日徑流序列混沌識(shí)別中合理長度的確定

周長讓+陳元芳+顧圣華+黃琴

摘要：混沌理論是進(jìn)行水文時(shí)間序列分析的重要手段。為保證分析結(jié)果的可靠，主張充分利用現(xiàn)有資料，但目前缺乏時(shí)間序列長度對(duì)混沌特性識(shí)別影響的研究。以長江上游武隆站和北碚站日徑流序列（1951年-2012年）為例，通過對(duì)二者進(jìn)行混沌分析，研究了最大Lyapunov指數(shù)對(duì)序列長度的響應(yīng)。結(jié)果表明，日徑流時(shí)間序列長度過小時(shí)會(huì)影響混沌識(shí)別結(jié)果，使結(jié)果缺乏可靠性；并不是樣本序列長度越長混沌識(shí)別結(jié)果越好；當(dāng)序列長度達(dá)到3 000左右時(shí)，序列的混沌特性達(dá)到穩(wěn)定，結(jié)果可靠并縮短了計(jì)算時(shí)間。

關(guān)鍵詞：水文時(shí)間序列分析；日徑流時(shí)間序列；時(shí)間序列長度；混沌識(shí)別；飽和關(guān)聯(lián)維數(shù)；最大 Lyapunov指數(shù)；混沌特性

中圖分類號(hào)：TV121文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A文章編號(hào)：1672-1683（2017）01-0055-05

Abstract：Chaotic theory is an important means of hydrology time series analysis.In order to get reliable analysis results，it is recommended to make a full use of time series.But the research about how the length of time series affects the identification of chaotic characteristics is rare.In this paper，we carried out a study about the responding effect of the maximum Lyapunov exponent to the length of time series with the use of daily runoff time series of gauged stations named Wulong and Beibei in Yangtze River.The result suggested that short daily runoff time series would affect the result of chaotic identification and make the result unreliable；besides，when the length of daily runoff time series reached 3 000，the chaotic characteristics became stable and reliable，and it saved a lot of computing time at the same time.

Key words：hydrology time series analysis；daily runoff time series；the length of time series；chaotic identification；saturated correlation dimensions；the maximal Lyapunov exponents；chaotic characteristics

流域的徑流過程的研究方法和手段有很多：基于物理基礎(chǔ)的水文模型、隨機(jī)水文時(shí)間序列分析方法、人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、模糊集、模糊邏輯、模糊神經(jīng)、遺傳算法、以及混沌等[1]?；煦绗F(xiàn)象存在于諸多研究領(lǐng)域，包括天文學(xué)、生物學(xué)、化學(xué)、生態(tài)學(xué)、工程學(xué)以及物理學(xué)等[2]?；煦缈茖W(xué)是非線性科學(xué)的一個(gè)重要分支，同時(shí)是解決非線性問題的重要工具。水文現(xiàn)象是一種具有非線性規(guī)律的自然現(xiàn)象，以往的研究結(jié)果表明水文時(shí)間序列中存在混沌現(xiàn)象，因此探究水文序列的混沌特性對(duì)深入了解水文規(guī)律具有重要意義。關(guān)于利用混沌理論進(jìn)行水文時(shí)間序列分析，已經(jīng)有若干進(jìn)展。李國良[4]利用混沌理論，系統(tǒng)而全面地對(duì)時(shí)間序列的混沌分析方法進(jìn)行了介紹。樓玉[5]建立了騰龍橋站日徑流和蘭溪站月徑流的混沌徑流預(yù)報(bào)模型，模型預(yù)報(bào)結(jié)果良好。牟麗琴[6]等則對(duì)汀江流域的月降雨混沌序列進(jìn)行了混沌識(shí)別。袁鵬[7]等證明了四川省6個(gè)水文站的月降雨量時(shí)間序列可能存在混沌現(xiàn)象。周寅康[8]等對(duì)淮河流域的洪澇序列進(jìn)行了混沌識(shí)別，并確定了該時(shí)間序列的最大可預(yù)報(bào)時(shí)間長度。但是針對(duì)時(shí)間序列長度對(duì)序列混沌特性識(shí)別的影響，研究甚少。此外，在進(jìn)行相空間重構(gòu)時(shí)，考慮到不同序列長度所需要的計(jì)算時(shí)長不同，序列的混沌特性隨著序列長度的變化的規(guī)律也尚不清晰。因此探究時(shí)間序列長度與最大Lyapunov指數(shù)之間的關(guān)系，對(duì)合理選擇序列長度、混沌識(shí)別可靠性及減少計(jì)算工作量具有重要意義。

