探討數(shù)學思想方法在大學數(shù)學教學中的滲透

摘 要：教師如何在大學數(shù)學教學中讓學生通過類比、觀察、分析、綜合、抽象和概括等方法，形成數(shù)學思想，學會應用數(shù)學方法，可以從以下幾個方面著手：一是挖掘數(shù)學思想方法，養(yǎng)成發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題的意識；二是學習數(shù)學思想方法，增強思維的縝密性與深刻性；三是引導學生從數(shù)學思想的高度去總結、歸納、深化，增強學習與原理的遷移能力。

關鍵詞：數(shù)學思想；思維意識；滲透與應用

中圖分類號：G642 文獻標識碼：A

一、分類的思想方法

所謂分類思想，就是根據(jù)數(shù)學本質(zhì)屬性的相同點和不同點，將數(shù)學研究對象分為不同種類的一種數(shù)學思想。一般按照“明確對象—確定標準—逐類討論—歸納總結”思維步驟來分析問題。

如矩陣按元素間的關系分類，可以分為矩陣的等價關系、合同關系、相似關系；將次數(shù)大于零的多項式分為可約與不可約兩類；將二次型分為正定、負定、不定三類；利用向量空間的同構關系對向量空間、歐氏空間按維數(shù)分類等。以下2個概率問題的解答需要多個分支的綜合得出答案。

例1：今安排5列汽車停在5個車位上。如果甲車不許停在最左邊，乙車不許停在最右邊，問有幾種排法？

分析：先考慮甲車。如果甲車在最右邊，余下的4輛車的排列不受限制，一次有A4種排法；如果甲車不在最右邊，則只能排在中間3個位置，此時乙車也只有3個位置可以選擇，因此有A1A1A3種排法。所以，共有A4+A1A1A3=78種。此題為大專概率統(tǒng)計學中基礎的題目，通過對甲乙的分類討論，滲透分類思想方法，可提高思維的嚴密性。

例2：一批零件共100個，次品率為10%，每次從其中取一個零件，不放回，如果第一次取得合格品后，就不再取零件，求三次內(nèi)取得合格品的概率。

分析：將第一次或第二次取得合格品，或第三次才取得合格品共分3類進行討論。令A=“在三次內(nèi)取得合格品”，則A=A1+A1A2+A1A2A3故P（A）= P（A1）+P（A1A2）+P（A1A2A3）=0.993

以上數(shù)學問題的解法，實質(zhì)是變換命題形式和分類思想的反復運用，此類數(shù)學問題的每一步轉換，都遵循著分類思想方法“總—分—總”的規(guī)律。通過這類數(shù)學問題的解決，可避免分類中重復和遺漏的現(xiàn)象，學生能夠領悟分類的魅力。

二、類比的思想方法

所謂類比是這樣的一種推理，它把不同的兩個（兩類）對象進行比較，根據(jù)兩個（兩類）對象在一系列屬性上的相似，而且已知其中一個對象還具有其他的屬性，由此推出另一個對象也具有相似的其他屬性的結論。類比有結構類比、降維類比等。

如n 維空間中的鄰域、兩點間的距離、點列極限等基本概念以及連續(xù)性定理等可與一維空間中的相應內(nèi)容作類比。由二維、三維空間類比推出一般數(shù)域P上的抽象向量空間的概念。由整數(shù)整除理論類比推出數(shù)域P上的多項式的整除理論。由直角坐標系下幾何向量的長度、夾角、內(nèi)積等，類比在標準正交基下n維歐氏空間中向量的長度、夾角、內(nèi)積等。一元函數(shù)微積分與多元函數(shù)微積分中許多概念、定理可作類比和比較。離散求和的數(shù)項級數(shù)、函數(shù)項級數(shù)與連續(xù)求和的廣義積分、含參量廣義積分同樣可作類比和比較。又如多元函數(shù)的極限、連續(xù)、偏導數(shù)、全微分、重積分等重要概念與一元函數(shù)的極限、連續(xù)、導數(shù)、微分、積分相類比，如多元函數(shù)類比一元函數(shù)的連續(xù)、可偏導、可微的三者關系時：一元函數(shù)可導等價可微，可導與可微可以推出連續(xù)；多元函數(shù)可微可以推出連續(xù)和可偏導，可偏導推不出可微和連續(xù)。此外，不同數(shù)學課程中的內(nèi)容也可作類比和比較，如微積分中函數(shù)的極限、連續(xù)、導數(shù)、微分、積分等概念可與復變量函數(shù)的相應概念作類比和比較，線性常微分方程 （組 ） 的基本理論可與線性代數(shù)方程組的基本理論作類比。

