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    幾何直觀得結(jié)論 代數(shù)證明把理說

    2019-06-21 08:10:14山東省鄒平市第一中學(xué)
    關(guān)鍵詞:端點(diǎn)圖象單調(diào)

    山東省鄒平市第一中學(xué)

    扈希峰 (郵編:256200)

    山東省鄒平市長山中學(xué)

    王海燕 (郵編:256207)

    函數(shù)性質(zhì)的探討是數(shù)學(xué)最重要的內(nèi)容之一,在高考試題中,函數(shù)性質(zhì)的分析不僅僅是重點(diǎn),也經(jīng)常作為整套題中的難點(diǎn),往往安排在最后一題最后一問中.由于很多這樣的題目表述比較抽象,所給出的參考答案也比較復(fù)雜,并設(shè)計(jì)一些技巧,使得很多學(xué)生望而生畏.如果在平時(shí)的教學(xué)過程中,注重培養(yǎng)觀察能力,提高直觀洞察力,這樣的題目其實(shí)并非真的那么難.

    幾何直觀是數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)里提出的十個(gè)核心概念之一,標(biāo)準(zhǔn)里提出幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問題,借助它可把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡明、形象,有助于探索解決問題的思路,預(yù)測(cè)結(jié)果.用最通俗的話說幾何直觀就是看圖想事,看圖說理.本文將具體分析幾道“難題”,揭示幾何直觀觀察對(duì)解答代數(shù)問題的啟示作用.

    例1(2007年高考全國卷(20))設(shè)函數(shù)f(x)=ex-e-x.

    (Ⅰ)證明:f(x)的導(dǎo)數(shù)f′(x)≥2;

    (Ⅱ)若對(duì)所有x≥0,都有f(x)≥ax,求a的取值范圍.

    (當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí),等號(hào)成立)

    (Ⅱ)令g(x)=f(x)-ax,則g′(x)=f′(x)-a=ex+e-x-a,

    (ⅰ)若a≤2,當(dāng)x>0時(shí),g′(x)=ex+e-x-a>2-a≥0,故g(x)在(0,+∞)上為增函數(shù),所以x≥0時(shí),g(x)≥g(0),即f(x)≥ax.

    綜上,滿足條件的a的取值范圍是(-∞,2].

    評(píng)注(1)從(Ⅱ)中“對(duì)所有x≥0都有f(x)≥ax恒成立”可以看到左邊是指數(shù)型函數(shù),右邊是熟悉的一次函數(shù),在x=0處的函數(shù)值相同,函數(shù)f(x)在x=0切線的斜率與y=ax的斜率相等,得到相切即臨界位置的情況(如圖1),很容易得到參數(shù)討論的臨界值,再由幾何意義得到參數(shù)取值范圍,然后在每種情況下進(jìn)行嚴(yán)格證明即可.此做法形象直觀,討論清晰,說理方便.

    圖1

    (2)通過一些特殊點(diǎn)(端點(diǎn)值,零點(diǎn)值等),尋求結(jié)論成立的必要條件,進(jìn)而優(yōu)化解題方法.該題(Ⅱ)中通過端點(diǎn)值a=f′(0)=2得到分類標(biāo)準(zhǔn),進(jìn)而在每種情況下進(jìn)行研究即可.首先,我們要知道一個(gè)簡單的結(jié)論:對(duì)于連續(xù)函數(shù)y=f(x),在x=x0處有f(x0)<0,則必定存在x0的一個(gè)鄰域(x0,x0+ε),使得當(dāng)x∈(x0,x0+ε)時(shí),都有f(x)<0.

    導(dǎo)數(shù)幾何直觀從“形”的角度,端點(diǎn)效應(yīng)是從“數(shù)”的角度對(duì)該問題進(jìn)行解釋和求解.尋找解題的關(guān)鍵點(diǎn),分類討論的臨界值,整體把握題目,思路清晰,順利解答.

    (Ⅰ)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;(Ⅱ)如果對(duì)任何x≥0,都有f(x)≤ax,求a的取值范圍.

    解析(Ⅰ)

    (Ⅱ)令g(x)=ax-f(x),則

    故當(dāng)x∈[0,arccos3a)時(shí),h′(x)>0.因此h(x)在[0,arccos3a)上單調(diào)增加.

    圖2

    例3(2010年高考全國卷(21))函數(shù)f(x)=ex-1-x-ax2.

    (Ⅰ)若a=0,求f(x)的單調(diào)區(qū)間;(Ⅱ)若當(dāng)x≥0時(shí)f(x)≥0,求a的取值范圍.

    解析(Ⅰ)a=0時(shí),f(x)=ex-1-x,f′(x)=ex-1.

    當(dāng)x∈(-∞,0)時(shí),f′(x)<0;當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí),f′(x)>0.

    故f(x)在(-∞,0)單調(diào)減少,在(0,+∞)單調(diào)增加.

    (Ⅱ)f′(x)=ex-1-2ax,由(Ⅰ)知ex≥1+x,當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)等號(hào)成立.故f′(x)≥x-2ax=(1-2a)x,

    故當(dāng)x∈(0,ln2a)時(shí),f′(x)<0,而f(0)=0,于是當(dāng)x∈(0,ln2a)時(shí),f(x)<0.

    評(píng)注對(duì)于(Ⅱ)中“當(dāng)x≥0時(shí)f(x)≥0”,易知f(0)=0,f′(0)=0,而f′′(0)=1-2a,采用端點(diǎn)效應(yīng),令f′′(0)=1-2a=0得到分類的標(biāo)準(zhǔn),進(jìn)而說理求解.

    圖3

    證明已知0≤x≤1,顯然有2x4≤2x成立.

    評(píng)注如圖3,通過圖象可清楚的看到結(jié)論顯然成立.該試題的命制注重了切線臨界狀態(tài)、端點(diǎn)效應(yīng)方面的設(shè)計(jì).探究試題的命題背景、命題方法,會(huì)有助于在解題中尋找入口、理順?biāo)悸贰㈤_闊視野,從而提高解題水平.

    最后,在具體思考討論有關(guān)函數(shù)的題目時(shí),如果比較復(fù)雜,應(yīng)該先畫出函數(shù)圖象的草圖(或?qū)㈩}目條件等價(jià)變形后畫出函數(shù)的圖象),對(duì)照題目的文字?jǐn)⑹?,弄清楚題目條件、結(jié)論有什么直觀意義(或幾何解釋),題中的條件是否足以保證得到這樣的結(jié)果或者關(guān)系.

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