一類幾何流方程周期解的爆破

汪瑤瑤

(安徽師范大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院,安徽 蕪湖 241003)

一類幾何流方程周期解的爆破

汪瑤瑤

(安徽師范大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院,安徽 蕪湖 241003)

研究雙曲平均曲率流中一類幾何流方程周期解的爆破問題.引入合適的黎曼不變量,將該方程化為對角型的一階擬線性雙曲型方程組.該方程組在Lax意義下不是真正非線性的.假設(shè)初值是周期的,且在一個(gè)周期內(nèi)全變差很小,此外假設(shè)初值還滿足一定的結(jié)構(gòu)條件,可以證得該幾何流方程的周期解必在有限時(shí)間內(nèi)發(fā)生爆破,解的生命跨度估計(jì)可以給出.

幾何流方程;擬線性雙曲型方程組;周期解;爆破;生命跨度

1 引言

平均曲率流是一類非線性偏微分方程組,用以研究曲面或流形隨時(shí)間的演化,其特征是速度向量等于流形法向向量乘以某個(gè)幾何量,這個(gè)幾何量可以是曲率、平均曲率和逆平均曲率等.平均曲率流已被用來成功解決若干幾何和拓?fù)鋯栴},例如文獻(xiàn)[1]提出的逆平均曲率流,成功證明了黎曼流形中的Penrose不等式.而近年來,對于雙曲型幾何流的研究越來越得到重視,做了不少工作.

2009年,文獻(xiàn)[2]提出如下的雙曲平均曲率流:

這里M是黎曼流形,X(·,t):M→?1+n是光滑映射,H(u,t)是平均曲率,(u,t)表示外法向量,T是一個(gè)正常數(shù).上述方程組是二階的非嚴(yán)格雙曲型偏微分方程.運(yùn)用一些分析的技巧,文獻(xiàn)[1-2]將方程組化為嚴(yán)格雙曲型的,進(jìn)而得到解的局部存在唯一性,維數(shù)大于4的歐式空間的非線性穩(wěn)定性也得到證明.此外,文獻(xiàn)[1]給出了曲率所滿足的非線性波動(dòng)方程.文獻(xiàn)[3]通過包含動(dòng)能和內(nèi)能的泛函導(dǎo)出一類如下的非線性幾何發(fā)展方程,

特別地,對于一維情形,文獻(xiàn)[3]推導(dǎo)出如下的方程:

設(shè)初值為：

初值問題(1)和(2)可用來刻畫無窮長弦的振動(dòng),上述u0(x),u1(x)分別表示弦的初始位置和初始速度.文獻(xiàn)[3]證明了當(dāng)初值的BV模小時(shí),初值問題(1)和(2)的熵弱解是整體存在的.2011年,文獻(xiàn)[5]考慮如下關(guān)于凸超曲面的雙曲曲率流:

其中 F被稱為drving force,bij是一致凸超曲面第二基本形式的逆.文獻(xiàn)[5]指出,選擇不同的F,可以導(dǎo)致不同非線性雙曲型方程,例如可以導(dǎo)出雙曲型的Monge-Amp`ere方程.此外,文獻(xiàn)[5]證明了對于一大類F,方程組(3)的局部可解性,并考慮了解的爆破性質(zhì)以及解的漸近行為等.

2009年,文獻(xiàn)[4]研究了對于平面曲線的雙曲平均曲率流,即如下偏微分方程組的初值問題:

其中F(z,t)表示未知量,k(z,t)是曲線F(z,t)的平均曲率,N(z,t)表示單位法向量,T(z,t)是單位切向量,F0(z)表示初始曲線,而h(z)和N0(z)分別代表初始速度大小和初始曲線的法向量;函數(shù) ρ(z,t)由下式定義,

這里s是弧長參數(shù).文獻(xiàn)[4]得到了初值問題(4)的局部適定性,特別地,他們研究了以圖形式存在的曲線F(x,t)=(x,u(x,t))的周期運(yùn)動(dòng).由于相應(yīng)的雙曲型方程組在Lax意義下不是真正非線性的,周期解的討論并不簡單.通過引入黎曼不變量,上述方程組可化為對角型雙曲型方程組.文獻(xiàn)[4]通過詳細(xì)研究兩族特征的相互作用,得到在初值具有小變差以及滿足一定的結(jié)構(gòu)條件時(shí),平均曲率流方程組的周期解會(huì)發(fā)生爆破,且給出了解生命區(qū)間的估計(jì).此同時(shí),文獻(xiàn)[6]研究在雙曲平均曲率流(4)下平面閉曲線的運(yùn)動(dòng).考慮將曲線支撐函數(shù)作為未知量,得到一類雙曲型的Monge-Amp`ere方程.基于此,Kong、Liu和Wang證明了相應(yīng)初值問題的經(jīng)典解僅僅在區(qū)間[0,Tmax)存在,且當(dāng)t→Tmax時(shí),解收斂到一點(diǎn)或者激波或者其他間斷解.文獻(xiàn)[4]在此基礎(chǔ)上,考慮了Minkowski時(shí)空中的平均曲率流方程組和可化約的一階雙曲型方程組的周期初值問題,并得到解的生命跨度.

