分類討論策略在高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中的運(yùn)用

江蘇省海門實驗學(xué)校 成春霞

在高中的數(shù)學(xué)教學(xué)中，通過解題來鍛煉學(xué)生的思維能力是非常重要的內(nèi)容。分類討論思想主要體現(xiàn)在數(shù)列、求解函數(shù)、立體幾何、解析幾何、不等式、概率等數(shù)學(xué)知識中。在高中數(shù)學(xué)解題過程中，一般都是解到一定程度，問題不斷復(fù)雜，無法再用較為統(tǒng)一、標(biāo)準(zhǔn)的方法進(jìn)行解題，這種情況就需要利用一定條件，然后列出若干個可能，根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行解題，從而找到答案。這種解題方法就是由大化小、由一般化特殊的方式。

一、函數(shù)情景中分類討論的使用

在高中數(shù)學(xué)中與函數(shù)相關(guān)的題目比較多，而且很多函數(shù)的表現(xiàn)形式存在不確定性，也是采取分類討論方法進(jìn)行解題的最佳項目，在解題過程中，要熟練掌握函數(shù)分類討論的基礎(chǔ)理論知識，根據(jù)函數(shù)的特征進(jìn)行解題，根據(jù)函數(shù)題目設(shè)置的情景進(jìn)行分析。

例1 已知b為實數(shù)，假設(shè)f（b）=b10-b5+b2-b+1，求b為何值，f（b）﹥0。

分析：首先，根據(jù)該問題設(shè)置的情景進(jìn)行分析，這種題目屬于多項求和的類型，所有參數(shù)的底數(shù)都是相同的，而指數(shù)函數(shù)本身有單調(diào)性特征，單調(diào)性和底數(shù)之間是存在關(guān)系的，學(xué)生可以在這個分析的基礎(chǔ)上進(jìn)行解題討論：

情景1：如果b=1或b=0，這個時候解出的是固定值1，所以，b=1和b=0滿足要求；

情景2：如果b＜0，這時指數(shù)的偶次冪是正數(shù)，奇次冪是負(fù)數(shù)，從而求出f（b）的值大于等于1，所以b＜0滿足要求；

情景3：如果b＞1，則函數(shù)f（b）具有增函數(shù)的特征，這時求出的函數(shù)值都是大于1的，所以b＞1滿足要求；

情景4：如果0＜b＜1，這時該函數(shù)具有減函數(shù)的特征，而b5＜b2，代入不等式中進(jìn)行分析，求出的函數(shù)值是大于0的。

上述這四種情景分析的結(jié)果表明，b取任意實數(shù)，求出的f（b）的值都是大于零的。

解上述函數(shù)題目技巧：高中數(shù)學(xué)中的函數(shù)一般比較抽象，想要更好更加詳細(xì)地分析出函數(shù)問題，首先要對高中數(shù)學(xué)分類討論知識進(jìn)行理解，同時對于多種函數(shù)類型進(jìn)行總結(jié)和歸納，找出解答函數(shù)題型的規(guī)律，從而在這個基礎(chǔ)上總結(jié)出解題的方法，這也是使用分類討論進(jìn)行解題的重要對策。

二、概念情景中分類討論的使用

在高中數(shù)學(xué)解題中，也有很多題型是以數(shù)學(xué)概念為主的，設(shè)置相關(guān)的數(shù)學(xué)問題情景，像這類數(shù)學(xué)問題，一般也需要進(jìn)行分類討論來解決。這里選擇一個有關(guān)絕對值概念的題目：

分析：在這類題型中，學(xué)生首先要對絕對值的相關(guān)概念有所了解，之后對問題給出的三個值進(jìn)行分析，最后計算出所有的結(jié)果。

情況1：如果a，b，c三個數(shù)字均是負(fù)數(shù)，將其代入公式，根據(jù)絕對值的特點進(jìn)行求解，得出的值是-3；

情況2：如果a，b，c三個數(shù)均是正數(shù)，然后進(jìn)行公式分析，得出的結(jié)果是3；

情況3：如果a，b，c三數(shù)中有一個是負(fù)數(shù)，其他兩個是正數(shù)，這時得出的結(jié)果是1；

情況4：如果這三個數(shù)中有兩個是負(fù)數(shù)，剩余一個是正數(shù)，此時解出的值是-1。

解題技巧分析：根據(jù)上述的分析可以得出該式的結(jié)果，可以看出這種題目考查的就是學(xué)生對絕對值概念的掌握，另外也說明學(xué)生也要對分類討論的相關(guān)問題進(jìn)行了解。

三、概率統(tǒng)計中分類討論的使用

概率統(tǒng)計問題是屬于計數(shù)型的題目，一般也是采取分類討論的方式進(jìn)行概率情景分析。

例3 目前某校招聘了5位實習(xí)的英語老師，校長想要高一年級的三個班中均至少有一位實習(xí)教師，想要滿足校長的需求，請問有幾種選擇？

分析：學(xué)生在解答這類題目時，要有清晰的思路，同時熟練應(yīng)用分類討論的方法進(jìn)行解題。

情況1：將5個實習(xí)教師分成3組進(jìn)行討論，其中有一個組有3人，另兩組分別有1人，根據(jù)這種方式分成的組有10種，之后對三組進(jìn)行合理劃分，采取的方式，得出結(jié)果有60種分配方式。

情況2：將2位實習(xí)教師分成三組，有兩組是2個人一組，剩余一組是1個人一組，根據(jù)概率統(tǒng)計知識進(jìn)行分析得出有15種方法，在這個基礎(chǔ)上對3組進(jìn)行合理劃分，即15得出結(jié)果有90種分配方式。

根據(jù)上述的分析可知，分配方案共有150種。

解題技巧：這類問題首先要詳細(xì)分組，在分組的原則上再進(jìn)行討論，根據(jù)不同的情況進(jìn)行詳細(xì)分析，避免遺漏，同時也不要進(jìn)行重復(fù)分析，這樣才能找出所有相關(guān)的答案。

綜上所述，使用分類討論的方法對高中數(shù)學(xué)題進(jìn)行分析，是解決一些邏輯比較復(fù)雜的問題的最佳方法，而且分類討論思想可以很好地鍛煉學(xué)生的邏輯思維能力，而且在解各種問題時也可以總結(jié)出不同題型的規(guī)律，從而提高學(xué)生數(shù)學(xué)解題的能力，增強(qiáng)學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣。

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