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)上會(huì)產(chǎn)生與其他學(xué)科一樣的特效時(shí)，體會(huì)到數(shù)學(xué)在某種程度上與物理、化學(xué)、生物等學(xué)科是“一伙的”時(shí)，頓失對(duì)數(shù)學(xué)的畏懼，轉(zhuǎn)之會(huì)對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生一種親近感。

三是將控制變量法運(yùn)用進(jìn)來(lái)，又不僅僅局限于這一個(gè)探究活動(dòng)中，還有很多的數(shù)學(xué)探究活動(dòng)會(huì)用到。這樣，這種方法就會(huì)在數(shù)學(xué)學(xué)科中播下種子，扎下根，發(fā)生芽，長(zhǎng)成樹(shù)，結(jié)出果，并將形成一種素養(yǎng)，伴隨學(xué)生終生。

二、基于價(jià)值分析的行為改進(jìn)

基于上述的價(jià)值分析，結(jié)合筆者生長(zhǎng)數(shù)學(xué)的教學(xué)主張，教師的教學(xué)行為要作以下三個(gè)方面的改進(jìn)。

1.在結(jié)構(gòu)上做文章，以實(shí)施整體地教。

價(jià)值分析告訴我們，這是個(gè)高水平下的結(jié)構(gòu)教學(xué)。本節(jié)課的教學(xué)要促進(jìn)學(xué)生從整體上把握數(shù)學(xué)知識(shí)、方法和觀念，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的整體意識(shí)和結(jié)構(gòu)意識(shí)。只有這樣，才能使學(xué)生把已掌握的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)提高到簡(jiǎn)潔的原理性結(jié)構(gòu)上去，從而有效抵制碎片化知識(shí)的不良傾向。為此，教師要在問(wèn)題的方向性上多做文章，教學(xué)中要先提大問(wèn)題，再提小問(wèn)題，讓學(xué)生從運(yùn)算的結(jié)構(gòu)上把握探究的方法。

2.在探究上下功夫，以實(shí)施有序地教。

價(jià)值分析還告訴我們，這是個(gè)高立意下的探究教學(xué)。探究性教學(xué)就是要讓學(xué)生對(duì)教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行自主學(xué)習(xí)、深入探究，并進(jìn)行小組合作交流，從而激發(fā)學(xué)生探究欲望，培養(yǎng)學(xué)生的探究素養(yǎng)。探究貴在讓學(xué)生自主，輔之以必要的幫與扶。為此，教師要理解學(xué)生思維的方向與層次，把握學(xué)生思維的困難與疑惑。在探究過(guò)程中，真正做到既不錯(cuò)位，也不失位，讓幫扶有序、有度、有效。

3.在生長(zhǎng)上花氣力，以實(shí)施本真地教。

價(jià)值分析又告訴我們，這是個(gè)高觀點(diǎn)下的過(guò)程教學(xué)。“再探冪的運(yùn)算”過(guò)程是一個(gè)建立在逐級(jí)運(yùn)算基礎(chǔ)上自然生長(zhǎng)的過(guò)程，它與學(xué)生成長(zhǎng)的過(guò)程相似，是一個(gè)由內(nèi)向外生命迸發(fā)數(shù)學(xué)力量的過(guò)程。它也是學(xué)生逐步領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想方法、體驗(yàn)控制變量魅力、感受數(shù)學(xué)思維的美妙、養(yǎng)成良好學(xué)習(xí)習(xí)慣、培養(yǎng)創(chuàng)新實(shí)踐能力的過(guò)程。在這一過(guò)程中，教師要有靜氣，要讓本真的氣息自然地潤(rùn)澤到探究過(guò)程之中、思維過(guò)程之中、感悟過(guò)程之中，以此讓學(xué)生體悟數(shù)學(xué)生長(zhǎng)的意義，感悟生命成長(zhǎng)的境界。

三、基于行為改進(jìn)的教學(xué)活動(dòng)

