十字型微諧振梁多場(chǎng)耦合非線性振動(dòng)分析

韓 光，許立忠

(1.燕山大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，河北 秦皇島 066004;2.河北建材職業(yè)技術(shù)學(xué)院 機(jī)電工程系，河北 秦皇島 066004)

微機(jī)電系統(tǒng)(micro electro-mechanical system，MEMS)具有集成化、微型化、智能化、易批量生產(chǎn)以及精度高、功耗小等特點(diǎn)?，F(xiàn)已廣泛應(yīng)用于智能制造、物聯(lián)網(wǎng)、工業(yè)電子、機(jī)器人、生物醫(yī)療以及消費(fèi)電子等領(lǐng)域，是當(dāng)今科技研究的熱門方向之一[1-3]。在MEMS領(lǐng)域，微諧振傳感器的市場(chǎng)和發(fā)展?jié)摿ψ畲骩4-6]，微諧振傳感器已廣泛應(yīng)用于航空航天、無(wú)人駕駛等領(lǐng)域[7-9]。

在微諧振傳感器的設(shè)計(jì)中，為了提高傳感器的精度、靈敏度及穩(wěn)定性，諧振梁的合理設(shè)計(jì)尤為關(guān)鍵。Thomas等[10]通過(guò)對(duì)諧振梁進(jìn)行合理優(yōu)化，采用諧振微懸臂梁陣列傳感器測(cè)量生理?xiàng)l件下蛋白受體的相互作用，并測(cè)定了細(xì)菌病毒T5在亞柱濃度下的結(jié)合量。對(duì)研究跨膜蛋白受體及其配體之間的相互作用具有重要醫(yī)學(xué)意義。Zhao等[11]提出了一種同時(shí)修改諧振梁的表面輪廓和橫截面類型以優(yōu)化其剛度和質(zhì)量分布的方案，以提高傳感器的靈敏度。許高斌等[12]通過(guò)對(duì)諧振梁的兩邊增加了側(cè)梁,提高了傳感器的穩(wěn)定性,并且進(jìn)一步優(yōu)化傳感器檢測(cè)靈敏度。在仿真平臺(tái)下其傳感器基礎(chǔ)諧振頻率為29.834 kHz，在0～120 kPa范圍內(nèi)靈敏度可達(dá)29.6 Hz/kPa。Rajanna等[13]利用濺射沉積方式在氧化鋁陽(yáng)極表面形成諧振膜，并將諧振膜作為壓力傳感器應(yīng)變片，通過(guò)該工藝得到的諧振薄膜式壓力傳感器可以檢測(cè)0～10 bar范圍內(nèi)的壓力值。

諧振梁是微諧振傳感器關(guān)鍵部分，但工作時(shí)廣泛存在著非線性因素，因此諧振梁的多場(chǎng)耦合非線性振動(dòng)研究對(duì)諧振傳感器設(shè)計(jì)與應(yīng)用具有重要的指導(dǎo)價(jià)值。劉敏等[14]提出了基于獨(dú)立變分模態(tài)分解與多尺度非線性動(dòng)力學(xué)參數(shù)的特征提取方法，極大地提高了機(jī)械故障診斷準(zhǔn)確率。劉燕等[15]考慮到諧振梁的非線性效應(yīng)，運(yùn)用林滋泰德-龐加萊法，計(jì)算求解動(dòng)力響應(yīng)。Javadi等[16]在歐拉-伯努利梁理論的基礎(chǔ)上，利用Hamilton原理推導(dǎo)了具有非線彈性基礎(chǔ)和拉伸引起的Von Karman非線性的控制方程，采用伽遼金投影法將這些非線性偏微分方程簡(jiǎn)化為非線性常微分方程，這為傳感器設(shè)計(jì)與應(yīng)用提供了理論基礎(chǔ)。

綜上所述，基于對(duì)微諧振傳感器方面做出的大量研究工作，動(dòng)態(tài)特性是保證諧振傳感器工作性能的關(guān)鍵。在微諧振傳感器中，電容檢測(cè)法與電阻檢測(cè)法相比，降低了檢測(cè)電路的制造難度。因此得到了廣泛的應(yīng)用。然而，現(xiàn)有微諧振傳感器中的諧振梁與下極板之間的電容非常小，那么諧振時(shí)電容變化信號(hào)很小，增加了后續(xù)放大電路的制作難度。

