邏輯聯(lián)結詞“且”“或”“非”

黃孝銀

學習邏輯聯(lián)結詞，重點要掌握使用聯(lián)結詞“且”“或”“非”的命題的含義和用法. 本文中，我們通過典型例題，加深同學們對邏輯聯(lián)結詞與復合命題的理解，提高運用邏輯聯(lián)結詞在解決判斷與推理、轉化數(shù)學問題中的邏輯思維能力.

用邏輯聯(lián)結詞表述新命題

例1 已知下列兩個命題：[p]：三角形的三條中線相等；[q]：三角形的三條中線相交于一點. 試表述下列新命題：（1）[p∧q]；（2）[p∨q]；（3）[?p].

分析 問題（1）（2）（3）分別對應用“且”“或”“非”組成新命題.

解 （1）[p∧q]：三角形的三條中線相等且交于一點；

（2）[p∨q]：三角形的三條中線相等或相交于一點；

（3）[?p]： 三角形的三條中線不全相等.

點評 邏輯聯(lián)結詞“且”“或”“非”分別用符號“[∧]”“[∨]”“[?]”表示. 一般地，用邏輯聯(lián)結詞“且”把命題[p]和[q]聯(lián)結起來，就得到一個新命題，記作[p∧q]，讀作“[p]且[q]”. 同理，[p∨q]，讀作“[p]或[q]”. 對一個命題[p]全盤否定，就得到一個新命題，記作[?p]，讀作“非[p]”.

區(qū)分命題的否定與否命題

例2 寫出命題“若x2+y2≠0，則x，y不全為零”的否定.

分析 一個命題的否定，只否定結論.

解 命題“若x2+y2≠0，則x，y不全為零”的否定為“若x2+y2≠0，則x，y都為零”.

點評 否命題既要否定條件又要否定結論，與命題的否定不能混淆. 無論是寫否命題還是命題的否定，都要注意常用詞語的否定形式.

判斷復合命題的真假

例3 判斷下列命題的真假：

（1）-1是偶數(shù)也是奇數(shù)；

（2）[2]屬于有理數(shù)集[Q]或實數(shù)集[R]；

（3）“若[a]，[b]都是正數(shù)，則[a+b≥2ab]”的否定.

分析 先分析命題的結構，再判斷其真假.

解 （1）這個命題是“[p∧q]”的形式，其中，[p]：-1是偶數(shù)，[q]：-1是奇數(shù).

因為[p]假，[q]真，所以“[p∧q]”為假.

故原命題為假命題.

（2）這個命題是“[p∨q]”的形式，其中，[p]：[2∈Q]，[q]：[2∈R].

因為[p]假，[q]真，所以“[p∨q]”為真.

故原命題為真命題.

（3）命題的否定：若[a]，[b]都是正數(shù)，則[a+b<2ab].假命題.

點評 判斷含邏輯聯(lián)結詞的命題真假的依據(jù)是：[p∨q]有真則真；[p∧q]有假則假；[?p]與[p]的真假相反.

運用邏輯聯(lián)結詞分析對象間的關系

例4 試畫出方程[x-1?lg（x2+y2-1）=0]所表示的曲線的圖形.

分析 運用邏輯聯(lián)結詞，將原方程進行等價轉化.

解 記[p]：[x-1]有意義；[q]：[lg（x2+y2-1）]有意義；[r]：[x-1=0]；[s]：[x2+y2-1=1].

原方程對應于[（p∧q）∧（r∨s）]，因為原方程隱含條件為[p∧q]，問題轉化為：在此隱含條件下，求方程[r]與[s]的解集的并集.

化簡得，[p∧q]：[x≥1（y≠0）]. 問題對應于在[p∧q]對應的平面區(qū)域內畫[r]與[s]所表示的曲線，如圖所示.

點評 這里，從分析對象的關系著手，分析對象間是怎樣的關聯(lián)關系，邏輯聯(lián)結詞的運用起了關鍵作用.

運用復合命題的真假來推理判斷

例5 甲、乙、丙、丁四位同學參加數(shù)學競賽，其中有一人獲獎. 有人走訪了四位同學，甲說：“我獲獎”；乙說：“甲、丙未獲獎”；丙說：“甲或乙獲獎”；丁說：“乙獲獎”. 若四位同學的話恰有兩句是對的，則獲獎的同學是 .

分析 設判斷正確用“[a]”表示，判斷不正確用“[r]”表示，依次將四位同學的話列表，借助命題真假來判斷.

點評 這里先提出假設，再進行推理，看有沒有矛盾，有矛盾則假設錯誤，運用了反證法的思維. 如：上表的第三列，即先假設乙獲獎，據(jù)此來判斷出甲、乙、丙、丁四位同學說的分別為假、真、真、真，有三個真，與題設只有兩個說的是真話相矛盾，所以乙獲獎不可能. 上面的列表法，窮舉了所有可能的情形，體現(xiàn)出一種嚴謹?shù)臄?shù)學思維.

利用“若命題的否定為假，則原命題為真”來證明

例6 設函數(shù)[f（x）=2x2+mx+n]，求證：[f（1），f（2），][f（3）]中至少有一個不小于1.

分析 由于欲證結論的情況繁雜，不妨從其反面入手，故用反證法證明.

證明 假設原命題不成立，

即[f（1），f（2），f（3）]都小于1.

即[f（1）<1， f（2）<1， f（3）<1，]則[-1<2+m+n<1， ①-1<8+2m+n<1， ② -1<18+3m+n<1. ③ ]

①+③得，[-11<2m+n<-9]與②矛盾，所以假設不成立.

故[f（1），f（2），f（3）]中至少有一個不小于1.

點評 （1）較適宜用反證法的常見情況：①“至少……”或“至多……”的形式為結論的命題；②涉及“惟一性”“存在性”的問題；③以否定形式為結論的命題；④從結論的反面易入手研究的問題. （2）正確地作出“若[p]，則[q]”的否定：“若[p]，則非[q]”是正確運用反證法的前提. （3）反證法的邏輯根據(jù)為：要證明命題“若[p]，則[q]”為真，改證：“若[p]，則非[q]”為假. 因此，反證法的核心是從非[q]出發(fā)去導出矛盾.

根據(jù)含邏輯聯(lián)結詞命題的真假求參數(shù)的取值范圍

例7 命題p：方程x2+mx+1=0有兩個不等的正實數(shù)根，命題q：方程4x2+4（m+2）x+1=0無實數(shù)根. 若“p或q”為真命題，求m的取值范圍.

分析 由命題[q]和[p]的真假列出相應的不等式（組）來求解.

解 若“p或q”為真命題，則p為真命題，或q為真命題.

當p為真命題時，則m<-2. ①

當q為真命題時，則Δ=16（m+2）2-16<0.

即-3

“p或q”為真命題，對應求①與②的并集.

故實數(shù)m的取值范圍是（-∞，-1）.

點評 命題與集合之間可以建立對應關系，在這樣的對應下，邏輯聯(lián)結詞與集合運算具有一致性，命題的“且”“或”“非”恰好分別對應集合的“交”“并”“補”.