Huppert可裂性定理的一個(gè)推廣*

賈婷婷， 郝成功

(山西大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院， 山西 太原 030006)

Huppert可裂性定理的一個(gè)推廣*

賈婷婷， 郝成功

(山西大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院， 山西 太原 030006)

研究了一個(gè)有限群何時(shí)在某個(gè)正規(guī)子群上可裂的問題， 推廣了著名的Huppert可裂性定理， 主要把Huppert可裂性定理中討論的p-版本推廣到π-版本并對其進(jìn)行了詳細(xì)的證明， 從而得到一個(gè)更為廣泛的證明可裂性的判據(jù). 其證明引用了經(jīng)典的Gaschütz可裂性定理， 運(yùn)用了傳輸同態(tài)， 采用了由特殊到一般的證明思路. 最后， 作為對該定理的實(shí)際應(yīng)用， 給出了若干經(jīng)典的傳輸定理的統(tǒng)一的簡化證明.

可裂性； 正規(guī)子群；π-商群； 交換π-商群

0 引 言

本文只考慮有限群， 所使用的符號和術(shù)語大多是標(biāo)準(zhǔn)的， 可參考Isaacs的群論教程[1-2]， 對于正規(guī)p-補(bǔ)的一些結(jié)論可參見文獻(xiàn)[3]. 特別地， 本文約定p為某個(gè)素?cái)?shù)，π為某個(gè)非空的素?cái)?shù)集，π′為π在全體素?cái)?shù)集中的補(bǔ)集. 給定正整數(shù)m， 記π(m) 為m的全體素因子. 稱群G為π-群， 如果|G|的每個(gè)素因子均屬于π， 稱x∈G為一個(gè)π-元， 如果〈x〉是π-群. 當(dāng)π={p}， 則π-群成π′-群分別簡稱為p-群或p′-群，p-元和p′-元類似定義.

設(shè)G為群，N?G， 若存在H≤G， 滿足NH=G且N∩H=1， 則稱H為N在G中的一個(gè)補(bǔ)， 也稱G在正規(guī)子群N上是可裂的. 熟知判別群在一個(gè)正規(guī)子群上的可裂性是有限群理論中的一個(gè)重要問題， 至今已獲得了很多研究成果， 其中特別著名的是Schur-Zassenhaus定理[4]， Gaschütz定理[4]， 以及Huppert定理[5]. 這些經(jīng)典定理有很多的推廣和應(yīng)用， 例如對可裂擴(kuò)張的Schur乘子群， 自同構(gòu)群和置換表示等的研究， 參見文獻(xiàn)[6-10]， 顯然這類問題具有廣泛的應(yīng)用前景和很大的研究價(jià)值. 特別地， 可裂性判別問題在有限群的傳輸理論中的許多著名定理的設(shè)計(jì)和證明中， 均發(fā)揮著極其重要的作用.

本文將研究Huppert的一個(gè)著名的可裂性定理. 為此先固定一些符號和記法. 對有限群G， 記Oπ(G)為G中所有π′-元所生成的子群， 并且Aπ(G)=Oπ(G)G′， 顯然都是G的特征子群， 使得G/Oπ(G)和G/Aπ(G)分別是G的最大π-商群和最大交換π-商群. 當(dāng)π={p}時(shí)， 則上述兩個(gè)子群分別簡記為Op(G)和Ap(G). 以下是Huppert可裂性定理， 證明可見定理6.16[5].

Huppert可裂性定理. 設(shè)G為群，N?G，H≤G， 使得G=NH且J=N∩H. 如果K≤J為H的一個(gè)正規(guī)子群， 使得J/K為交換p-群， |G∶H|為p′-數(shù)且Op(N)=N， 則J/K在H/K中有補(bǔ).

上述Huppert定理有很多應(yīng)用， 例如， 可給出著名的Tate傳輸定理[11]的一個(gè)群論證明， 避免了原始證明中的上同調(diào)技術(shù). 然而， Huppert定理只處理了單個(gè)的素?cái)?shù)p， 并沒有涉及到素?cái)?shù)集合π， 而很多經(jīng)典的傳輸定理都涉及到素?cái)?shù)集合π， 這就極大地限制了Huppert定理的應(yīng)用范圍.

