級(jí)數(shù)的“人文概述”

周東瓊

【摘要】級(jí)數(shù)是研究函數(shù)的一個(gè)重要工具，在理論上和實(shí)際應(yīng)用中它都處于重要地位。級(jí)數(shù)能表示某些非初等函數(shù)，微分方程的解就常用級(jí)數(shù)表示；同時(shí)，可將函數(shù)表為級(jí)數(shù)，從而借助級(jí)數(shù)去研究函數(shù)，如用冪級(jí)數(shù)研究非初等函數(shù)，以及進(jìn)行近似計(jì)算等。因此我們有必要學(xué)習(xí)級(jí)數(shù)這個(gè)概念，本文對(duì)級(jí)數(shù)思想的起源與發(fā)展、級(jí)數(shù)的研究?jī)?nèi)容進(jìn)行探究。

【關(guān)鍵詞】函數(shù) 級(jí)數(shù) 起源 發(fā)展 斂散性

那么，什么是級(jí)數(shù)呢？看下面兩個(gè)例子。

例1.“一尺之棰，日取其半，萬(wàn)世不竭”。如果把每一天截下的那一部分的長(zhǎng)度加起來(lái)，則得到下面的式子：

該式子中有無(wú)限個(gè)數(shù)相加。從直觀上看，它的和顯然是1。

例2.將 與 無(wú)限循環(huán)相加，得到下面的式子：

若將它寫成： 則結(jié)果無(wú)疑等于0

但是，若寫成 則結(jié)果又等于1。

有限個(gè)常數(shù)相加一定有和，但是無(wú)窮個(gè)常數(shù)相加（數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)）或無(wú)窮個(gè)函數(shù)相加（函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)）的結(jié)果就不盡然了。

1.級(jí)數(shù)的萌芽

歷史上級(jí)數(shù)出現(xiàn)得很早，早在公元前4世紀(jì)就知道公比小于1（大于零）的幾何級(jí)數(shù)具有和數(shù)。14世紀(jì)，N.奧爾斯姆證明了調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散到+∞。但是直到接近于微積分發(fā)明的年代，我們才能脫離幾何表示而達(dá)到級(jí)數(shù)和的純算術(shù)概念，進(jìn)一步把級(jí)數(shù)視為獨(dú)立的算術(shù)運(yùn)算并正式使用收斂與發(fā)散兩詞。級(jí)數(shù)收斂概念的逐漸明確有力地幫助了微積分基本概念的形成。

2.級(jí)數(shù)的發(fā)展及理論形成

微積分在創(chuàng)立的初期就為級(jí)數(shù)理論的開展提供了基本的素材。它通過(guò)自己的基本運(yùn)算與級(jí)數(shù)運(yùn)算的純形式的結(jié)合，達(dá)到了一些初等函數(shù)的（冪）級(jí)數(shù)展開。在此以后，級(jí)數(shù)便作為分析函數(shù)的等價(jià)物，用來(lái)計(jì)算函數(shù)的值，代表函數(shù)參加運(yùn)算，同時(shí)所得結(jié)果闡釋函數(shù)的性質(zhì)。在運(yùn)算過(guò)程中，級(jí)數(shù)被視為多項(xiàng)式的直接的代數(shù)推廣。這些基本觀點(diǎn)的運(yùn)用一直持續(xù)到19世紀(jì)初年，獲得了豐碩的成果。這些成果主要?dú)w功于歐拉、雅各布第一·伯努利、J.-L.拉格朗日、傅里葉等。

同時(shí)，悖論性等式的不時(shí)出現(xiàn)（如1/2=1-1+1-1+…，-1=1+2+4+8+…之類）促使人們逐漸地自覺到級(jí)數(shù)的無(wú)限多項(xiàng)之和有別于有限多項(xiàng)之和這一基本事實(shí)，注意到函數(shù)的級(jí)數(shù)展開的有效性表現(xiàn)為級(jí)數(shù)的部分和無(wú)限趨近于函數(shù)值這一收斂現(xiàn)象，提出了收斂定義的確切陳述，從而開始了分析學(xué)的嚴(yán)密化運(yùn)動(dòng)（B.波爾查諾1817、柯西1821、阿貝爾1826）。

微積分基本運(yùn)算與級(jí)數(shù)運(yùn)算相結(jié)合，引導(dǎo)人們加強(qiáng)或縮小收斂性而提出一致收斂的概念[K.（T.W.）外爾斯特拉斯（1841）、G.G.斯托克斯（1847）、 P.L.von賽德爾（1848）]。然而（在天文學(xué)、物理學(xué)中，甚至在柯西本人的研究工作中）函數(shù)的級(jí)數(shù)展開，作為一整個(gè)函數(shù)的分析等價(jià)物，在收斂范圍以外的不斷的成功的使用，則又迫使人們推廣或擴(kuò)大收斂概念而提出漸近性與可和性（龐加萊，1886；切薩羅，1890；波萊爾，1895）。

級(jí)數(shù)理論中的基本概念總是在其樸素意義獲得有效使用的過(guò)程中形成及發(fā)展的。高等數(shù)學(xué)對(duì)于級(jí)數(shù)的研究，級(jí)數(shù)求和問(wèn)題是級(jí)數(shù)理論中相當(dāng)重要的內(nèi)容，由于級(jí)數(shù)求和的方法很多而且難度大，因此是數(shù)學(xué)分析學(xué)中的難點(diǎn)之一。目前，系統(tǒng)講解級(jí)數(shù)求和的論著相對(duì)較少，但相關(guān)的文獻(xiàn)資料還是非常豐富。我了解到可以利用子列極限求部分和、微分方程法、歐拉常數(shù)法、利用復(fù)數(shù)求級(jí)數(shù)和等等方法。 我們很有必要了解簡(jiǎn)單的級(jí)數(shù)斂散性的判定及特殊級(jí)數(shù)的展開方式。

【參考文獻(xiàn)】

[1]武娜.傅里葉級(jí)數(shù)的起源與發(fā)展[D].河北師范大學(xué).2008.

[2]王輝.無(wú)窮級(jí)數(shù)的發(fā)展演化[D].河北師范大學(xué).2006.

[3]盛立剛.級(jí)數(shù)-研究函數(shù)最重要的工具[J].工科數(shù)學(xué).1993（S1）：142-136.

[4]張淑輝.冪級(jí)數(shù)的應(yīng)用[J].太原教育學(xué)院學(xué)報(bào).2005（23）：94-96.

[5]史向平，智友海.淺談函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)的方法[J].徐州工程學(xué)院數(shù)學(xué)與物理科學(xué)學(xué)院.2014（1）：110-111.

[6]王全來(lái).無(wú)理性冪級(jí)數(shù)理論起源和發(fā)展[J].咸陽(yáng)師范學(xué)院學(xué)報(bào).2015（6）：1-5.