為此，本文提出了一種十字型微諧振梁，可應(yīng)用于壓力傳感器。壓力傳感器依靠感知諧振梁內(nèi)部軸向力的變化來(lái)測(cè)量外部壓力。由于十字型諧振梁增加了極板的面積。通過(guò)增加微諧振梁與下極板之間的電容，增加了信號(hào)的強(qiáng)度。降低了后續(xù)放大電路的設(shè)計(jì)難度。因此較兩端固支等截面梁更有優(yōu)勢(shì)。使用Owen交流電橋進(jìn)行檢測(cè)。同時(shí)創(chuàng)新性的采用隔離帶將激振端和拾振端分開(kāi)，以便輸出的電壓信號(hào)中不會(huì)摻雜激勵(lì)信號(hào)，結(jié)果更加真實(shí)準(zhǔn)確。對(duì)于具有十字型諧振梁的微型諧振傳感器，諧振梁的動(dòng)態(tài)特性仍然是決定其性能的關(guān)鍵。因此，本文建立了十字型微諧振梁的多場(chǎng)耦合動(dòng)力學(xué)方程，并求出了十字型微諧振梁非線性振動(dòng)固有頻率表達(dá)式。研究了十字型微諧振梁固有頻率隨激勵(lì)電壓變化規(guī)律，分析了分子力對(duì)十字型微諧振梁固有頻率的影響。并且研究了十字型微諧振梁不同參數(shù)對(duì)其位移響應(yīng)的影響。最后利用實(shí)驗(yàn)測(cè)試結(jié)果與理論分析值對(duì)比，證實(shí)了非線性振動(dòng)理論研究的正確性。

1 動(dòng)力學(xué)方程

根據(jù)諧振梁的工作原理，諧振梁?jiǎn)卧鄨?chǎng)耦合物理模型如圖1所示。模型分為諧振梁與下極板兩部分，兩原件均為單晶硅制成。諧振梁長(zhǎng)度為2l，寬度為b，厚度為h，彈性模量為E，材料密度為ρ。本模型為細(xì)長(zhǎng)梁，屬于歐拉—伯努利梁，因此可忽略梁橫截面的剪切變形和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。諧振梁只產(chǎn)生在Y向的位移y(x,t)。

根據(jù)振動(dòng)理論[17-18]，諧振梁多場(chǎng)耦合動(dòng)態(tài)振動(dòng)方程為

(1)

式中：F為諧振梁上的軸向力(N)；g為作用在單位長(zhǎng)度諧振梁上的全部載荷(N/m)；I(x)為橫截面對(duì)中心軸的慣性矩；S(x)為諧振梁橫截面積。

為便于分析諧振梁的振動(dòng)特性，將Y向的位移y(x,t)分為靜態(tài)位移與動(dòng)態(tài)位移兩部分，即梁上任意一點(diǎn)某時(shí)刻的位移為

y=y0+Δy

(2)

式中：y0為諧振梁的靜態(tài)位移(N/m)；Δy為諧振梁的動(dòng)態(tài)位移(N/m)。

載荷g包括電場(chǎng)力和卡西米爾力兩部分，即

g=fe+fc

(3)

式中：fe為單位長(zhǎng)度上的電場(chǎng)力(N)；fc為單位長(zhǎng)度上的卡西米爾力(N)。

單位長(zhǎng)度上的卡西米爾力為

(4)

式中：hc=hp/2π；hp為普朗克常數(shù)(Plank constant)；cc為光速(m/s)；d0為極板間隙(m)。

考慮卡西米爾力非線性因素，將卡西米爾力在y=y0處進(jìn)行泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)，得到

(5)

泰勒展開(kāi)式的第一項(xiàng)為作為靜態(tài)卡西米爾力項(xiàng)。省略三階以上高階項(xiàng)，其泰勒展開(kāi)式的余項(xiàng)作為動(dòng)態(tài)卡西米爾力項(xiàng)。

靜態(tài)卡西米爾力的表達(dá)式為

(6)

動(dòng)態(tài)卡西米爾力的表達(dá)式為

(7)

其中：

設(shè)式中非線性分析小參數(shù)為

(8)

單位長(zhǎng)度上的電場(chǎng)力為

(9)

