發(fā)現(xiàn)與利用對(duì)稱(chēng)性在數(shù)學(xué)教學(xué)中的作用

楊婷婷1

摘 要 自然界中存在許多對(duì)稱(chēng)性的事物，在數(shù)學(xué)教學(xué)中發(fā)現(xiàn)與利用對(duì)稱(chēng)性對(duì)提高學(xué)生學(xué)習(xí)興趣及效果具有重要作用。本文就中等職業(yè)學(xué)校數(shù)學(xué)教學(xué)中對(duì)稱(chēng)性的發(fā)現(xiàn)與利用進(jìn)行了探討，與同行們商榷。

關(guān)鍵詞 數(shù)學(xué)教學(xué) 對(duì)稱(chēng)性 發(fā)現(xiàn)與利用

中職學(xué)校的孩子，由于小學(xué)、初中學(xué)習(xí)過(guò)程中的懈怠，導(dǎo)致大多數(shù)人數(shù)學(xué)基礎(chǔ)較差，對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)缺乏興趣，更談不上熱愛(ài)數(shù)學(xué)，鉆研數(shù)學(xué)了。他們很多人沒(méi)有感受過(guò)數(shù)學(xué)美，也不具備發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)美的能力。其實(shí)數(shù)學(xué)和藝術(shù)、語(yǔ)言學(xué)一樣都具有自己獨(dú)特的美，其借助方法、內(nèi)容、結(jié)構(gòu)等表現(xiàn)出自己獨(dú)特的美。數(shù)學(xué)美有簡(jiǎn)單美、統(tǒng)一美、不對(duì)稱(chēng)美，其中最為突出的、利用最多的就是對(duì)稱(chēng)美。它能給人以一種均衡、圓滿、和諧、統(tǒng)一的美感與享受?，F(xiàn)實(shí)世界客觀事物中存在的空間對(duì)稱(chēng)包括鏡像對(duì)稱(chēng)、軸對(duì)稱(chēng)、中心對(duì)稱(chēng)等，時(shí)間對(duì)稱(chēng)包括旋律、周期等，還有許多更為復(fù)雜的對(duì)稱(chēng)。這些對(duì)稱(chēng)點(diǎn)綴了生活，豐富了世界。教師在教學(xué)過(guò)程中，若能有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)美，不僅可以培養(yǎng)學(xué)生的美感，幫助他們理解記憶定理、定義、公式，更能滿足他們的成就感，激發(fā)他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。在具體解題過(guò)程中這種發(fā)現(xiàn)美的能力能增強(qiáng)學(xué)生的解題靈感，幫助他們發(fā)現(xiàn)題目特性，有針對(duì)性地解決問(wèn)題，簡(jiǎn)化解題過(guò)程，從而提高解決問(wèn)題的能力。

對(duì)稱(chēng)從廣義上來(lái)說(shuō)，是指變換條件下的不變現(xiàn)象，即物體在某種變換條件下，相同部分按照某種規(guī)律重復(fù)；狹義上來(lái)說(shuō)則指的是一個(gè)物體中含有數(shù)個(gè)等同部分，對(duì)應(yīng)部分重合。對(duì)稱(chēng)存在于數(shù)學(xué)學(xué)科里的方方面面：奇數(shù)和偶數(shù)、質(zhì)數(shù)和合數(shù)、符號(hào)、公式、運(yùn)算、平行四邊形、等腰三角形、圓、橢圓、心臟線、圓柱、球等等，不勝枚舉。

1發(fā)現(xiàn)與利用對(duì)稱(chēng)性幫助學(xué)生理解記憶公式、定理、定義

我們?cè)趯W(xué)習(xí)相反數(shù)的幾何意義：數(shù)軸上與原點(diǎn)距離相等的兩個(gè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)互為相反數(shù)時(shí)，也曾這樣表述：在數(shù)軸上互為相反數(shù)的兩個(gè)實(shí)數(shù)（0除外）對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)。如圖1，學(xué)生可以直觀地發(fā)現(xiàn)互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)對(duì)應(yīng)的A、B兩點(diǎn)到原點(diǎn)O的距離AO=BO。

2發(fā)現(xiàn)與利用對(duì)稱(chēng)性幫助學(xué)生解題

數(shù)學(xué)題目中有借助形式、關(guān)系直接表現(xiàn)出來(lái)的對(duì)稱(chēng)，也有隱含的對(duì)稱(chēng)，發(fā)現(xiàn)這些對(duì)稱(chēng)，并且充分利用這些對(duì)稱(chēng)，常?？梢杂行У睦砬褰忸}思路，減少解題時(shí)間，化簡(jiǎn)解題步驟，達(dá)到事半功倍的效果。

著名的高斯定理就是一種變相的對(duì)稱(chēng)（首位兩項(xiàng)的和、第二項(xiàng)和倒數(shù)第二項(xiàng)的和都相等）。在化簡(jiǎn)題中，對(duì)稱(chēng)也是經(jīng)常出現(xiàn)的。若能及時(shí)發(fā)現(xiàn)這種在形式上直接表現(xiàn)出來(lái)的對(duì)稱(chēng)關(guān)系，就可迅速確定解題方向和方式。

