利用一題多解培養(yǎng)學生的發(fā)散思維

羅汝生

【摘要】數(shù)學的核心是思維，根據(jù)思維的形式，思維可以分為輻合思維和發(fā)散思維。發(fā)散思維是不依常規(guī)，尋求變異，對給出的材料、信息從不同角度，向不同方向，用不同方法或途徑進行分析和解決問題的一種思維方式，它的特點是思路廣闊，尋求變異，在思維方向上表現(xiàn)為逆向性、橫向性和多向性。

【關鍵詞】數(shù)學思維 多解 發(fā)散思維

學生在數(shù)學學習中常碰到解題一籌莫展，許多學生一旦在思維受阻時，常不知如何“轉變”。在這一問題上，學生思路不開闊只是表象，而教師在教學中如何善于開拓學生思路，培養(yǎng)學生發(fā)散性思維卻是根本。因此，中小學數(shù)學教學的過程中，在培養(yǎng)學生初步的邏輯思維能力的同時，有意識地培養(yǎng)學生的發(fā)散思維能力非常重要。數(shù)學教師在教學中不應只滿足本例題的演示，完成習題解答，而應該首先開闊自己的思路，在完成例題解答的過程中，引導學生運用知識去探索“求異”的結果，培養(yǎng)學生發(fā)散性思維，激發(fā)學生的創(chuàng)造精神，以達到提高學生解題能力的目的。

一題多解的訓練是培養(yǎng)學生發(fā)散思維的一個好方法。一題多解是指在條件和問題不變的情況下，讓學生多角度、多側面地進行分析思考，探求不同的解題途徑。它可以通過縱橫發(fā)散，使知識串聯(lián)、綜合溝通，達到舉一反三、融會貫通的目的。

一題多解有利于培養(yǎng)學生的創(chuàng)新思維，使學生不滿足僅僅得出一道習題的答案，而去追求更獨特、更快捷的解題方法。一題多解有利于學生積累解題經(jīng)驗，豐富解題方法，學會如何綜合運用已有的知識不斷提高解題能力。

下面通過幾個課堂實例談談如何利用一題多解的方法培養(yǎng)學生發(fā)散思維的能力。

一、某些代數(shù)應用題可引導學生考慮不同方法來設元

如：新人教版七年級數(shù)學上冊第三章一元一次方程的應用教學中，有這樣一個實際問題：

汽車勻速行駛途經(jīng)王家莊、青山、秀水三地的時間如表所示，翠湖在青山、秀水兩地之間，距青山50千米，距秀水70千米，求王家莊到翠湖的路程有多遠？

教材意在通過一個具體的行程問題，引導學生嘗試如何用算術方法解決它，然后再逐步引導學生列出含未知數(shù)的式子表示有關的量，并進一步依據(jù)相等關系列出方程，重點是體現(xiàn)一元一次方程與實際的密切聯(lián)系，滲透數(shù)學建模思想，培養(yǎng)學生運用一元一次方程分析和解決實際問題的能力。

1、用算術方法可以如下考慮：

汽車從青山到秀水用了15-13=2小時，青山、秀水兩地相距50+70=120千米，所以車速為120÷2=60千米/時，從王家莊到秀水用了15-10=5小時，所以王家莊到秀水相距60×5=300千米，所以王家莊與翠湖相距300-70=230千米；

2、用方程的方法可以通過數(shù)形結合，從不同角度設未知數(shù)，分析數(shù)量關系，緊扣汽車勻速行駛（速度不變）找相等關系，列出一元一次方程求解。

本節(jié)問題的背景和表達貼近實際，有些條件比較隱蔽，如汽車在各路段行駛的時間，需要學生從表格中獲取相應的信息，還有行程問題中的數(shù)量關系式：路程=速度×時間等。

因此，教學中可先引導學生復習行程問題中速度、時間、路程三者間的關系式，尤其是速度=路程÷時間，然后引導學生弄清題意，畫出如下的線段圖：

再結合生活經(jīng)驗，把汽車勻速行駛途經(jīng)王家莊、青山、秀水三地的時間求出：

王家莊到青山的時間是13-10=3小時；

青山到秀水的時間是15-13=2小時；

王家莊到秀水的時間是15-10=5小時。

接著，結合線段圖，引導學生挖掘圖形中蘊含的數(shù)量關系，把位置關系與數(shù)量關系為一根主線貫穿教學的全過程，不斷變換解題的方法，培養(yǎng)學生發(fā)散思維的能力。

