基于線性化Poincaré映射模型的非線性電力電子系統(tǒng)控制方法

王 剛 侍喬明 付立軍 紀(jì) 鋒 陳宇航 蔣文韜

1.海軍工程大學(xué)艦船綜合電力技術(shù)國防科技重點實驗室 武漢 430033

2.西安交通大學(xué)電氣工程學(xué)院 西安 710049

0 引言

隨著能源、交通、國防和生活等領(lǐng)域應(yīng)用需求的提升和現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)的進(jìn)步，各種復(fù)雜電力電子變流裝置的應(yīng)用越來越廣泛，成為獨立電力系統(tǒng)的核心電能變換單元[1,2]。構(gòu)建獨立供電的非線性電力電子系統(tǒng)時，良好的動態(tài)性能是保證系統(tǒng)安全穩(wěn)定運行的前提條件。動態(tài)性能指標(biāo)與系統(tǒng)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)、元器件參數(shù)、運行方式和控制方式有關(guān)。一般說來，提高系統(tǒng)動態(tài)性能指標(biāo)最有效和最經(jīng)濟的方法是采用先進(jìn)的控制方法[3]。

系統(tǒng)控制的基礎(chǔ)是系統(tǒng)動態(tài)性能分析。非線性電力電子系統(tǒng)有三種非線性來源：不同階段系統(tǒng)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的切換，占空比控制方法和非線性元件[4,5]。上述三種非線性因素互相耦合，無法解耦處理。陸用電力系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)是平衡點，動態(tài)性能是平衡點附近的動態(tài)響應(yīng)，將描述系統(tǒng)的非線性微分方程在平衡點線性化，對其進(jìn)行特征結(jié)構(gòu)分析，即可得到系統(tǒng)動態(tài)響應(yīng)的模式和模態(tài)等信息。非線性電力電子系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)是周期軌道，動態(tài)性能是周期軌道的動態(tài)響應(yīng)，Poincaré映射反映的是其采樣時刻離散狀態(tài)變量的動態(tài)響應(yīng)，而一個周期內(nèi)狀態(tài)變量的動態(tài)響應(yīng)取決于系統(tǒng)的非線性微分方程。這種復(fù)雜的時變非線性特性使得非線性電力電子系統(tǒng)的動態(tài)性能分析比較困難，同時系統(tǒng)呈現(xiàn)出分叉和混沌等豐富的動力系統(tǒng)特征[4]。非線性電力電子系統(tǒng)的動態(tài)性能分析方法有三種：狀態(tài)空間平均法、數(shù)值仿真法和Poincaré映射法。

狀態(tài)空間平均法通過對各個開關(guān)工作模態(tài)做平均處理，得到變換器的近似解析模型[6,7]。這種轉(zhuǎn)換是近似的，其準(zhǔn)確度隨著系統(tǒng)工作頻率與開關(guān)頻率比值的增大而降低。某些情況下即使開關(guān)頻率很高，狀態(tài)空間平均法仍有較大的誤差，這影響了其動態(tài)性能分析的有效性和準(zhǔn)確性[7]。

數(shù)值仿真法將非線性電力電子系統(tǒng)用時變非線性微分方程描述，針對特定的擾動，利用時域仿真計算系統(tǒng)變量完整的時域響應(yīng)[8]。其缺點是：擾動和時域響應(yīng)觀測量的選擇對結(jié)果影響很大，仿真計算耗時太多，物理概念不清晰，難以利用仿真結(jié)果找出影響動態(tài)性能的主要因素和設(shè)計系統(tǒng)的控制策略[9]。

Poincaré映射法將周期軌道的漸近穩(wěn)定性等效為平衡點的Lyapunov穩(wěn)定性，這種等效是嚴(yán)格的。利用周期軌道Poincaré映射可以研究系統(tǒng)的動態(tài)性能[4,5]。目前這種方法用于系統(tǒng)動態(tài)特性分析的較多，有助于理解系統(tǒng)中復(fù)雜的動力系統(tǒng)行為，但對于解決系統(tǒng)設(shè)計問題的指導(dǎo)作用有限[10,11]。因而迫切需要研究基于Poincaré映射的非線性電力電子系統(tǒng)控制方法。

文獻(xiàn)[5]針對系統(tǒng)的三種非線性，提出了基于梯形積分法的周期軌道及其 Poincaré映射算法。文獻(xiàn)[5，12]提出了采用1與 Poincaré映射 Jacobian矩陣譜半徑的差作為系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度指標(biāo)，該指標(biāo)不僅能反映系統(tǒng)的穩(wěn)定水平，還可以反映系統(tǒng)狀態(tài)變量增量動態(tài)響應(yīng)的衰減速度。

本文構(gòu)造包含控制變量作用的周期軌道Poincaré映射，用線性化 Poincaré映射模型表示非線性電力電子系統(tǒng)狀態(tài)變量的動態(tài)響應(yīng)，以系統(tǒng)穩(wěn)定裕度指標(biāo)為目標(biāo)優(yōu)化控制參數(shù)，建立基于線性化Poincaré映射模型的非線性電力電子系統(tǒng)控制方法。

1 基于線性化Poincaré映射模型的控制

包含三種非線性來源的非線性電力電子系統(tǒng)模型為[5]