本文研究上述幾何流方程組(1)和(2)的周期解問題.對于雙曲型方程組的周期解問題,目前也已經(jīng)有了很多的研究.文獻(xiàn)[9]利用黎曼不變量研究2×2雙曲型方程組的周期解和奇性形成,并討論了解的大時(shí)間衰減刻畫.文獻(xiàn)[10]研究了非線性振動(dòng)弦初值為周期的柯西問題的爆破,解的生命跨度依賴于平衡態(tài)附近的非線性效應(yīng).文獻(xiàn)[8]將他們的結(jié)果推廣到一般的可化約的一階雙曲型方程組.文獻(xiàn)[7]研究了雙曲型微分方程周期解的存在問題.文獻(xiàn)[13]研究了2×2的擬線性雙曲方程組的周期解的爆破問題,爆破的產(chǎn)生也是源于同族特征線的相交.文獻(xiàn)[15]將Glimm、Lax的結(jié)果推廣到3×3的雙曲型方程組,考慮非等熵Euler方程組的周期初值問題.通過選取合適的黎曼不變量和推廣的Glimm泛函,他們得到了當(dāng)初值具有小變差ε時(shí),初值問題熵解的生命跨度是O(ε?2).文獻(xiàn)[18]也研究了一類非等熵Euler方程組的周期初值問題,所用方法是基于文獻(xiàn)[13].

本文結(jié)構(gòu)如下:第2節(jié)給出本文的主要結(jié)果,同時(shí)給出一些準(zhǔn)備工作;第3節(jié)將證明一些重要的引理;第4節(jié)給出定理的證明.

2 主要結(jié)果

在給出本文主要結(jié)果之前,我們先做些準(zhǔn)備工作.

命題 2.1方程組(6)是嚴(yán)格雙曲型方程組,具有兩個(gè)互異的特征值(8),右特征向量可取為(9)式;同時(shí),由(10)式可知,方程組(6)在Lax意義下不是真正非線性的.

下面是本文主要結(jié)果.

定理 2.1給定 R0(x),S0(x)是 C1光滑函數(shù),如果 R0(x),S0(x)滿足 (21)-(22),且假設(shè)(23)式或者(24)式成立,那么初值問題(19)-(20)的C1解在有限時(shí)間內(nèi)將發(fā)生爆破,解的生命跨度T(δ)滿足

現(xiàn)在考慮初值問題(1)和(2)的周期解問題.設(shè)初值u0(x),u1(x)是C1的光滑函數(shù),且滿足:

這里P是非負(fù)常數(shù).由定理2.1可得如下結(jié)果.

定理 2.2由上述討論,可取

則R0(x),S0(x)是C1光滑的以P為周期的函數(shù).此外，假設(shè)(23)式或者(24)式成立,則初值問題(1)和(2)的C1解在有限時(shí)間內(nèi)發(fā)生爆破,且解的生命跨度T(δ)滿足

3 若干引理

本節(jié)我們做些準(zhǔn)備工作,引入若干引理,為定理2.1的證明作鋪墊.

下面給出若干引理,它們將在后面證明和討論中起重要作用.

引理 3.1定義

證明證明可參見文獻(xiàn)[4],此處從略.

引理 3.2在初值問題(19)和(20)C1解的存在范圍內(nèi),始終成立

這里及以后,記號O(1)均表示有界量.

引理 3.3給定α,?β≤α,定義t1(β;α)使得

另一方面,本文測量系統(tǒng)還采用了WeBee公司的B-0004藍(lán)牙模塊實(shí)現(xiàn)無線通信功能[18],其原理圖如圖9所示。從圖可以看出,藍(lán)牙芯片只需要RXD和TXD兩個(gè)引腳與單片機(jī)相連即可以工作,占用的單片機(jī)資源很少,使用起來很方便。

給定β,?α≥β,定義t2(α;β)使得

則

證明證明方法類似于文獻(xiàn)[4],此處省略.

