用熱力學(xué)理論深入剖析偏微分方程中初始條件和邊界條件的“如影隨行”

胡乃榕

【摘要】本文利用熱力學(xué)理論，深入剖析偏微分方程的本質(zhì)。由于物體內(nèi)部溫度的分布和變化方式的不同，為了確定其具體的物理狀態(tài)，不僅要考慮熱傳導(dǎo)規(guī)律，還要增加其他附加條件，即初始條件和邊界條件。微分方程描述了一個(gè)隨時(shí)間變化而不斷演化的動(dòng)態(tài)過(guò)程，而初始和邊界條件則描述了在某個(gè)特定時(shí)間點(diǎn)該過(guò)程的幾種確定的存在狀態(tài)，捕捉到這些特殊時(shí)刻的狀態(tài)，既能保證解的存在，又能使解達(dá)到最優(yōu)。

【關(guān)鍵詞】偏微分方程 初始條件 邊界條件 熱力學(xué)理論

如果一個(gè)微分方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)只含有一個(gè)自變量，這個(gè)方程叫做常微分方程或簡(jiǎn)稱(chēng)微分方程；如果一個(gè)微分方程中出現(xiàn)多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)，或者說(shuō)未知函數(shù)和幾個(gè)變量有關(guān)，那么這種微分方程就是偏微分方程。

偏微分方程研究一個(gè)方程（組）是否有滿足某些補(bǔ)充條件的解（解的存在性），有多少個(gè)解，解的各種性質(zhì)以及求解方法等等，并且還要盡可能地用偏微分方程來(lái)解釋和預(yù)見(jiàn)自然現(xiàn)象以及如何把它用之于各門(mén)科學(xué)和工程技術(shù)。

物理學(xué)中的“熱傳導(dǎo)”現(xiàn)象，可以用偏微分方程的形式來(lái)描述。由于物體內(nèi)部的溫度分布和變化方式的不同，為了確定具體的物理狀態(tài)，不僅僅考慮熱傳導(dǎo)規(guī)律，還要增加其他附加條件，即初始條件和邊界條件。

偏微分方程描述了一個(gè)隨著時(shí)間變化而不斷演化的動(dòng)態(tài)過(guò)程，而初始和邊界條件描述物體在某個(gè)特定的時(shí)間點(diǎn)的確定的存在狀態(tài)。

一、利用熱力學(xué)理論，揭示偏微分方程的物理學(xué)本質(zhì)

根據(jù)我們?nèi)粘Ｉ畹慕?jīng)驗(yàn)，可以知道當(dāng)物體內(nèi)部各處的溫度不同的時(shí)候，熱量就會(huì)從溫度高處向溫度低處傳遞，這種現(xiàn)象被稱(chēng)為“熱傳導(dǎo)”現(xiàn)象。

假設(shè)將物體G內(nèi)任意選取一個(gè)由曲面L所構(gòu)成的區(qū)域D，依照熱量守恒定律，D內(nèi)各點(diǎn)的溫度由任意時(shí)刻t1的u（x，y，z，t1）改變?yōu)閠2時(shí)刻的u（x，y，z，t2）所吸收（或釋放）的熱量Q，等同于從t1到t2時(shí)間段內(nèi)通過(guò)L進(jìn)入（或流出）D內(nèi)的熱量Q1和D內(nèi)熱源供應(yīng)的熱量Q2的和。

假設(shè)該物體的比熱是c（x，y，z），密度是ρ（x，y，z），那么溫度從u（x，y，z，t1）提高到u（x，y，z，t2）需求的熱量dQ=cρ[u（x，y，z，t1）-u（x，y，z，t2）]dV

區(qū)域D因?yàn)闇囟茸兓枨蟮臒崃渴牵篞=■cρ[u（x，y，z，t1）-u（x，y，z，t2）]dV （1）

依照微積分基本公式u（x，y，z，t1）-u（x，y，z，t2）=■■dt

（1）式可以寫(xiě)成Q=■cρ■■dtdV=■[■cρ■dV]dt

此外，在不同的時(shí)刻t1和t2內(nèi)，經(jīng)過(guò)該物體內(nèi)部曲面L進(jìn)入D的熱量是：

Q1=-■[■k■ds]dt

由于物體內(nèi)部或許存在著熱源，假設(shè)物體內(nèi)部的熱密度是F（x，y，z，t），在時(shí)間[t1，t2]