1 混沌識(shí)別與最大Lyapunov指數(shù)的計(jì)算

1.1 混沌識(shí)別

混沌是非線性動(dòng)力系統(tǒng)所特有的一種運(yùn)動(dòng)形式，它是既普遍存在又極具復(fù)雜性的現(xiàn)象[9]。混沌現(xiàn)象是貌似無序中的有序，是確定的映射中的類隨機(jī)性[10]。混沌理論在進(jìn)行時(shí)間序列分析時(shí)可分為混沌識(shí)別和混沌預(yù)測(cè)。混沌識(shí)別先對(duì)水文時(shí)間序列進(jìn)行相空間重構(gòu)，繼而在高維空間中識(shí)別其混沌特性；混沌預(yù)測(cè)主要是結(jié)合混沌識(shí)別與水文預(yù)測(cè)模型，對(duì)水文序列未來可能的變化進(jìn)行預(yù)測(cè)。

混沌識(shí)別的主要步驟為：（1）相空間重構(gòu)（自相關(guān)函數(shù)法確定延遲時(shí)間；飽和關(guān)聯(lián)維數(shù)法同時(shí)確定混沌序列的最小嵌入維數(shù)和飽和關(guān)聯(lián)維數(shù)）；（2）混沌特性的定量識(shí)別（Wolf方法確定序列的最大Lyapunov指數(shù)）。

1.2 方法介紹

1.2.1 自相關(guān)函數(shù)法確定延遲時(shí)間

自相關(guān)函數(shù)描述了序列在第i時(shí)刻和第i+τ時(shí)刻，運(yùn)動(dòng)的相似程度。一般而言，時(shí)間間隔τ越小，xi和xi+τ的相似程度越高，r（τ）也就越大。對(duì)于時(shí)間序列{x1，x2，…，xn}，自相關(guān)函數(shù)可以表示為：

實(shí)際工作中，延遲時(shí)間的選取不宜過大和過小[11]，因此應(yīng)根據(jù)自相關(guān)函數(shù)，選擇合適的延遲時(shí)間τ。一般選擇自相關(guān)函數(shù)首次經(jīng)過零點(diǎn)時(shí)對(duì)應(yīng)的時(shí)間為延遲時(shí)間；但當(dāng)自相關(guān)函數(shù)首次取零時(shí)的延遲時(shí)間過大，則可以減小相空間重構(gòu)的時(shí)間移動(dòng)值，選擇自相關(guān)函數(shù)下降趨于穩(wěn)定時(shí)對(duì)應(yīng)的時(shí)間為延遲時(shí)間。

1.2.2 Wolf方法計(jì)算最大Lyapunov指數(shù)

衡量動(dòng)力系統(tǒng)對(duì)初始條件敏感依賴性的一個(gè)重要指標(biāo)就是Lyapunov指數(shù)[12]。Lyapunov指數(shù)是混沌現(xiàn)象的定性和定量的特征參數(shù)，它表現(xiàn)為相點(diǎn)在相空間中的相鄰軌道之間以指數(shù)形式快速分離或者收斂[13]。假設(shè)空間中有兩個(gè)相點(diǎn)xi和xj，兩點(diǎn)間的初始距離為d0=‖xi-xj‖，在系統(tǒng)演化τ時(shí)段后，兩點(diǎn)間的距離為dk=‖xi+τ-xj+τ‖，如果dk≈d0eλτ，即兩點(diǎn)間距離呈指數(shù)分離，其中λ就是最大Lyapunov指數(shù)[13]。對(duì)于最大Lyapunov指數(shù)的計(jì)算，常用Wolf方法估計(jì)。計(jì)算公式如下：

式中：l為向量個(gè)數(shù)；τ為延遲時(shí)間；Di為重構(gòu)的相空間里兩個(gè)相點(diǎn)之間的最小歐氏距離；λ為最大Lyapunov指數(shù)，其他參數(shù)意義同前。當(dāng)最大Lyapunov指數(shù)大于0時(shí)，可以判斷出序列可能為混沌序列，且最大Lyapunov指數(shù)的取值越大，序列的混沌特性越明顯。

2 實(shí)例研究

本文以長江流域的武隆站和北碚站歷年逐日徑流時(shí)間序列為例，對(duì)時(shí)間序列長度與水文序列的混沌特性進(jìn)行研究。為了進(jìn)行相似水文背景下的研究，選取兩個(gè)水文站1951年-2012年的日平均流量序列作為研究對(duì)象。