式中：U為施加在諧振梁與下極板間激勵(lì)電壓(V)；εo為真空電容率(F/m)；εr為相對(duì)電容率。

在y=y0處，對(duì)電場(chǎng)力的表達(dá)式泰勒展開(kāi)，有

(10)

同理可得

靜態(tài)靜電力的表達(dá)式

(11)

動(dòng)態(tài)靜電力的表達(dá)式

(12)

其中：

將式(12)、式(7)代入式(3)可得動(dòng)載荷為

Δg=εξ1Δy+εξ2Δy2+εξ3Δy3

(13)

2 系統(tǒng)非線性自由振動(dòng)

在振動(dòng)中，將產(chǎn)生動(dòng)態(tài)位移Δy，即產(chǎn)生動(dòng)態(tài)的靜電力與卡西米爾力。線性項(xiàng)與非線性項(xiàng)都包含動(dòng)態(tài)位移，因此其對(duì)線性與非線性的固有頻率都有影響。

將動(dòng)態(tài)位移Δy及式(13)代入式(1)可得諧振梁多場(chǎng)耦合非線性振動(dòng)方程為

εξ1Δy+εξ2Δy2+εξ3Δy3

(14)

令Δy=φ(x)q(t)并代入式(14)可得

(15)

式中：q為廣義坐標(biāo)；q″為廣義加速度；φ為模態(tài)函數(shù)；

(16)

其中：

式(15)右邊為

(17)

由式(17)化簡(jiǎn)為常系數(shù)微分方程

(18)

式(18)的特征方程為

s4-α2s2-β4=0

(19)

式(19)的四個(gè)特征根為

其中：

則式(18)的通解為

(20)

將諧振梁簡(jiǎn)化后的力學(xué)模型如圖2所示。將梁的中部結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)化為質(zhì)量塊m，梁的總長(zhǎng)度為2l。分別以微梁的左右兩端點(diǎn)O1、O2為原點(diǎn)設(shè)立兩個(gè)局部坐標(biāo)系。梁左側(cè)坐標(biāo)系x軸方向以右為正方向，梁右側(cè)坐標(biāo)系x軸方向以左為正方向。y軸方向與原坐標(biāo)系方向相同。設(shè)局部坐標(biāo)系下左梁的模態(tài)函數(shù)為φ1(x)，右梁的模態(tài)函數(shù)為φ2(x)。在x1=x2=l處φ1(x)與φ2(x)呈奇函數(shù)或偶函數(shù)對(duì)稱。根據(jù)文獻(xiàn)[19]所述此類型模態(tài)函數(shù)如式(22)、(24)所列。

圖2 簡(jiǎn)化的諧振梁結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)模型Fig.2 Simplified resonant beam dynamics model

左梁φ1(x)和右梁φ2(x)呈奇函數(shù)對(duì)稱時(shí)，頻率方程為

(21)

模態(tài)函數(shù)為

(22)

其中：

左梁φ1(x)和右梁φ2(x)呈偶函數(shù)對(duì)稱時(shí)，頻率方程為

(23)

模態(tài)函數(shù)為

(24)

其中：

將式(16)的解展成ε的冪級(jí)數(shù)

q=q0+εq1+ε2q2+…

(25)

將系統(tǒng)非線性自由振動(dòng)頻率ω展成ε的冪級(jí)數(shù)

(26)

引入新的自變量τ=ωt得

(27)

將式(27)代入式(16)得

(28)

將式(25)、式(26)代入式(28)，令ε的同次冪的每一項(xiàng)系數(shù)為零，可得

(29)

(30)

(31)

初始條件如下

(32)

式中,k0為初始廣義位移(m)。

由式(29)與式(32)解出

q0=k0cosτ

(33)

將式(33)代入式(30)得

(34)

為避免式(34)的解中出現(xiàn)久期項(xiàng)，令方程右邊cosτ項(xiàng)的系數(shù)等于零，導(dǎo)出

(35)

將式(32)、式(35)代入式(34)解得

(36)

將式(33)、式(35)代入式(31)解得

(37)

為避免式(37)的解中出現(xiàn)久期項(xiàng)，令方程右邊cosτ項(xiàng)的系數(shù)等于零，導(dǎo)出

(38)

將式(32)、式(35)、式(38)代入式(37)解得

(39)

將式(33)、式(36)、式(39)代入式(25)解得

(40)