本文主要結(jié)果是給出了上述Huppert可裂性定理的一個(gè)推廣， 不僅得到了其π-版本， 而且給出的證明更加簡明， 可替代Huppert可裂性定理原始的復(fù)雜證明.

定理 1 設(shè)G為群，N?G且H≤G. 令J=N∩H. 如果K≤J是H的正規(guī)子群， 且滿足：

1) 交換條件：J/K為交換群；

2) 互素條件： (|J∶K|, |G∶H|)=1；

3)π-商群條件：N=Aπ(N)， 其中π=π(J/K).

則J/K在H中有補(bǔ)， 即存在子群X使得JX=H且J∩X=K.

作為定理1的應(yīng)用， 本文將直接推出若干著名的經(jīng)典傳輸定理.

1 證明及應(yīng)用

為了證明定理1， 需要引用下述經(jīng)典的Gaschütz可裂性定理[12].

Gaschütz可裂性定理 設(shè)Γ為群，A是Γ的交換正規(guī)子群. 如果A≤U≤Γ， 且(|A|,|?！肬|)=1， 則A在Γ中有補(bǔ)當(dāng)且僅當(dāng)A在U中有補(bǔ).

證明 見定理3.3.2[4].

定理 1 的證明 根據(jù)所給條件及所證結(jié)論， 不妨設(shè)G=NH. 此時(shí)G/N?H/J， 故存在自然的滿同態(tài)

使得Kerρ=N. 因?yàn)镵≤J， 所以有明顯的滿同態(tài)σ∶H/K→H/J，hK|hJ，h∈H.

考慮H/K與G的外直積H/K×G， 令

易知Γ是H/K×G的子群. 設(shè)α∶Γ→G為從Γ到G的自然投射， 則α是一個(gè)滿同態(tài). 再令A(yù)=Kerα， 從定義可知

且A?J/K.

斷言A在Γ中有補(bǔ). 令U=α-1(H)， 則U={(hK,h′)|h∈H,h′∈hJ}， 且有|Γ∶U|=|G∶H|. 記D={(hK,h)|h∈H}， 則U=AD且A∩D=1. 又由A??？傻肁?U， 表明D是U中正規(guī)子群A的補(bǔ). 已知A?J/K是Γ的變換正規(guī)子群，A≤U≤Γ， 且(|A|,|Γ∶U|)=(|A|,|G∶H|)=1， 因此利用上述Gaschütz定理， 可知A在Γ中有補(bǔ).

記T=θ(G)∩(J/K)， 只需證T=1. 因?yàn)棣姚?ρ， 所以

下面是定理1的若干應(yīng)用， 即重新給出幾個(gè)經(jīng)典傳輸定理的簡潔的統(tǒng)一證明. 首先給出Tate著名的傳輸定理的一個(gè)簡化證明， 原始證明使用了上同調(diào)技術(shù)， 見文獻(xiàn)[11].

Tate定理 設(shè)G為群，P∈Sylp(G)且P≤H≤G， 則G/Op(G)?H/Op(H)當(dāng)且僅當(dāng)G/Ap(G)?H/Ap(H).

證明 必要性是顯然的， 因此只證充分性. 令J=H∩Op(G)， 只需證J=Op(H). 顯然有Op(H)≤J， 故假設(shè)Op(H)

下面結(jié)論是S.Gagola和I. Isaacs[13]的一個(gè)新結(jié)果， 最初想法是給出Tate定理的一個(gè)簡潔的群論證明， 但對傳輸同態(tài)的像做了精細(xì)的分析.

Gagola-Isaacs定理 設(shè)G為群，P∈Sylp(G)且P≤H≤G， 則G/Ap(G)同構(gòu)于H/Ap(H)的一個(gè)直積因子.

證明 首先斷言Ap(H)覆蓋Ap(G)/Op(G). 由(|G∶Op(G)|,|G∶H|)=1， 知G=HOp(G). 注意到Op(G)Ap(H)?Op(G)H， 故

為交換p-群， 表明Ap(G)≤Op(G)Ap(H)， 但反包含是顯然的， 因此Ap(G)=Op(G)Ap(H). 即斷言成立.

