五級基準(zhǔn)量表等腰三角正態(tài)分布計(jì)量公式

黃亮　劉立云　趙霖　黃曉勰

摘 要 量塊是幾何量計(jì)量領(lǐng)域里使用最廣泛和準(zhǔn)確度較高的實(shí)物標(biāo)志量具之一。它在五級基準(zhǔn)量表等腰三角正態(tài)分布的計(jì)量中，作為幾何量塊實(shí)體能夠通過目測和最簡單的算術(shù)公式：X^2/12.5，就能以最快捷的計(jì)算方法，獲得最精確的正態(tài)分布函數(shù)值，其誤差為“0”。它是我國元朝數(shù)學(xué)家和教育家朱世杰（1299年）的偉大發(fā)現(xiàn)。

關(guān)鍵詞 量表 幾何量 等腰三角 正態(tài)分布 計(jì)量公式

中圖分類號：O212 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A DOI：10.16400/j.cnki.kjdkz.2016.11.019

1 五分等腰三角幾何量數(shù)學(xué)模型①

一個(gè)正方塊EFCB的四邊均等分為五等分，并連線構(gòu)成5^2=25個(gè)均等的小正方塊，其中ABC為等腰三角則由12.5個(gè)均等的小方塊組成；再將一個(gè)小方塊均等分為四個(gè)小直角三角塊（圖1）；分別以小方塊和小直角三角塊為計(jì)量單位，計(jì)算它們的頻數(shù)、累加頻數(shù)、百分率、累加百分率、量表量、分辨率、總數(shù)、總量、均量、中位量等諸量之間的對應(yīng)關(guān)系。②

2 目測量塊計(jì)量法

2.1 小正方量塊計(jì)量法

等腰三角ABC的面積：25個(gè)小方塊/2=12.5個(gè)小方塊；ABD和ACD為兩個(gè)對稱的大直角三角形面積：25個(gè)小方塊/4=6.25個(gè)小方塊。量表長度BC=2BD=2CD=5長度單位，BD=CD=2.5長度單位（圖1）。

BD長度2.5單位為量表變量（X），當(dāng)量表數(shù)為0.5時(shí)，則0.5^2=0.25，即對應(yīng)的等腰三角AB邊上的累加頻數(shù)為0.25（小正方塊），同理1^2=1（小正方塊），即對應(yīng)的等腰三角AB邊上的累加頻數(shù)為1（小正方塊），1.5^2=2.25（小正方塊），2^2=4（小正方塊）、2.5^2=6.25（小正方塊）（圖1）。

等腰三角ABC中的正方塊數(shù)比為（1：3：4.5：3：1），正方塊的總數(shù)為12.5。

等腰三角BC 量表自然數(shù)1、2、3、4、5對應(yīng)的百分率為1/12.5=8%、3/12.5=24%、4.5/12.5=36%、3/12.5=24%、1/12.5=8%。③

等腰三角BC量表自然數(shù)1、2、3、4、5對應(yīng)的累加百分率為0、8%、32%、68%、92%、100%。

2.2 小直角三角量塊計(jì)量法

等腰三角ABC的面積：12.5個(gè)小方塊€？=50個(gè)小直角三角塊。ABD大直角三角面積：6.25€？=25（小直角三角塊）。

等腰三角ABC中的小直角三角塊數(shù)頻數(shù)比為“1：3：5：7：9：9：7：5：3：1”，小直角三角塊總數(shù)為50。

等腰三角BC量表自然數(shù)“0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、10”對應(yīng)的百分率為（0、1/50=2%、3/50=6%、5/50=10%、7/50=14%、9/50=18%、9/50=18%、7/50=14%、5/50=10%、3/50=6%、1/50=2%）；而對應(yīng)的累加百分率則為（0、2%、8%、18%、32%、50%、68%、82%、92%、98%、100%）（圖2）。④

2.3 量表自然數(shù)平方量塊計(jì)量法

五級基準(zhǔn)等腰三角正態(tài)分布左側(cè)直角三角累加百分率計(jì)量公式：

（X^2）/（（2X）^2/2）。 分子“X為直角三角底邊長度=0.5N”為變量（0-2.5），分母“2X=N=5”為常量。

量表自然數(shù)的平方/12.5=小方塊累加頻數(shù)/12.5=小直角三角塊累加頻數(shù)/50=等腰三角的累加百分率。例如0.1^2/12.5=08%，0.2^2/12.5=0.32%…0.9^2/12.5=6.48%，1.0^2/12.5=8%，1.1^2/12.5=9.68%，1.9^2/12.5=28.88%，2.0^2/12.5=32%，2.1^2/12.5=35.28%，2.4^2/12.5=46.08%，2.5^2/12.5=50%.