將式(35)、式(38)代入式(26)，解得非線性系統(tǒng)自由振動(dòng)幅頻相應(yīng)關(guān)系為

(41)

3 實(shí)例計(jì)算與分析

3.1 頻率特性分析

諧振微梁的主要參數(shù)如表1所示。聯(lián)立式(18)、(19)、(21)、(23)可求解諧振微梁各階線性固有(角)頻率ω0。將ω0代入式(41)中，可求得相應(yīng)的諧振微梁非線性各階固有(角)頻率值ω。表2為諧振微梁靜態(tài)位移改變時(shí)，其線性與非線性各階固有頻率值。其中fa為線性固有頻率值，fb為非線性固有頻率值。其中η為兩者的相對(duì)誤差。表3為諧振微梁非線性振動(dòng)隨偏置電壓的變化規(guī)律，其中η為兩者的相對(duì)誤差。考慮與忽略卡西米爾力情況下各階非線性固有頻率如表4所示，其中f1為忽略卡西米爾力各階非線性固有頻率數(shù)值，f2為考慮卡西米爾力的各階非線性固有頻率數(shù)值。其中η為兩者的相對(duì)誤差。在考慮卡西米爾力的影響下，線性與非線性各階固有頻率情況如表5所示，其中f3為考慮卡西米爾力的各階線性固有頻率數(shù)值，其低階模態(tài)如圖3所示。由表2～5及圖3可見(jiàn)：

(1) 隨著靜態(tài)位移的逐漸增大，系統(tǒng)線性固有頻率降低。

(2) 隨著靜態(tài)位移的逐漸增大，系統(tǒng)的非線性固有頻率也降低。且靜態(tài)位移對(duì)非線性固有頻率的影響更為明顯。

(3) 當(dāng)偏置電壓增大時(shí)，諧振微梁的固有頻率下降，且低階的固有頻率下降的更為明顯。

(4) 當(dāng)考慮非線性對(duì)諧振梁的影響時(shí)，固有頻率值低于線性頻率值，從低階到高階非線性與線性的頻率差值逐階減小，其中第一階非線性與線性的頻率差值約為第三階的8倍。

(5) 偶數(shù)階比奇數(shù)階非線性與線性的頻率差值更大，其中偶數(shù)第一階約為奇數(shù)階的1.4倍，之后隨著階數(shù)的增加奇數(shù)階與偶數(shù)階的頻率差值逐漸相近。

(6) 當(dāng)考慮卡西米爾力對(duì)諧振梁的影響時(shí)，其固有頻率值低于不考慮時(shí)的頻率值，這是因?yàn)樵谡駝?dòng)過(guò)程中卡西米爾力可以等效為軟彈簧系統(tǒng)，從而導(dǎo)致了固有頻率的降低。且卡西米爾力對(duì)低階固有頻率的影響明顯高于高階。其中奇數(shù)第一階考慮與忽略卡西米爾力的頻率差值約為第三階的5倍。

(7) 在考慮卡西米爾力時(shí)偶數(shù)階比奇數(shù)階的頻率差值更大，隨著階數(shù)的增加奇數(shù)階與偶數(shù)階的頻率差值逐漸相近。

(8) 在模態(tài)函數(shù)為奇函數(shù)時(shí)，其形式呈反對(duì)稱型。當(dāng)在模態(tài)函數(shù)為偶函數(shù)時(shí)，形式為對(duì)稱型。諧振梁的位移峰數(shù)隨著階數(shù)的增加而增加。對(duì)于相同階數(shù)，反對(duì)稱模態(tài)的固有頻率要大于對(duì)稱模態(tài)的固有頻率。

(9) 當(dāng)模態(tài)函數(shù)為反對(duì)稱型時(shí)，諧振梁中心的振動(dòng)位移始終為零。對(duì)于對(duì)稱型模態(tài)，其中心的振動(dòng)位移不為零。一階對(duì)稱模態(tài)，諧振梁中心處的振動(dòng)位移最大。

表1 系統(tǒng)參數(shù)Tab.1 System parameters

表2 不同靜態(tài)位移，各階自由振動(dòng)線性與非線性固有頻率比較Tab.2 Comparison of linear and nonlinear inherent frequencies of free vibration for changing static displacement