2.1 自相關(guān)函數(shù)法確定延遲時(shí)間

根據(jù)以上所介紹的自相關(guān)函數(shù)法，利用已有的日徑流資料繪制出給定時(shí)間移動(dòng)值τ下的自相關(guān)函數(shù)。在實(shí)際計(jì)算和繪圖過程中，為防止延遲時(shí)間選擇的不合理，分別采用τ=1 000與τ=100繪制了兩組自相關(guān)函數(shù)曲線，以便于對(duì)比分析。結(jié)果表明，兩個(gè)水文站在τ=1 000時(shí)自相關(guān)函數(shù)曲線首次經(jīng)過零點(diǎn)時(shí)所對(duì)應(yīng)的延遲時(shí)間均在80～100之間，明顯偏大，因此不予考慮。從而主要取τ=100時(shí)自相關(guān)曲線變化趨于平緩所對(duì)應(yīng)的時(shí)間，作為序列相空間重構(gòu)的延遲時(shí)間。兩個(gè)站日徑流時(shí)間序列的自相關(guān)曲線見圖1、圖2。計(jì)算結(jié)果表明，武隆站日徑流時(shí)間序列的延遲時(shí)間τ0為10，北碚站日徑流時(shí)間序列的延遲時(shí)間τ0為4。

2.2 飽和關(guān)聯(lián)維數(shù)法確定日徑流時(shí)間序列的嵌入維數(shù)和飽和關(guān)聯(lián)維數(shù)

實(shí)例研究中，根據(jù)以上所介紹的飽和關(guān)聯(lián)維數(shù)法，取不同的嵌入維數(shù)m對(duì)原序列進(jìn)行相空間重構(gòu)，得出對(duì)應(yīng)維數(shù)下的飽和關(guān)聯(lián)維數(shù)D2（m），最后建立嵌入維數(shù)m與飽和關(guān)聯(lián)維數(shù)D2（m）之間的關(guān)系曲線，取曲線達(dá)到穩(wěn)定時(shí)對(duì)應(yīng)的嵌入維數(shù)和飽和關(guān)聯(lián)維數(shù)。圖3和圖4中的（a）圖，自上而下為m取2，3，…，12時(shí)對(duì)應(yīng)的飽和關(guān)聯(lián)維數(shù)曲線，（b）圖為飽和關(guān)聯(lián)維數(shù)隨嵌入維數(shù)變化曲線。

圖3、圖4對(duì)應(yīng)的計(jì)算結(jié)果見表2。從表2可以得出，兩個(gè)水文站的關(guān)聯(lián)維數(shù)在有限的數(shù)據(jù)長度下，隨著嵌入維數(shù)的升高，均表現(xiàn)出了趨于飽和的現(xiàn)象，因此兩個(gè)水文站的水文時(shí)間序列可能為混沌序列。

王文等[14]指出，在進(jìn)行混沌分析也不一定需要數(shù)千、數(shù)萬個(gè)點(diǎn)的時(shí)間序列，在維數(shù)不高的情況下，有500個(gè)點(diǎn)左右的長度基本滿足要求。由于研究對(duì)象為日徑流時(shí)間序列，且混沌識(shí)別時(shí)的嵌入維數(shù)均較高，因此序列長度（記為L）應(yīng)盡量長。以往研究已證明水文現(xiàn)象普遍具有混沌特性。但是當(dāng)L在100以內(nèi)時(shí)，時(shí)間序列并不表現(xiàn)出混沌特性（如北碚站的最大Lyapunov指數(shù)為-123.8）。因此，使用較少的時(shí)間序列進(jìn)行混沌識(shí)別和預(yù)測(cè)缺乏準(zhǔn)確性、可靠性。

在實(shí)際計(jì)算過程中，當(dāng)L從100增加到6 000的過程中，計(jì)算時(shí)間由不到1 s增加到20 min以上（1 200 s），計(jì)算時(shí)間隨著計(jì)算長度的增加呈近似指數(shù)的增長。而隨著L的增加，時(shí)間序列的混沌特性逐漸達(dá)到穩(wěn)定，從而選擇合適的L不僅可以保證結(jié)果的可靠性，而且可以大大縮短計(jì)算時(shí)間。