1^2/50=2%，2^2/50=4/50=8%，3^2/50=9/50=18%，4^2/12.5=16/50=32%，5^2/50=25/50=50%（圖2）。

五級基準(zhǔn)等腰三角正態(tài)分布右側(cè)累加百分率計(jì)量公式：1- X^2/（（2X）^2/2）⑤

2.4 楊輝三角、累加三角、等腰三角和高斯標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布比較（表1）

2^N 展開的二項(xiàng)式分布系數(shù)，當(dāng)N=4時(shí)，其量表為5，幾何正方形量塊比為1：4：6：4：1=16

N^2 展開的累加數(shù)，當(dāng)N=5時(shí)，其量表數(shù)為5，幾何正方形量塊比為1：3：4.5：3：1=12.5

N^2 展開的等腰三角當(dāng)N=10時(shí)，其量表數(shù)為10，幾何直角三角量塊比為1：3：5：7：9：9：7：5：3：1=50

2.5 群體考試成績原始分五級百分標(biāo)準(zhǔn)化轉(zhuǎn)換

五分等腰三角正態(tài)分布量表五級分0、1、2、3、4、5對應(yīng)的五級百分率分別為0、8%、24%、36%、24%、8%；而五分等腰三角正態(tài)分布量表五級百分50、60、70、80、90、100對應(yīng)的五級累加百分率則為0、8%、32%、68%、92%、100%，前者是頻數(shù)定級（性）的閾值點(diǎn)，后者則是量表定分（量）的閾值點(diǎn)。

群體考試成績原始分從高分到低分排序，分別統(tǒng)計(jì)其頻數(shù)和累加百分率；根據(jù)原始分累加百分率，跨越閾值點(diǎn)的累加百分率分別定為原始分的閾值點(diǎn)；原始分的6個(gè)閾值點(diǎn)分別與等腰三角量表五級百分上的6個(gè)閾值點(diǎn)等值，代入標(biāo)準(zhǔn)化轉(zhuǎn)換公式：

（（X-L）/（H-L））*10+閾值 （X、H、L分別為原始分閾值區(qū)的變量分、上限分和下限分）。

例如，將X高級中學(xué)X班級三學(xué)科考試成績非正態(tài)分布的原始分，代入上述標(biāo)準(zhǔn)化轉(zhuǎn)換公式，轉(zhuǎn)換成可比的科學(xué)的中國古代的五級百分標(biāo)準(zhǔn)分。

始分，代入上述標(biāo)準(zhǔn)化轉(zhuǎn)換公式，轉(zhuǎn)換成可比的科學(xué)的中國古代的五級百分標(biāo)準(zhǔn)分。

3 結(jié)論

通過四種數(shù)學(xué)模型比較發(fā)現(xiàn)，楊輝三角、累加三角和等腰三角三種幾何量數(shù)學(xué)模型之間誤差較小，對原始分轉(zhuǎn)換成的標(biāo)準(zhǔn)分結(jié)果幾乎完全相同；高斯鐘形數(shù)學(xué)模型概率分布函數(shù)值則誤差較大；等腰三角計(jì)算公式是最簡單、直觀、快捷、精準(zhǔn)的量塊計(jì)算公式；楊輝三角、累加三角和等腰三角都是封閉系統(tǒng)中量塊的計(jì)量方法，其誤差為“0”總和為“1”，它們都有明確的計(jì)量單位（量表）和計(jì)量基準(zhǔn)（閾值區(qū)的百分比），有四個(gè)量變到質(zhì)變的閾值點(diǎn)；而高斯鐘形面積則屬于開放系統(tǒng)，面積誤差趨于“0”，總和趨于“1”，沒有明確的計(jì)量單位和計(jì)量基準(zhǔn)，沒有量變到質(zhì)變的閾值點(diǎn)，是宏觀統(tǒng)計(jì)學(xué)，誤差較大，而且計(jì)算復(fù)雜。