一類(lèi)三元反向混合單調(diào)算子不動(dòng)點(diǎn)定理及其應(yīng)用

謝盧夢(mèng),薛西鋒

(西北大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院,陜西 西安 710127)

一類(lèi)三元反向混合單調(diào)算子不動(dòng)點(diǎn)定理及其應(yīng)用

謝盧夢(mèng),薛西鋒

(西北大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院,陜西 西安 710127)

利用單調(diào)迭代方法、數(shù)學(xué)歸納法、錐理論方法研究了具有半序的Banach空間反向混合單調(diào)算子的不動(dòng)點(diǎn)的存在性與唯一性,得到的結(jié)論推廣了反向混合單調(diào)算子不動(dòng)點(diǎn)的存在性與唯一性.最后,將所得到的結(jié)論應(yīng)用于Hammerstein積分方程中.

反向混合單調(diào)算子;正規(guī)錐;不動(dòng)點(diǎn);迭代序列

1 引言

在具有半序的 Banach空間中,混合單調(diào)算 子[1]和反向混合單調(diào)算 子[2]理論在方程求解方面有相當(dāng)廣泛的應(yīng)用.文 獻(xiàn)[3]研究了在序差關(guān)系下的反向混合不動(dòng)點(diǎn)存在性與唯一性,文獻(xiàn)[4]引進(jìn)了混合g-單調(diào)的概念并研究了混合g-單調(diào)算子的耦合不動(dòng)點(diǎn)的存在性與唯一性,文獻(xiàn)[5]將混合g-單調(diào)算子下的不動(dòng)點(diǎn)存在性與唯一性做了推廣,文獻(xiàn)[6]在非緊性與非連續(xù)性以及u0-凹凸性的條件下給出了一種新的混合單調(diào)算子的不動(dòng)點(diǎn)定理,文獻(xiàn)[7]對(duì)其結(jié)論做了推廣.受到上面學(xué)者所研究的文獻(xiàn)的啟發(fā),本文在假設(shè)算子不具有緊性與連續(xù)性這一條件下,得到在具有半序Banach空間中的一類(lèi)新的三元反向混合單調(diào)算子的不動(dòng)點(diǎn)的存在性與唯一性.

2 預(yù)備知識(shí)

設(shè) E是實(shí) Banach空間,P?E是一個(gè)錐.若對(duì)任意的 x,y∈P,x≤y 當(dāng)且僅當(dāng)有 y?x∈P時(shí),稱(chēng)半序關(guān)系≤ 是由 P導(dǎo)出的.如果存在常數(shù) N ＞0,使得對(duì)任意的x,y∈P,θ≤x≤y,都有||x||≤N||y||成立,稱(chēng)錐P為正規(guī)錐,其中N 為正規(guī)常數(shù).

設(shè)E是半序線性空間,令

定義 2.1[9]設(shè)E是具有半序關(guān)系的Banach空間,定義乘積空間E×E×E中的半序關(guān)系:如果

則記(x1,y1,z1)≤(x2,y2,z2).

定義 2.2設(shè)A:E×E×E→E,若x1≤x2,y1≥y2,z1≤z2,蘊(yùn)含著

則稱(chēng)A為反向混合單調(diào)算子.即對(duì)任意的x,y,z∈E有下列結(jié)論:

定義2.3[9]設(shè)x∈E,A:E×E×E→E,若x=(x,x,x),則稱(chēng)x為A的三重不動(dòng)點(diǎn).

3 主要結(jié)論

定義 3.1設(shè)A:P×P×P→P,u0∈P{θ},η:(R×P×P×P)→R.如果

(i)對(duì)任給的x,y,z∈P{θ},A(x,y,z)∈Pu0;

(ii)對(duì)任給的x,y,z∈Pu0,t∈(0,1),存在η(t,x,y,z)≥0,使得

則稱(chēng)A:P×P×P→P的一個(gè)u0-凹凸算子.其中η(t,x,y,z),對(duì)固定的y,z關(guān)于x是減的,對(duì)固定的x,y關(guān)于z是減的,對(duì)固定的x,z關(guān)于y是增的.

定理3.1設(shè)P是E中的正規(guī)錐,令A(yù):P×P×P→P是一個(gè)反向混合單調(diào)u0-凹凸算子.假設(shè)x0,y0,z0∈P且x0≤y0,z0≤y0.滿足下列條件:

證明條件(i),(iii)滿足定理3.1中的條件(i),(ii).則由定理3.1可知該命題成立.

定理 3.2設(shè)P是Banach空間E中的正規(guī)錐,令算子A是一個(gè)反向混合單調(diào)u0-凹凸算子.假設(shè) x0,y0,z0∈P 且 x0≤ y0,z0≤ y0,?t∈(0,1),其中 η(t,x,y,z)如定義 3.1所述,則算子 A在 P上有唯一的不動(dòng)點(diǎn)的充分必要條件是定理3.1中的條件(i)成立.以x0,y0,z0為初始值作迭代序列:

4 應(yīng)用

下面給出定理3.1在Hammerstein積分方程中的應(yīng)用.

設(shè)

考慮積分方程

其中α,β,γ∈(0,1)為常數(shù).

定理 4.1設(shè)K:[0,1]×[0,1]→(0,+∞),?t∈(0,1),假設(shè)存在

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Fixed point theorems of a type tripled reverse mixed monotone operator

Xie Lumeng,Xue Xifeng
(Department of Mathematics,Northwest University,Xi′an 710127,China)

In order to explore the existence and uniqueness of triple fi xed point of reverse mixed monotone operator which in partially ordered Banach space,the mixed monotone iterative method and mathematical induction and cone theory are used.The results generalize the existence and uniqueness of fi xed point of reverse mixed monotone operator.

reverse mixed monotone operator,normal cone, fi xed point,iteration sequence

O178

A

1008-5513(2017)01-0060-09

10.3969/j.issn.1008-5513.2017.01.007

2016-05-23.

陜西省自然科學(xué)基金(2012JM1017).

謝盧夢(mèng)(1991-),研士生,研究方向：非線性泛函分析.

2010 MSC:47H10