(2+1)維耗散長波方程的新精確解及其局域激發(fā)

劉威,套格圖桑

(內(nèi)蒙古師范大學數(shù)學科學學院,內(nèi)蒙古 呼和浩特 010022)

(2+1)維耗散長波方程的新精確解及其局域激發(fā)

劉威,套格圖桑

(內(nèi)蒙古師范大學數(shù)學科學學院,內(nèi)蒙古 呼和浩特 010022)

用改進的雙曲正切函數(shù)展開法,獲得了(2+1)維耗散長波方程的由指數(shù)函數(shù)分別與三角函數(shù)和雙曲函數(shù)組合的復合型新解.復合型新解中含有關于變量的任意函數(shù).根據(jù)函數(shù)的任意性,借助符號計算系統(tǒng)Mathematica對解進行數(shù)值模擬,可以得到豐富的局域激發(fā)和分形結構.

改進的雙曲正切函數(shù)展開法;(2+1)維耗散長波方程;局域激發(fā);復合型解

1 引言

尋找非線性偏微分方程的求解方法與解釋解的性質是孤立子與可積系統(tǒng)理論的重要研究內(nèi)容之一.隨著計算機技術的發(fā)展,提出了求解非線性發(fā)展方程的輔助方程法,如齊次平衡法和tanh函數(shù)展開法等.1997年,李提出了tanh函數(shù)展開法[1],該方法可以有效地求出一些方程的解[2-5].本文改進了雙曲正切函數(shù)展開法[6],得到了(2+1)維耗散長波方程的含有y為變量的任意函數(shù)的復合型新解.文獻[6]得到的解是本文給出的復合型解的特殊情況.根據(jù)函數(shù)的任意性,選取適當?shù)暮瘮?shù),可以得到(2+1)維耗散長波方程的局域激發(fā)和分形結構.

2 (2+1)維耗散長波方程的簡化

文獻[6]中依齊次平衡法的基本思想,設(2+1)維耗散長波方程

的解為

其中

為待定函數(shù),λ為待定常數(shù).

利用函數(shù)u(x,y,t)和η(x,y,t)間的變換關系η=λuy+b?λay,可將方程(1),(2)的求解問題轉化為Burgers方程

的求解問題.將(3)式代入(5)式進一步整理后令的f′,f′,f0系數(shù)為零,可得如下約束條件

若選取a(x,y,t)=c(y),則(6)-(8)式化為如下約束條件

3 (2+1)維耗散長波方程的新解

文獻[6]中假設(9)式,(10)式的解為:

4 (2+1)維耗散長波方程新解的局域激發(fā)與分形結構

本文中(2+1)維耗散長波方程(1)(2)的解u(x,y,t)和η(x,y,t)之間存在變換

所以只討論解u(x,y,t)的情況.限于篇幅,討論了當n=1時,u(x,y,t)的局域激發(fā)與分形結構.

當n=1時,解u(x,y,t)簡化為如下形式:

其中

4.1 局域激發(fā)

圖1 扭結解

圖2 函數(shù)選取情況為4.1.2

圖3 方形孤波角

圖4 函數(shù)選取情況為4.1.4

圖5 函數(shù)選取情況為4.1.5

圖6 函數(shù)選取情況為4.1.6

4.2 分形結構

圖8的每個坐標范圍是圖7的相應坐標范圍的百分之一.但是,圖7和圖8的形狀具有相似性,并且當坐標范圍一直向下取時得到的圖形也具有完全類似的結構.

圖7 x∈[?0.002,0.002],y∈[?0.002,0.002]時,解(16)的圖形

圖8 x∈[?0.00002,0.00002],y∈[?0.00002,0.00002]時,解(16)的圖形

圖9 圖7的等值線圖

圖10 圖8的等值線圖

圖9和圖10分別是圖7和圖8的等值線圖.

5 結論

本文改進了雙曲正切函數(shù)展開法,獲得了(2+1)維耗散長波方程的復合型新解.復合型新解中含有關于變量的任意函數(shù),對新解中含有變量的任意函數(shù)進行適當選應用此方法也可以獲得(2+1)維Broer-kaup方程的復合型新解,復合型新解中同樣含有關于變量的任意函數(shù).

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New exact solutions of the(2+1)-dimensional dispersive long wave equations and their local excitation

Liu Wei,Taogetusang
(The College of Mathematical Science,Inner Mongolia Normal University,Hohhot 010022,China)

Based on the improved expansion method with hyperbolic tangent function,the new type compound solutions of the(2+1)dimensional dispersive long wave equation,by combination of exponential function and trigonometric function and hyperbolic function,were obtained.There is an arbitrary function about the variable y in it.According to the arbitrariness of the functions and the numerical simulation of the solutions through the symbolic computation system Mathematica,the rich local excitation and fractal structure have been got.

modi fi ed hyperbolic function expansion method, (2+1)-dimensional dispersive long wave equations,local excitation,fractal structures

O175.29

A

1008-5513(2017)01-0102-09

10.3969/j.issn.1008-5513.2017.01.0011

2016-09-28.

國家自然科學基金(11361040);內(nèi)蒙古自治區(qū)自然科學基金(2015MS0128);內(nèi)蒙古自治區(qū)高等學校科學研究基金(NJZY16180);內(nèi)蒙古師范大學碩士研究生科研創(chuàng)新基金(CXJJS16081).

劉威(1991-),內(nèi)蒙古,碩士生.研究方向：孤立子與可積系統(tǒng)理論及應用.

套格圖桑(1964-),教授,博士,從事孤立子與可積系統(tǒng)理論及應用.

2010 MSC:35C08