根據(jù)不同時(shí)間步長所獲得的最大Lyapunov指數(shù)（簡稱Lyapunov），繪制Lyapunov與L相關(guān)曲線圖（見圖5）。其中，圖中的曲線為局部二階多項(xiàng)式回歸所對(duì)應(yīng)的趨勢(shì)線。從圖5中可以看出在L較小時(shí)，樣本對(duì)總體的代表性較差，因此曲線波動(dòng)較大。之后，隨著L的增加，武隆站的Lyapunov先是表現(xiàn)出明顯的減小趨勢(shì)，隨后趨于穩(wěn)定；北碚站的Lyapunov隨著L增加，曲線始終波動(dòng)較為平緩，最終達(dá)到穩(wěn)定，Lyapunov的取值也趨于穩(wěn)定。對(duì)Lyapunov進(jìn)行滑動(dòng)平均的均值，并繪制相關(guān)曲線，見圖6。

由圖6（a）圖和（b）可知，當(dāng)L=3 000時(shí)，時(shí)間序列的Lyapunov基本達(dá)到穩(wěn)定。

為了比較時(shí)間序列混沌特性的強(qiáng)弱，對(duì)所選取的兩個(gè)水文站的Lyapunov序列穩(wěn)定前后的統(tǒng)計(jì)特性進(jìn)行了分析，結(jié)果見表2。從表2可以看出武隆站的Lyapunov大于北碚站的，換而言之，武隆站日徑流時(shí)間序列的混沌特性更強(qiáng)。此外，武隆站的Lyapunov序列隨時(shí)間序列長度的波動(dòng)相對(duì)較小，混沌特性變化較小，而北碚站的Lyapunov隨時(shí)間長度的波動(dòng)較大，混沌特性波動(dòng)較小。

王亦農(nóng)[15]指出“水文水資源系統(tǒng)具有產(chǎn)生混沌的基本條件—對(duì)初始條件的敏感性和內(nèi)在的隨機(jī)性。對(duì)于同一水文系統(tǒng)，不同的邊界條件會(huì)產(chǎn)生完全不同的水文過程?！?換而言之，對(duì)于同一場(chǎng)暴雨過程，由于兩個(gè)站點(diǎn)的位置不同，二者的水文過程也大相徑庭。借此，對(duì)以上結(jié)果（武隆站的Lyapunov指數(shù)大于北碚站）進(jìn)行分析可知，武隆站對(duì)初值的敏感性更強(qiáng)，內(nèi)在的隨機(jī)性也更強(qiáng)。影響時(shí)間序列混沌特性的因素眾多，若從水文站點(diǎn)所在流域特征來說，嘉陵江流域的集水面積相對(duì)烏江更大，調(diào)蓄能力較強(qiáng)，其對(duì)初始條件的敏感性相對(duì)于烏江更弱。從而武隆站日徑流時(shí)間序列的Lyapunov指數(shù)較大，因此混沌特性相對(duì)較強(qiáng)，而北碚站則較弱。

4 結(jié)論

通過對(duì)實(shí)例中的武隆站和北碚站1951年-2012年日平均流量資料序列進(jìn)行混沌分析和相應(yīng)的計(jì)算結(jié)果可以得到如下結(jié)論。

（1）從混沌特征角度。（a）飽和關(guān)聯(lián)維數(shù)隨著嵌入維數(shù)的升高呈現(xiàn)出趨于飽和的現(xiàn)象；（b）最大Lyapunov指數(shù)均大于0，體現(xiàn)了序列對(duì)初值具有很強(qiáng)的敏感性。因此這兩個(gè)序列具有混沌序列的基本特征，從而兩個(gè)時(shí)間序列可能為混沌序列。

（2）從最大Lyapunov指數(shù)的統(tǒng)計(jì)特性角度。（a）武隆站日徑流時(shí)間序列的最大Lyapunov指數(shù)較大，因此混沌特性相對(duì)較強(qiáng)，而北碚站則較弱；（b）武隆站日徑流時(shí)間序列的混沌特性隨時(shí)間序列長度的增加波動(dòng)較大，北碚站的變化較??；

（3）從序列長度角度。日徑流時(shí)間序列長度過小時(shí)樣本的混沌分析結(jié)果的可靠性降低，從而在資料長度允許條件下，盡量使用較長的時(shí)間序列；對(duì)于長度較長的序列，進(jìn)行混沌分析時(shí)并非長度越長越好，資料長度過長往往計(jì)算需要較長的計(jì)算時(shí)間，甚至超出計(jì)算內(nèi)存。從實(shí)例研究的結(jié)果來看，當(dāng)序列長度達(dá)到3 000左右時(shí)，序列的混沌特性達(dá)到穩(wěn)定，且結(jié)果可靠、計(jì)算時(shí)間相對(duì)較少。從而，選擇合適的序列長度可以在減少工作量的同時(shí)，得到代表性較好而穩(wěn)定的結(jié)果。

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