體熱源能夠產(chǎn)生的熱量為：

Q1=■ [■F（x，y，z，t）dV]dt （2）

依照熱量守恒定律：Q=Q1+Q2 （3）

把（1）式和（2）式代入（3）中，得到：

cρ■=■（k■）+■（k■）+■（k■）+

F（x，y，z，t） （4）

（4）式是溫度函數(shù)所滿足的方程

假如令α2=k/cρ，則（4）式可以寫(xiě)作：

■=α2（■+■+■）+f（x，y，z，t），

其中f=F/cρ（5）

在沒(méi)有熱源的條件下，方程可以進(jìn)一步化簡(jiǎn)為下面的偏微分方程形式：

■=α2（■+■+■） （6）

結(jié)論1：在物理學(xué)上，方程（6）代表著一種熱傳導(dǎo)方式：u（x，t）代表了在一根均勻質(zhì)地的細(xì)長(zhǎng)棒中各處的溫度，是隨著細(xì)棒的長(zhǎng)度x和時(shí)間t的變化而變化著。

二、從物理學(xué)的角度剖析初始條件和邊界條件存在的必要性

因?yàn)樯厦娴钠⒎址匠陶故镜氖菬醾鲗?dǎo)的一般規(guī)律，如果在某一時(shí)間t0的溫度分布不一樣，則它們?cè)谝院髸r(shí)刻t>t0的溫度分布也是不一樣的。并且即便是同一物體，假如所處的狀態(tài)不一樣，它在t≥t0時(shí)邊界θG上的熱學(xué)狀態(tài)也不一樣，那么它內(nèi)部的溫度分布和變化方式也會(huì)不一樣，所以，為了可以確定具體的物理狀態(tài)，是不能單獨(dú)依靠熱傳導(dǎo)，還要增加有其他附加的條件。

結(jié)論2：微分方程描述了一個(gè)隨著時(shí)間變化而不斷演化的動(dòng)態(tài)過(guò)程，而初始和邊界條件描述的是在某個(gè)特定的時(shí)間點(diǎn)該過(guò)程的幾種確定性的存在狀態(tài)。

在物理學(xué)上，初始和邊界條件給出了在最初或者最后，或者某些重要的時(shí)刻，該物體的特殊存在狀態(tài)，捕捉到這些特殊時(shí)刻的狀態(tài)，既能保證解的存在，又能使解最優(yōu)，意義重大。

三、偏微分方程邊界條件的數(shù)量

在物理學(xué)中，除了描述熱傳導(dǎo)現(xiàn)象，其他如彈性體的形變和平衡、電磁波的傳播、電子在原子核外的運(yùn)動(dòng)規(guī)律等，都可以用偏微分方程來(lái)描述。

常見(jiàn)的偏微分方程大致可以分成如下幾類(lèi)：

Ⅰ類(lèi)：弦震動(dòng)方程；Ⅱ類(lèi)：熱傳導(dǎo)方程；Ⅲ類(lèi)：拉普拉斯方程；Ⅳ類(lèi)：特里谷米方程。

其中，Ⅰ類(lèi)屬于雙曲型， Ⅱ類(lèi)屬于拋物型，Ⅲ類(lèi)屬于橢圓型。

關(guān)于偏微分方程邊界條件所需的數(shù)量，對(duì)于Ⅰ類(lèi)來(lái)說(shuō)，一處需要給出兩個(gè)邊界條件，分別表示弦的初始位置和初始運(yùn)動(dòng)速度；Ⅲ類(lèi)處處都要有邊界條件，但數(shù)目只有一個(gè)；Ⅱ類(lèi)和Ⅳ類(lèi)只是在部分邊界上各給一個(gè)邊界條件。Ⅰ類(lèi)不能提出的Ⅲ類(lèi)中的邊界條件，因?yàn)閷?duì)于這類(lèi)邊界條件的解往往是不存在的。