令J=H∩Ap(G),K=Ap(H)， 則K≤J,G/Ap(G)?H/J. 由定義，H/K是變換群， 故J/K交換. 又因?yàn)镻≤H≤G， 所以|G∶H|是p′-數(shù)， 而J/K是p-群， 故(|J∶K|,|G∶H|)=1. 另外顯然Ap(G)=Ap(AP(G)). 由定理 1 知存在子群Ap(H)≤X≤H滿足H/K=(J/K)×(X/K). 又因X/K?H/J， 故H/K=(J/K)×(H/J). 因此G/Ap(G)同構(gòu)于H/Ap(H)的一個(gè)直積因子. 證畢.

以下定理是J. Tate在文獻(xiàn)[11]中用上同調(diào)方法證明的一個(gè)結(jié)論， 但其證明較為復(fù)雜. 后來P. Roquette在文獻(xiàn)[14]中用群論的方法證明了該結(jié)果. 下面將使用定理 1 直接證明該定理.

最后給出Suzuki傳輸定理[15]的一個(gè)證明.

Suzuki定理 設(shè)G為群，N?G,H≤G且J=H∩N. 如果|G∶H|為π′-數(shù)， 并且J/Oπ(J)≤Φ(H/Oπ(J))， 則Oπ(J)=H∩Oπ(N).

[1]Isaacs I M. Finite group theory[M]. US: American Mathematical Society, 2008.

[2]徐明曜. 有限群初步[M]. 北京： 北京大學(xué)出版社， 2008.

[3]Thompson J G. Normalp-complements for finite groups[J]. J. Alg., 1964, 1: 43-46.

[4]Kurzweil H, Stellmacher B. The theory of finite groups[M]. New York: Sringr-Verlag, Inc., 2004.

[5]Huppert B, Blackbum N. Finite group III[M]. New York: Springer-Verlag, 1982.

[6]Haebich W. The multiplicator of a splitting extension[J]. Journal of Algebra, 1977, 44(2): 420-433.

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[8]Easdown D, Hendriksen M. Minimal permutation representations of semidirect products of groups[J]. Journal of Group Theory, 2016, 19(6): 1017-1048.

[9]秦應(yīng)兵， 王文娟， 段澤勇. 阿貝爾群被超-(循環(huán)或有限)群的可裂擴(kuò)張(I)[J]. 純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)， 2003， 19(2)： 112-118. Qin Yingbing, Wang Wenjuan, Duan Zeyong. Splitting extensions of Abelian by hypercyclic or finite group (I)[J]. Pure and Applied Mathematics, 2003, 19(2): 112-118. (in Chinese)

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[11]Tate J. Nilpotent quotient group[J]. J. Topology, 1964, 3: 109-112.

[12]Gaschütz W. Zur erweiterungstheorie der endlichen gruppen[J]. Journal Für Die Reine Und Angewandte Mathematik, 1952, 190: 93-107.

[13]Gagola S, Isaacs I M. Transfer and Tate’s theorem[J]. Arch. Math., 2008, 91(4): 300-306.

[14]Roquette P. über die existenz von hall-komplementen in endlichen gruppen[J]. J. Alg., 1964, 1: 342-346.

[15]Suzuki M. Group theory II[M]. New York: Springer-Verlag, 1986.

A Generalization of Huppert’s Splitting Theorem

JIA Ting-ting, HAO Cheng-gong

(School of Mathematical Sciences, Shanxi University, Taiyuan 030006, China)

The problem concerning when a finite group is splitting over a normal subgroup is studied and the famous Huppert’s splitting theorem ofp-version is generalized toπ-version. A detailed proof is supplied and a broader splitting criterion is obtained. The proof used the classical Gaschütz theorem and the transfer homomorphism. The main idea of the proof is from special to general. Finally, as applications of the theorem, unified and simplified proofs of some classical theorems in the theory of transfer are given.

splitting; normal subgroup; π-quotient; abelian π-quotient

1673-3193(2017)01-0027-04

2016-07-04

山西省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(201601D011006)

賈婷婷(1990-)， 女， 碩士生， 主要從事群論的研究.

O152.1

A

10.3969/j.issn.1673-3193.2017.01.006