表3 隨偏置電壓改變的非線性頻率變化規(guī)律Tab.3 Changes of nonlinear frequencies with voltages

表4 分別考慮和忽略卡西米爾力時(shí)，各階自由振動(dòng)非線性固有頻率比較Tab.4 Comparison of inherent frequencies of free vibration for considering and ignoring Casimir force respectively

表5 考慮卡西米爾力時(shí)，各階自由振動(dòng)線性與非線性固有頻率比較Tab.5 Comparison of linear and nonlinear inherent frequencies of free vibration for considering Casimir force

(a) 對(duì)稱型一階模態(tài)

3.2 時(shí)域分析

為了研究不同參數(shù)對(duì)諧振梁時(shí)域動(dòng)態(tài)響應(yīng)的影響，改變諧振梁長(zhǎng)度、寬度、厚度、極板間距和質(zhì)量塊的質(zhì)量等參數(shù)，觀察諧振梁中點(diǎn)位移一階時(shí)域響應(yīng)隨時(shí)間的變化規(guī)律，結(jié)果如圖4所示。由圖4可知：

(1) 改變諧振梁的長(zhǎng)度，其他參數(shù)不變時(shí)。隨著諧振梁長(zhǎng)度的增加，諧振梁的振幅增大，振動(dòng)周期增大。這是因?yàn)橹C振梁的剛度減小，諧振梁有了更大的初始位移。

(2) 當(dāng)改變諧振梁的寬度時(shí)，隨著諧振梁寬度的增加，諧振梁的振幅減小，振動(dòng)周期增大。

(3) 當(dāng)改變諧振梁的厚度，其他參數(shù)不變時(shí)。隨著諧振梁厚度的增大，諧振梁的振幅減小，振動(dòng)周期減小。

(4) 只改變極板間距，當(dāng)增大兩極板間距時(shí)，諧振梁的振幅增大，振動(dòng)周期減小。

(5) 隨著質(zhì)量塊的質(zhì)量增大，諧振梁的振幅增大，振動(dòng)周期也增大，這是由于質(zhì)量增加引起慣性力的增大。

(a) L變化

3.3 實(shí)驗(yàn)分析

在傳感器設(shè)計(jì)中諧振梁的振動(dòng)頻率為核心參數(shù)之一，它對(duì)傳感器的性能有著決定性影響。為了驗(yàn)證上述關(guān)于諧振梁振動(dòng)頻率理論分析的正確性，采用微機(jī)械加工技術(shù)制作十字型微諧振梁樣件并測(cè)試。

微諧振梁加工工藝流程如圖5所示?；倪x用直徑2英寸單晶硅片，使用超聲波去離子水對(duì)硅片進(jìn)行清洗。使用勻膠機(jī)將正性光刻膠均勻涂于硅片上下表面，光刻膠層厚度為10 μm。采用紫外線光刻技術(shù)將掩膜版上的目標(biāo)圖案轉(zhuǎn)移到光刻膠層上。經(jīng)紫外線曝光過(guò)的光刻膠會(huì)發(fā)生化學(xué)性質(zhì)的改變，溶于相應(yīng)顯影液中。將有膠層的硅片浸入質(zhì)量分?jǐn)?shù)為0.26 N濃度TMAH顯影液中，直至曝光圖案完全呈現(xiàn)。此時(shí)剩余的光刻膠層會(huì)對(duì)部分二氧化硅進(jìn)行覆蓋保護(hù)，使用氫氟酸對(duì)未覆蓋光刻膠層的二氧化硅進(jìn)行腐蝕。

腐蝕結(jié)束后，光刻膠的目標(biāo)圖案轉(zhuǎn)移到二氧化硅層上，此刻的二氧化硅層起到了對(duì)硅的選擇性保護(hù)的作用。選用高濃度TMAH腐蝕溶液對(duì)硅基材進(jìn)行腐蝕加工，待腐蝕到所需深度后，腐蝕加工結(jié)束。最終得到目標(biāo)形狀的三維結(jié)構(gòu)。為增強(qiáng)諧振梁的導(dǎo)電能力，需在諧振梁表面鍍厚度為400 nm的金導(dǎo)電層。諧振梁結(jié)構(gòu)如圖6所示。下極板加工流程與上極板類似，依次采用光刻、腐蝕、鍍導(dǎo)電層的加工工藝。