基于上述教學(xué)價(jià)值的分析和教學(xué)行為的定位，結(jié)合教學(xué)內(nèi)容內(nèi)在意蘊(yùn)的特質(zhì)，可建構(gòu)如下教學(xué)活動(dòng)來(lái)再探冪的運(yùn)算。

活動(dòng)1：同學(xué)們，我們?cè)诎四昙?jí)上冊(cè)學(xué)習(xí)了“冪的運(yùn)算”（教師板書(shū)：冪的運(yùn)算），從“冪的運(yùn)算”這個(gè)課題上看，要研究什么問(wèn)題？研究的對(duì)象是什么？研究的內(nèi)容又是什么？

【設(shè)計(jì)意圖】從人教版八年級(jí)學(xué)過(guò)的“冪的運(yùn)算”這個(gè)熟悉的內(nèi)容引入課題，并通過(guò)問(wèn)題追問(wèn)的形式，引發(fā)學(xué)生從運(yùn)算結(jié)構(gòu)上作新的思考，而不僅是重復(fù)以前學(xué)習(xí)過(guò)的幾個(gè)冪的運(yùn)算性質(zhì)。

【生成效果】學(xué)生通過(guò)審題都能明白，冪的運(yùn)算就是要研究?jī)绲募臃āp法、乘法、除法、乘方、開(kāi)方這六種運(yùn)算。

活動(dòng)2：怎樣進(jìn)行冪的加法運(yùn)算？

【設(shè)計(jì)意圖】一是讓學(xué)生將冪的加法形式化為am+bn=？便于研究；二是如何研究am+bn=？，這需要一定的研究智慧。由于任何一個(gè)冪都受底數(shù)與指數(shù)這兩個(gè)變量影響，所以它是一個(gè)多變量問(wèn)題，因此可用控制變量的方法來(lái)研究。

【生成效果】學(xué)生此時(shí)都可以認(rèn)識(shí)到：可以控制am與bn這兩個(gè)冪的底數(shù)一樣，那么am+bn=？就變成了am+an=？的問(wèn)題，這個(gè)問(wèn)題還是不能直接計(jì)算；再控制am與bn這兩個(gè)冪的指數(shù)一樣，那么am+bn=？就變成了am+bm=？的問(wèn)題，這個(gè)問(wèn)題也不能直接計(jì)算；最后控制am與bn這兩個(gè)冪的底數(shù)、指數(shù)都一樣，那么am+bn=？就變成了am+am=？的問(wèn)題，這個(gè)問(wèn)題也就是一個(gè)合并同類(lèi)項(xiàng)的問(wèn)題，至此結(jié)束冪的加法研究。

活動(dòng)3：怎樣進(jìn)行冪的減法運(yùn)算？

【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生根據(jù)減法是加法的逆運(yùn)算來(lái)研究?jī)绲臏p法。

【生成效果】在實(shí)際教學(xué)中，上述設(shè)計(jì)意圖學(xué)生不能領(lǐng)會(huì)。他們還是用控制變量的方法將減法重新研究一遍。此時(shí)，可追問(wèn)學(xué)生：用這種方法研究?jī)绲臏p法還有創(chuàng)新的成分嗎？如果沒(méi)有，你還有其他的方法來(lái)研究它嗎？引導(dǎo)學(xué)生用逆運(yùn)算來(lái)解決問(wèn)題。

活動(dòng)4：怎樣進(jìn)行冪的乘法運(yùn)算？

【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生仍用控制變量的方法來(lái)研究。

【生成效果】如果控制am與bn這兩個(gè)冪的底數(shù)一樣，那么am·bn=？就變成了am·an=？的問(wèn)題，這個(gè)問(wèn)題就是過(guò)去研究過(guò)的同底數(shù)冪相乘的性質(zhì)，即am·am=am+m。

