一維波動方程混合問題的通解

樊龍

(山西大同大學(xué)煤炭工程學(xué)院，山西大同037000)

一維波動方程混合問題的通解

樊龍

(山西大同大學(xué)煤炭工程學(xué)院，山西大同037000)

一維情形下波動方程的混合問題(初邊值問題)是一類重要的物理模型，常用求解方法是波的反射原理，計算特征線在邊界上的反射次數(shù)得出問題的解，但是弊端在于計算量大，且沒有通用的求解公式，并不能反映出波的反射實質(zhì)，另一種方法是Fourier級數(shù)法，利用分離變量將原方程化為常微分方程組，再利用常微分方程特征理論得出級數(shù)解，同樣不易計算。為了簡化計算過程，先對初值條件φ(x),ψ(x)根據(jù)邊值條件進行相應(yīng)的奇偶性延拓，可將原問題化簡為初值問題，由D’Alambert公式給出問題在R上的解，再將問題的全局解限定在有限區(qū)間[0,l]上得出通解公式，結(jié)果具有一般性。

波動方程；D’Alambert公式；延拓

引言

本文主要討論以下兩類混合問題，

(1)

邊值條件為

ux(0,t)=0，ux(l,t)=0，t≥0

(2)

或者邊值條件為

u(0,t)=0，ux(l,t)=0，t≥0

(3)

對于以上問題求解，常用的方法有波的反射原理[1]以及Fourier級數(shù)方法(分離變量法)[2-3]。文獻[4]利用特征線法，給出方程在可解區(qū)域內(nèi)的通解公式，提供了另一種計算方法，文獻[5]中提及了通過將函數(shù)延拓，將求解區(qū)域進行劃分，然后逐個進行討論，利用波的反射原理，給出各個可解區(qū)域內(nèi)解的顯示表達，最近，在文獻[6]中，利用分離變量方法求解了幾類特殊的波動方程，在文獻[7]中利用Laplace變換對有限一維空間彈性動力學(xué)邊值問題給出解的嚴(yán)格推導(dǎo)。

以往的工作都集中在具體的求解過程及方法，并未給出一個確切的解的表達式，本文的工作完善了波動方程在通解公式方面的內(nèi)容，并且采用不同于以往的方法，直接利用D’Alambert公式計算，從而避開各區(qū)域討論的繁瑣過程，直接給出方程在各個區(qū)域的解的顯示表達，且結(jié)果具有一般性。

1 主要結(jié)論

引理1對于問題(1)，若初始函數(shù)φ(x),ψ(x)都是關(guān)于x0的奇函數(shù)，則方程的解在任何時間都有u(x0,t)=0。

證明由達朗貝爾公式，方程的解為

由于φ(x),ψ(x)都是關(guān)于x0的奇函數(shù)，有

φ(x0+C)=-φ(x0-C)，ψ(x0+C)=-ψ(x0-C)

令τ=2x0-ξ

證畢。

引理2對于問題(1)，若初始函數(shù)φ(x),ψ(x)都是關(guān)于x0的偶函數(shù)，則方程的解在任何時間都有ux(x0,t)=0。

證明

φ(x)為關(guān)于x0偶函數(shù)，則φ′(x)為關(guān)于x0的奇函數(shù)，所以ux(x0,t)=0，證畢。

由引理1和引理2，問題(1)、(2)以及(1)、(3)可對初始函數(shù)φ(x),ψ(x)進行相應(yīng)的延拓，再利用達朗貝爾公式得出通解。

定理1對于問題(1)、(2)，對函數(shù)φ(x),ψ(x)對于點x=0,x=l均作偶延拓，即

(-1)m-1(m+δm)l]+φ[(-1)n(x-at)+

(-1)n-1(n+δn)l]}+

定理2對于問題(1)、(3)，對函數(shù)φ(x),ψ(x)關(guān)于x=0作奇延拓，對函數(shù)φ(x),ψ(x)關(guān)于x=l作偶延拓即

u(x,t)=

其中δk定義同定理1。

2 結(jié)論證明

定理1的證明：首先問題(1)、(2)的解可用達朗貝爾公式表示

(4)

由引理1、引理2以及Φ(x)，Ψ(x)均為關(guān)于x=1,x=l的偶函數(shù)，可知ux(0,t)=0，ux(l,t)=0，滿足邊值條件。

由Φ(x),Ψ(x)的定義，容易得到

(5)

(6)

分析積分部分，將問題分情況討論：

(1)n為偶數(shù)，m為偶數(shù)

由于Ψ(x)是關(guān)于x=0,l的偶函數(shù)，所以對于k∈Ζ有

進而

綜合

(2)n為奇數(shù)，m為偶數(shù)

同理，

(3)n為偶數(shù)，m為奇數(shù)

(4)n為奇數(shù)，m為奇數(shù)

所以

(7)

將式(5)、式(7)代入式(4)，定理1證畢。

定理2的證明：方法類似于定理1，由引理1、引理2以及Φ(x)，Ψ(x)的定義，可知u(0,t)=0,ux(l,t)=0；易知

(8)

(9)

(1)n為偶數(shù)，m為偶數(shù)

由(9)式可知

因為Ψ(x)是關(guān)于2kl(k∈Z)的奇函數(shù)，且m,n均為偶數(shù)，所以

同理

所以可得

(2)n為奇數(shù)，m為偶數(shù)

同理，

(3)n為偶數(shù)，m為奇數(shù)

(4)n為奇數(shù)，m為奇數(shù)

綜合可得

(10)

將式(8)、式(10)代入式(4)，定理2證畢。

推論1當(dāng)邊值條件為u(0,t)=0，u(l,t)=0，t≥0，解為

u(x,t)=

(-1)nφ[(-1)n(x-at)+(-1)n-1(n+δn)l]}+

推論2當(dāng)邊值條件為ux(0,t)=0，u(l,t)=0，t≥0，解為

u(x,t)=

證明過程類似定理1，定理2，在此省略。

3 實例

求解如下混合問題

其他區(qū)域同理，這也體現(xiàn)了在不同區(qū)域，由于沿各邊界反射次數(shù)不同，所以得到不同形式的解，反映出波的反射原理的實質(zhì)。

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The General Solution to Mixed Problem of a 1D Wave Equation

FANLong

(School of Coal Engineering, Shanxi Datong University, Datong 037000, China)

The mixed problem of 1D wave equation is an important model in physics. The most commonly used method is the principle of reflection wave, which calculates the number of reflection on the boundary to obtain the solution of the problem, but the disadvantage of this method is that the scale of calculation is large and general formula is not given, at the same time, the essence of reflection is not reflected. Another method is the Fourier series which is also hard to calculate. With method of Fourier series, ordinary differential equations can be obtained by separation of variables, then the problem is solved by using characteristic method. In the purpose of simplifying the calculation, taking corresponding extension of initial valueφ(x),ψ(x)accordingtotheboundaryvalue,theproblemcanbesimplifiedintotheformofinitialproblem,thenthesolutioninRcanbegotbyusingD’Alambert’sformula,andthegeneralsolutionistherestrictionofglobalsolutionon[0,l],meanwhiletheresultisgeneral.

wave equation; D’Alambert’s formula; extensions

2016-11-27

山西大同大學(xué)教學(xué)改革項目(XJY2013211)

樊 龍(1989-)，男，山西忻州人，助教，碩士，主要從事偏微分方程方面的研究，(E-mail)fanlongmath@163.com

1673-1549(2017)01-0092-05

10.11863/j.suse.2017.01.18

O175.27

A