解法1（教材給出的方法） 如圖，汽車勻速行駛途經(jīng)王家莊、青山、秀水三地，翠湖在青山、秀水兩地之間，距青山50千米，距秀水70千米，如果設王家莊到翠湖是x千米，則王家莊到青山的路程是（x-50）千米，王家莊到秀水的路程是（x+70）千米，汽車的速度是 千米/時或 千米/時

根據(jù)汽車勻速行駛，可知各段路程的車速相等，于是列出方程：

解此方程直接求出王家莊到翠湖間的路程是230千米。

解法2. 如圖，汽車勻速行駛途經(jīng)王家莊、青山、秀水三地，翠湖在青山、秀水兩地之間，距青山50千米，距秀水70千米，如果設王家莊到青山是y千米，則王家莊到秀水的路程是（y+50+70）千米，汽車的速度是 千米/時或 千米/時；

根據(jù)汽車勻速行駛，可知各段路程的車速相等，于是列出方程：

解此方程求出y，所以王家莊到翠湖的路程有（y+50）千米

二、某些幾何題可引導學生巧添輔助線

如：新人教版七年級數(shù)學下冊第七章三角形教學中，有這樣一個例題：如圖，C島在A島的北偏東50°方向，B島在A島的北偏東80°方向，C島在B島的北偏西40°方向.從C島看A、B兩島的視角∠ACB是多少度？

解法1（教材給出的方法）

∠CBA=∠BAD-∠CAD=80°-50°=30°，

由AD∥BE，可得∠BAD+∠ABE=180°，

所以∠ABE=180°-∠BAD=180-80°=100°，

∠ABC=∠ABE-∠EBC=100°-40°=60°，在△ABC中，

∠ACB=180-∠ABC-∠CAB=180°-60°-30°=90°

解法2、過點C作AD的垂線，交直線AD于點M，交BE于點N

由CM⊥AD可得， ∠AMC=90°，

由AD∥BE可得

∠BNC=180°-∠AMC

=180°-90°=90°

在△ACM中，∠ACM=180°-∠AMC-∠CAM=180-90°-50°=40°

在△BCN中，∠BCN=180°-∠BNC-∠CBN=180°-90°-40°=50°

由平角的定義可得，

∠ACB=180°-∠ACM-∠BCN =180°-40°-50°=90°

當然，還有很多種解法，這里就不一一列舉了，可見，數(shù)學教學中的一題多解有利于鍛煉學生思維的靈活性，活躍思路，讓學生能根據(jù)題目給出的已知條件，并結合自身情況，靈活地選擇解題切入點。

以上是利用一題多解的方法培養(yǎng)學生發(fā)散思維的幾個例子，對于這樣的教學方法，還是有幾個問題需要說明：

1、采用上述教學方法比較費時間，且不是每個例題都有必要和可能這樣教學。教師應該在充分研究例題的基礎上，有選擇的適時采用，次數(shù)不宜過多。

2、不同的教師對同一例題的上述教學方法的設計可能不相同，這是正常現(xiàn)象。但是，任何這類教學方法的設計，都必須在充分了解學生認知水平的情況下進行。特別要掌握學生平時解題習慣采用的思路。教學時給予中肯的評價，針對學生的弱點，有意識到編排到教學中去，使學生能真正受益。

3、一道例題的各種解題思路，教學時一般不由教師提出。最好先由學生充分思考后提出方案，教師歸納各種不同意見，整理為幾種有代表性的思路。有時學生提出的思路是教師事前沒有想到的，這就要求教師有較高的鑒別能力，必要時還要調整原來的教學安排，以適應教學中發(fā)生的新情況。

總之，一題多解有利于學生思維能力的提高。隨著科學技術的不斷發(fā)展，對未來人才的要求，特別是對具有創(chuàng)造能力人才的要求越來越高，因此發(fā)展學生的創(chuàng)造能力，已經(jīng)成為提高學生素質的核心內容之一，培養(yǎng)學生良好的發(fā)散思維習慣是提高創(chuàng)造能力的重要環(huán)節(jié)，“一題多解”有利于調動學生的學習積極性，在教師的啟發(fā)、引導下，對一道題學生可能提出兩種、三種甚至更多種解法，課堂成為同學們合作、爭辯、探究、交流的場所，它能極大提高學生的學習興趣，更能滿足不同層次學生的要求。這時學生的思維已經(jīng)不是簡單的“發(fā)散”，進一步的“聚斂”，而且在向更高一層的“組合”發(fā)展，這已經(jīng)是創(chuàng)新的開始。

【參考文獻】

[1]新人教版九年義務教育初中數(shù)學教材（七年級下冊）；

[2]《課程資源庫——思維創(chuàng)新訓練》（新疆青少年出版社、喀什維吾爾文出版社）；