代數(shù)問(wèn)題中的對(duì)稱(chēng)常需要自己觀察和發(fā)掘，而幾何題常常將對(duì)稱(chēng)直接點(diǎn)明，此時(shí)解題的關(guān)鍵就在于圖形的描畫(huà)和對(duì)對(duì)稱(chēng)性質(zhì)的理解及應(yīng)用。

例2：求解：x28513=0

分析：本題不能直接利用因式分解法，如果選擇公式法數(shù)字太大計(jì)算量也大，此時(shí)就可以考慮將其轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，利用圖像性質(zhì)解題。

函數(shù)奇偶性反映了函數(shù)自身圖像的對(duì)稱(chēng)性：偶函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)。借助以上特殊情況的證明思想，可以獲得更為一般的結(jié)論：若函數(shù)F（x）對(duì)于任意x∈D都有F（a+x）=F（a-x），則函數(shù)圖像關(guān)于直線x=a對(duì)稱(chēng)。以上結(jié)論成為某些看似無(wú)法解決的問(wèn)題的解題鑰匙。

例3：已知對(duì)任意x∈D，函數(shù)F（x）都有F（3+x）=F（3-x）。如果方程F（x）=0有六個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，試求六個(gè)實(shí)數(shù)根的和。

分析：由F（3+x）=F（3-x）知函數(shù)F（x）的對(duì)稱(chēng)軸為x=3。方程F（x）=0有六個(gè)根，即是指F（x）與x軸有六個(gè)交點(diǎn)，并且這六個(gè)交點(diǎn)兩兩關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸x=3成軸對(duì)稱(chēng)，根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)性質(zhì)可解。

解：由題意知：函數(shù)F（x）圖像的對(duì)稱(chēng)軸為x=3，且與x軸有六個(gè)交點(diǎn)，六個(gè)交點(diǎn)兩兩關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸x=3對(duì)稱(chēng)。

設(shè)方程F（x）=0的六個(gè)不同的實(shí)數(shù)根為x1、x2、x3、x4、x5、x6，即函數(shù)F（x）的圖像與x軸有A（x1，0），B（x2，0），C（x3，0），D（x4，0），E（x5，0），F(xiàn)（x6，0）六個(gè)交點(diǎn)，不妨再設(shè)A與F、B與E、C與D關(guān)于直線x=3對(duì)稱(chēng)。

在高等數(shù)學(xué)的積分和微分計(jì)算中，若能巧妙地利用對(duì)稱(chēng)性和各類(lèi)幾何意義，就可以簡(jiǎn)化計(jì)算，降低難度。

3發(fā)現(xiàn)與利用對(duì)稱(chēng)性對(duì)學(xué)生進(jìn)行美育教育，寓美育教育于數(shù)學(xué)教學(xué)之中

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師可以結(jié)合原理的講解，補(bǔ)充一些與現(xiàn)實(shí)生活中有關(guān)對(duì)稱(chēng)性（對(duì)稱(chēng)美）的實(shí)際例子，擴(kuò)大知識(shí)的視野，從中發(fā)現(xiàn)、理解對(duì)稱(chēng)美。如在講解圓柱體、立方體時(shí)，可以舉出身邊的一些大樓、橋梁等的對(duì)稱(chēng)性設(shè)計(jì)。通過(guò)學(xué)生熟悉的身邊事例，進(jìn)行形象直觀的教學(xué)，甚至可以組織學(xué)生到現(xiàn)場(chǎng)參觀，提高學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)美的認(rèn)識(shí)及審美情感，寓美育教育于數(shù)學(xué)教學(xué)之中，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性，提高學(xué)習(xí)效果。

4結(jié)語(yǔ)

以上舉例為充分利用對(duì)稱(chēng)性可以輔助記憶、幫助理解知識(shí)點(diǎn)，簡(jiǎn)化計(jì)算，提示解題思路提供了佐證。學(xué)習(xí)是件辛苦的事情，但是如果能夠發(fā)現(xiàn)其中的美，發(fā)掘其中的趣，就可以苦中作樂(lè)?？鬃诱f(shuō)：“知之者不如好之者，好之者不如樂(lè)之者?！币虼耍跀?shù)學(xué)教育教學(xué)過(guò)程中，教師要重視對(duì)稱(chēng)應(yīng)用，引導(dǎo)學(xué)生以對(duì)稱(chēng)的視角發(fā)現(xiàn)對(duì)稱(chēng)美，恰當(dāng)?shù)睦脤?duì)稱(chēng)美，從而充分發(fā)掘?qū)W生的學(xué)習(xí)興趣，發(fā)揮學(xué)生的學(xué)習(xí)主動(dòng)性，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)美、欣賞美、創(chuàng)造美的能力，最終達(dá)到“寓教于樂(lè)”。

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