引理 3.4(i)成立如下估計(jì)式：

(ii)(a)若 β2≤β1≤α,則

(b)若β≤α1≤α2,則

(iii)對Y1和Y2有

引理 3.5成立如下估計(jì):

和

即我們已經(jīng)證明了(52).類似地,可證得(53).

引理 3.6假設(shè)成立如下不等式

4 定理的證明

[1]He C L,Kong D X,Liu K F.Hyperbolic mean curvature fl ow[J].Di ff erential Equations,2009,246:373-390.

[2]Huisken G,Ilmanen T.The inverse mean curvature fl ow and the Riemannian Penrose inequality[J].Di ff erential Geom.,2001,59:353-437.

[3]Le fl och P G,Smoczyk K.The hyperbolic mean curvature fl ow[J].Math.Pures.Appl.,2008,90:591-614.

[4]Kong D X,Wang Z G.Formation of singularities in the motion of plane curves under hyperbolic mean curvature fl ow[J].Di ff erential Equations,2009,247:1694-1719.

[5]Chou K S,Wo W F.On hyperbolic Gauss curvature fl ows[J].Di ff erential Geometry,2011,89:455-485.

[6]Kong D X,Liu K F,Wang Z G.Hyperbolic mean curvature fl ow:Evolution of plane curves[J].Acta Math.Sci.,2009,29:493-514.

[7]Cesan Lamberto.Existence in the large of periodic solutions of hyperbolic partial di ff erential equations[J].Archive for Rational Mechanics and Analysis,1965,20:170-190.

[8]Cheng K S.Formation of singularities for nonlinear hyperbolic partial di ff erential equation[J].Contemp.Math.,1983,17:45-56.

[9]Glimm J,Lax P D.Decay of solutions of systems of nonlinear hyperbolic conservation laws[J].Mem.Am.Math.Soc.,1970,101:1-112.

[10]Klainerman S,Majda A.Formation of singularities for wave equations including the nonlinear vibrating string[J],Comm.Pure Appl.Math.,1980,33:241-263.

[11]Kong D X,Wang Z G.Formation of singularities in the motion of plane curves under hyperbolic mean curvature fl ow[J].Di ff erential Equations,2009,247:1694-1719.

[12]Li T T.Global Classical Solutions for Quasilinear Hyperbolic Systems[M].Paris:Wiley-Masson,1994.

[13]Li T T,Kong D X.Blow up of periodic solutions to quasilinear hyperbolic systems[J].Nonlinear Anal., 1996,26:1779-1789.

[14]Lax P D.Hyperbolic systems of conservation laws II[J].Comm.Pure Appl.Math.,1957,10:537-556.

[15]Qu P,Xin Z P.Long time existence of entropy solutions to the one-dimensional non-isentropic Euler equations with periodic initial data[J].Arch.Rational Mech.Anal.,2015,216:221-259.

[16]Wang Z G.Hyperbolic mean curvature fl ow in Minkowski space[J].Nonlinear Analysis,2014,94:259-271.

[17]Wang Z G.Blow-up of periodic solutions to reducible quasilinear hyperbolic systems[J].Nonlinear Analysis, 2010,73:704-712.

[18]Xiao J J.Some topics on hyperbolic conservation laws[D].Hong Kong:The Chinese University of Hong Kong,2008.

Blowup of periodic solutions for nonlinear equations of geometric fl ow

Wang Yaoyao
(School of Mathematics and Computer Science,Anhui Normal University,Wuhu 241003,China)

This article considers the blow up problem for a class of nonlinear partial di ff erential equations of geometric fl ow.By introducing the proper Riemann invariants,the equations can be reduced into a system of quasilinear hyperbolic equations in the diagonal form,which are not genuinely nonlinear in the sense of Lax.Under the assumptions that the initial data have small total variations in one period and some certain conditions are satis fi ed,the C1solutions can be proved to blow up in fi nite time.In addition,the life span of the C1classical solutions are derived.

PDE of geometric fl ow,quasilinear hyperbolic equation,periodic solution,blow up,life span

O175.2

A

1008-5513(2017)01-0044-16

10.3969/j.issn.1008-5513.2017.01.006

2016-10-11.

國家自然科學(xué)基金(11301006);安徽省自然科學(xué)基金(1408085MA01).

汪瑤瑤(1990-),碩士,研究方向：偏微分方程.

2010 MSC:35L60,35L45