如果控制am與bn這兩個(gè)冪的指數(shù)一樣，那么可得“an·bn=（ab）n”，即得（ab）n=anbn，這就是積的乘方的性質(zhì)。

如果控制am與bn這兩個(gè)冪的底數(shù)、指數(shù)都一樣，那么am·bn=？就變成了am·am=am+m=a2m，或變成了am·am=（am）2=a2m的問(wèn)題，這就是冪的乘方的特殊情況了。

讓學(xué)生在此與am·an=am+n、（ab）n=anbn相逢，學(xué)生的思維體驗(yàn)必有另一番滋味！

活動(dòng)5：怎樣進(jìn)行冪的除法運(yùn)算？

【設(shè)計(jì)意圖】同問(wèn)題3的設(shè)計(jì)意圖，主要從逆運(yùn)算中去研究問(wèn)題。

【生成效果】由于在問(wèn)題3中矯正了研究減法的思路，所以，這時(shí)學(xué)生都能用逆運(yùn)算來(lái)研究?jī)绲某恕?/p>

當(dāng)控制底數(shù)相同時(shí)，即am÷an=？，就是要使得（？）·an=am，顯然am÷an=am-n，這就可得同底數(shù)除法的性質(zhì)。

當(dāng)控制指數(shù)相同時(shí)，am÷bm=

m，這與積的乘方性質(zhì)一脈相承。

至于控制底數(shù)、指數(shù)都相同時(shí)，就是一個(gè)最簡(jiǎn)單的除法運(yùn)算，在這里就沒(méi)有什么特別研究的價(jià)值了。

活動(dòng)6：怎樣進(jìn)行冪的乘方運(yùn)算？

【設(shè)計(jì)意圖】主要解決（am）n=？的問(wèn)題，即研究（am）n=amn。

【生成效果】上課時(shí)這個(gè)問(wèn)題對(duì)學(xué)生已毫無(wú)障礙了。

活動(dòng)7：怎樣進(jìn)行冪的開(kāi)方運(yùn)算？

【設(shè)計(jì)意圖】傳承用逆運(yùn)算研究的經(jīng)驗(yàn)來(lái)解決一個(gè)全新的問(wèn)題，發(fā)展遷移能力。主要解決=？的問(wèn)題。

【生成效果】解決=？的問(wèn)題，就是要解決（？）2·=am，則有=a；同理=a；……=a。

活動(dòng)8：今天我們用什么方法進(jìn)行了“再探冪的運(yùn)算”之旅的？（板書(shū)：在“冪的運(yùn)算”前面加上“再探”二字，以揭示本課的“再探索冪的運(yùn)算”這個(gè)核心課題）你有什么收獲？

【設(shè)計(jì)意圖】回顧探究之旅，體會(huì)控制變量之妙。

【生成效果】學(xué)生都能感悟到控制變量在數(shù)學(xué)上的絕妙之筆，既為控制變量法打開(kāi)了另一條通道，也為研究一個(gè)課題提供了范式。

活動(dòng)9：例題選講。

例1.如果a3a-1=1，求a的值。

例2.如果2m=n2（m、n為正整數(shù)）。

（1）請(qǐng)找出一對(duì)滿(mǎn)足條件的m、n的值；

（2）滿(mǎn)足條件的m、n的值有多少對(duì)？為什么？

例3.如果2m=8m-6，求m的值。

【設(shè)計(jì)意圖】將控制變量法遷移到具體數(shù)學(xué)題的解題上來(lái)，讓學(xué)生有較強(qiáng)的獲得感。

【生成效果】學(xué)生已能大膽嘗試控制變量的方法，為解數(shù)學(xué)題又打開(kāi)了一條通道。

注：本課例設(shè)計(jì)得到南京市雨花區(qū)教師進(jìn)修學(xué)校劉春書(shū)老師的幫助，特表鳴謝。

【參考文獻(xiàn)】

卜以樓.讓復(fù)習(xí)課留下一串串生長(zhǎng)節(jié)——“冪的運(yùn)算”的小結(jié)與思考教學(xué)實(shí)錄與反思[J].中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2011（11）.