例3：某班學生40人，求有2人的生日都是9月1日的概率P（A）（一年以365天計算）。

分析：可以如此類比，365 天好比365個球，即袋子里有l(wèi)，2，…，364，365號球。兩人或多人生日相同，比作有放回抽樣時2次或多次抽到的球是同一個球。因此，基本事件總數(shù)為36540，可用古典概型求解或伯努利概型求解，P（A）=C2 。

總之，教師應根據(jù)類比教學內(nèi)容，使學生體會類比內(nèi)容的聯(lián)系和本質(zhì)差異，滲透類比思想，也有利于學生進行合情推理。

三、轉化與化歸的思想方法

轉化與化歸思想方法，就是在研究和解決有關數(shù)學問題時采用某種手段將問題通過變換使之轉化，進而解決問題的一種方法。通過不斷轉化，把不熟悉、不規(guī)范、復雜的問題轉化為熟悉、規(guī)范甚至模式法、簡單的問題。一般在數(shù)與數(shù)、形與形、數(shù)與形之間進行轉化與化歸，也可以在題意間進行等價轉化。

如求事件A的概率，有時可轉化為求A的逆事件的概率，離散型隨機變量的超幾何分布問題可以轉化為二項分布來解決，概率很小時二項分布又可以轉化為泊松分布；連續(xù)型隨機變量可轉化為標準正態(tài)變量等。以上都用到了轉化與劃歸的思想方法。

在高等數(shù)學中，很多問題都要用轉化和化歸思想方法去解決，它是發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題的一個重要的思想方法。如果在平時的教學中，老師能注意去挖掘和善于去引導，使學生形成良好的轉化和化歸意識，就可以化繁為簡、化隱為顯、化難為易、化抽象為具體等，有利于學生形成和發(fā)展辯證思維能力。

四、極限的思想方法

所謂極限的思想，是指用極限概念分析問題和解決問題的一種數(shù)學思想。極限思想是微積分的基本思想，數(shù)學分析中的一系列重要概念，如函數(shù)的連續(xù)性、導數(shù)以及定積分等都是借助于極限來定義的?？梢哉f：數(shù)學分析就是用極限思想來研究函數(shù)的一門學科。

如定積分定義的思想來源可以概括為：分割、求和、取極限。這定義的實質(zhì)就是局部上以直代曲，再整體上通過求和取極限，即“化整為零求近似，聚零為整求極限”。概率統(tǒng)計中大數(shù)定理和中心極限定理、微分方程討論解的奇異極限和泛函分析中馬氏鏈的極限性質(zhì)等都體現(xiàn)了極限思想的廣泛應用。

在大學數(shù)學教學中，教師應通過設計學習情境，使教學過程充分揭示極限思想的形成過程，幫助學生領會蘊涵在其中的極限思想，從而激發(fā)其學習極限的興趣。

五、培養(yǎng)思維品質(zhì)，提煉數(shù)學思想

數(shù)學思想方法是數(shù)學的精髓和靈魂，在大學數(shù)學教學中，或是教材中，都隱性地存在著。因此，我們應結合大學生的思維特點，更多從教材中、教學中以問題為出發(fā)點，以數(shù)學思想方法為主線，以解決問題為目的，讓學生在學習過程中發(fā)揮主動性，把數(shù)學思想顯性化。這也有利于提高大學生學習數(shù)學的趣味性，培養(yǎng)學生思維的條理性、邏輯性和創(chuàng)新性，為學生以后工作和生活提供指導、增強學習與原理的遷移能力，從而真正達到教師教數(shù)學，學生學數(shù)學的目的——學好數(shù)學知識點，具有理性精神和掌握數(shù)學思想方法。正如名言所說：“In Cambridge，we teach you everything from nothing.”

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