圖5 諧振梁加工工藝Fig.5 Fabrication process of resonator

采用電子束光刻膠連接上下極板，并通過(guò)控制涂膠轉(zhuǎn)速與時(shí)間可以精確獲得100 nm的膠層，可獲得300 nm的極板間隙。選取立方體鋁材為支撐底座，使用UV膠將下極板固定在底座上。利用導(dǎo)電巖漿在極板上進(jìn)行引線，引線材料為直徑25 μm的高純銅線，銅線的一端采用導(dǎo)電巖漿固定在極板上，另一端焊接在電路板接線柱上便于進(jìn)行測(cè)試。

圖6 諧振梁結(jié)構(gòu)示意圖Fig.6 Structures of resonator

自制十字梁與一字梁諧振器如圖7、圖8所示，其尺寸如表6所示。

圖7 十字梁及諧振器Fig.7 Cross beam and resonator

圖8 一字梁及諧振器Fig.8 Straight beam and resonator

表6 諧振梁系統(tǒng)參數(shù)Tab.6 Resonant beam system parameters

采用自主設(shè)計(jì)的測(cè)試系統(tǒng)進(jìn)行了以下測(cè)試。本實(shí)驗(yàn)采用靜電激勵(lì)—電容檢測(cè)的方法進(jìn)行振動(dòng)頻率的測(cè)量檢測(cè)，其原理圖如圖9所示。諧振器可以等效為平板電容器。采用lift-off工藝制隔離帶將激振端與拾振端分開(kāi)，且拾振端分配面積更大，便于獲取檢測(cè)信號(hào)。對(duì)開(kāi)環(huán)系統(tǒng)施加靜電壓激勵(lì)信號(hào)，通過(guò)調(diào)節(jié)可調(diào)電阻Rref和可調(diào)電容Cref，使電橋達(dá)到平衡。此時(shí)a、b端的電壓差為零，系統(tǒng)無(wú)信號(hào)輸出。當(dāng)施加交流激勵(lì)電壓時(shí)，極板間的靜電場(chǎng)力產(chǎn)生周期性變化，進(jìn)而傳感器的等效電容值發(fā)生周期性變化，諧振梁受靜電場(chǎng)力的作用相對(duì)下極板發(fā)生周期性位移。此時(shí)電橋平衡狀態(tài)被打破，a、b端產(chǎn)生周期性電壓差，傳感器的位移信號(hào)轉(zhuǎn)化為電信號(hào)，通過(guò)owen交流電橋?qū)㈦娦盘?hào)傳入100倍的微弱信號(hào)差分放大器輸出到頻譜儀上。當(dāng)諧振梁固有頻率接近激勵(lì)頻率時(shí)產(chǎn)生共振現(xiàn)象，此時(shí)輸出的電壓信號(hào)最強(qiáng)且位移響應(yīng)為最大值。

圖9 開(kāi)環(huán)測(cè)量系統(tǒng)Fig.9 Open loop measurement system

實(shí)驗(yàn)現(xiàn)場(chǎng)照片如圖10所示。由信號(hào)源施加激勵(lì)信號(hào)在激振端，以驅(qū)動(dòng)諧振梁產(chǎn)生振動(dòng)。在拾振端拾取此諧振梁的振動(dòng)信息，并把這個(gè)振動(dòng)信息轉(zhuǎn)化為電壓信號(hào)，由頻譜儀檢測(cè)此電壓信號(hào)來(lái)獲取梁的振動(dòng)信息。

圖10 實(shí)驗(yàn)現(xiàn)場(chǎng)圖Fig.10 Experimental site map

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求得十字梁的品質(zhì)因子Q為105.8，滿足傳感器的實(shí)際應(yīng)用[20]。在相同實(shí)驗(yàn)條件求得一字梁品質(zhì)因子為63.6。結(jié)果表明十字型諧振梁的品質(zhì)因子明顯高于一字型梁的品質(zhì)因子。

圖11 開(kāi)環(huán)掃頻幅頻特性曲線Fig.11 Amplitude-frequency curve for open loop scanning

采用頻率為49 627.38 Hz的激勵(lì)源對(duì)十字梁進(jìn)行激振，十字梁輸出信號(hào)的頻譜圖如圖12所示，在諧振頻率附近的信號(hào)強(qiáng)度較為明顯，其信號(hào)強(qiáng)度為-46 dbu。同理測(cè)得一字梁的信號(hào)強(qiáng)度為-61 dbu。其信號(hào)強(qiáng)度優(yōu)于傳統(tǒng)一字梁[21]信號(hào)，其原因?yàn)槭中椭C振梁的面積更大，使其基礎(chǔ)電容增大，信號(hào)更強(qiáng)。且由于中部質(zhì)量的增加，提高了振幅，從而進(jìn)一步增強(qiáng)了信號(hào)。因此其更有利于應(yīng)用到微納傳感器當(dāng)中。

圖12 開(kāi)環(huán)一階諧振頻譜圖Fig.12 Spectrum diagram of open loop first order resonance

利用檢測(cè)系統(tǒng)對(duì)十字型諧振梁的固有頻率進(jìn)行檢測(cè)，表7為不同偏置電壓下其固有頻率理論與實(shí)驗(yàn)值對(duì)比。表8為不同階數(shù)的固有頻率檢測(cè)結(jié)果。

(1) 在只考慮線性效應(yīng)對(duì)固有頻率的影響時(shí)，當(dāng)偏置電壓不同時(shí)，理論與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的相對(duì)誤差最大為16.52%，最小為6.96 %。而考慮了非線性的影響時(shí)，其最大相對(duì)誤差為2.76%，最小僅為1.97%，更接近實(shí)驗(yàn)測(cè)量結(jié)果。因此在諧振梁設(shè)計(jì)中非線性的影響不可忽略不計(jì)。

(2) 忽略卡西米爾力時(shí)，理論與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的相對(duì)誤差最大為6.85 %，而考慮卡西米爾力時(shí)相對(duì)誤差最大值不超過(guò)2.76%，更接近實(shí)驗(yàn)測(cè)量結(jié)果。證明了卡西米爾力的影響不可忽略。

(3) 對(duì)十字型諧振梁不同階數(shù)的測(cè)試顯示，偶數(shù)階前兩階固有頻率的相對(duì)誤差最大值為2.19%，奇數(shù)階前兩階固有頻率的相對(duì)誤差最大值為2.28%。驗(yàn)證了理論分析的正確性。

表7 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與理論值比較Tab.7 Comparison of experimental results and theoretical values

表8 前兩階固有頻率理論值與實(shí)驗(yàn)值對(duì)比Tab.8 The theoretical and experimental values of the first two order natural frequencies are compared

4 結(jié) 論

本文提出了一種十字微型諧振梁，建立了型諧振梁化學(xué)分子力、電場(chǎng)力多場(chǎng)耦合動(dòng)力學(xué)方程，求出了諧振梁非線性固有頻率表達(dá)式并進(jìn)行了測(cè)試實(shí)驗(yàn)，主要研究結(jié)論如下：

(1) 此諧振梁在考慮非線性時(shí)其固有頻率低于只考慮線性時(shí)的情況。且階數(shù)越低，非線性效應(yīng)越明顯，因此在研究諧振梁低階固有頻率時(shí)，非線性對(duì)諧振梁的影響不可忽略不計(jì)。

(2) 分析了諧振梁非線性固有頻率的變化規(guī)律，當(dāng)激勵(lì)電壓增大時(shí)，諧振梁的固有頻率下降。在考慮分子力對(duì)系統(tǒng)的影響時(shí)，諧振梁固有頻率下降。且分子力對(duì)低階次固有頻率影響較大。實(shí)驗(yàn)測(cè)得固有頻率與考慮分子力時(shí)的分析結(jié)果更為接近。因此在設(shè)計(jì)微型諧振器時(shí)，要充分考慮分子力的影響。

(3) 當(dāng)諧振梁的長(zhǎng)度、極板間距以及質(zhì)量塊質(zhì)量增大，且寬度和厚度較小時(shí)，時(shí)域動(dòng)態(tài)響應(yīng)的振幅較大。

(4) 采用自主設(shè)計(jì)開(kāi)環(huán)測(cè)試系統(tǒng)對(duì)自制十字型微諧振器進(jìn)行了掃頻實(shí)驗(yàn)，由于極板面積增大，諧振梁與下極板之間的電容增加，增強(qiáng)了諧振器內(nèi)電容變化信號(hào)。使檢測(cè)信號(hào)更為明顯，更適合應(yīng)用于微弱信號(hào)傳感器。