式中，T為開關(guān)周期；D為占空比；狀態(tài)變量X為m維；控制變量U是周期為T的函數(shù)，即 ( ) ()UU。

首先確定系統(tǒng)（1）的周期軌道。假設(shè)狀態(tài)變量在周期軌道上運行，在開關(guān)周期初始時刻kT的狀態(tài)變量為X0。在開關(guān)周期第1階段取n1個分點，第2階段取n2個分點，令n=n1+n2，設(shè)每個分點的狀態(tài)變量為X0,X1,…,Xn，控制變量為U0,U1,…,Un。用隱式梯形積分公式列寫周期軌道滿足的方程為

式中，未知數(shù)為X0,X1,…,Xn,D，其個數(shù)為m(n+1)+1個，方程數(shù)也是m(n+1)+1個。式（2）的初值可由狀態(tài)空間平均法提供，利用Newton Raphson法求解該方程，即可得到系統(tǒng)的周期軌道。

式（3）是關(guān)于變量 （X0,X1,…,Xn,D）T(m(n+1)+1維)的mn+1 個方程，給定一個X0,U0,··,Un，就對應(yīng)一個Xn，即確定了隱函數(shù)形式的Poincaré映射

假設(shè)系統(tǒng)的控制規(guī)律為

設(shè) Poincaré映射采樣時刻為開關(guān)周期開始時刻，其狀態(tài)變量用上標(biāo)表示，以示與一個周期內(nèi)狀態(tài)變量分點的區(qū)別，分別為X0,…,Xn。聯(lián)立式（3）和式（5），可得開關(guān)周期開始時刻狀態(tài)變量的Poincaré映射為

用Δ表示相應(yīng)變量的增量，在Poincaré映射采樣時刻周期軌道相應(yīng)的狀態(tài)點Xe處，對式（6）進(jìn)行線性化得

式（7）即為系統(tǒng)的線性化Poincaré映射模型，它包含系統(tǒng)控制變量的影響，將周期軌道的動態(tài)響應(yīng)特性變換為平衡點為Xe的線性化動態(tài)響應(yīng)特性（式（7））。注意這種變換僅是對Poincaré映射采樣時刻狀態(tài)變量動態(tài)響應(yīng)的線性近似，并不對應(yīng)所有時刻狀態(tài)變量的動態(tài)響應(yīng)。如果采樣時刻的狀態(tài)變量達(dá)到Xe，那么系統(tǒng)的狀態(tài)變量一定進(jìn)入周期軌道，因此線性化 Poincaré映射模型可以表示周期軌道的動態(tài)響應(yīng)特性。

上述系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度為

式中，()ρA為矩陣A特征值的最大模，即A的譜半徑。

系統(tǒng)穩(wěn)定裕度不僅是系統(tǒng)穩(wěn)定的裕度指標(biāo)，而且是狀態(tài)變量擾動量衰減速度的量度。其值越大，系統(tǒng)穩(wěn)定裕度越大，狀態(tài)變量擾動量的衰減越快[5,12]，系統(tǒng)動態(tài)性能越好?；诖?，采用該指標(biāo)作為系統(tǒng)控制性能的評價指標(biāo)。

作為采用周期軌道模型控制的初步研究，假設(shè)系統(tǒng)控制規(guī)律（5）的函數(shù)形式已知，但相關(guān)控制系數(shù)有待確定。例如，系統(tǒng)的控制規(guī)律為狀態(tài)反饋或PI控制。這時對于一組向量形式為K的給定控制系數(shù)，其控制性能指標(biāo)Sm即可確定。對于這組系數(shù)進(jìn)行優(yōu)化以得到系統(tǒng)最大的控制性能指標(biāo)Sm，這樣就得到了基于線性化Poincaré映射模型的系統(tǒng)控制規(guī)律。

本文主要討論基于周期軌道模型的系統(tǒng)控制設(shè)計方法，采用依次優(yōu)化算法確定系統(tǒng)的控制規(guī)律，也可以采用其他優(yōu)化算法。依次優(yōu)化算法為：不斷改變控制系數(shù)向量K的第一個分量，其他分量不變，計算系統(tǒng)控制性能指標(biāo)Sm，使這一指標(biāo)最大，從而確定K的這個分量。同理依次確定K的其他分量。再重復(fù)上述過程，直到相鄰兩次K差值的范數(shù)小于給定值。

2 斬波器占空比設(shè)計

采用文獻(xiàn)[5]的帶有恒功率負(fù)載的Boost閉環(huán)控制系統(tǒng)，除了恒功率負(fù)載的功率P=1.5W，其余電路參數(shù)不變，如圖1所示。

圖1 Boost電路圖Fig.1 Circuit diagram of Boost

電路參數(shù)如下：R=28Ω，C=4.4μF，L=50μH，開關(guān)管的導(dǎo)通電阻RT=0.005Ω，二級管的導(dǎo)通電阻Rd=0.01Ω，恒功率負(fù)載的功率P=1.5W，電源電壓V0=5V，f=50kHz。設(shè)iL和uC分別為電感電流和電容電壓，假定系統(tǒng)的占空比反饋控制規(guī)律采用狀態(tài)變量反饋控制，優(yōu)化其控制參數(shù)，即

設(shè)系統(tǒng)初始控制參數(shù)對應(yīng)的占空比方程為

取n1=2，n2=8，周期軌道對應(yīng)的占空比De為0.253 8，其周期軌道如圖2所示。

圖2 Boost電路周期軌道Fig.2 Periodic orbit of Boost

利用前述算法可以計算系統(tǒng)周期軌道 Poincaré映射的 Jacobian矩陣N，Poincaré映射抽樣時刻狀態(tài)變量的微分增量對于占空比增量ΔD的 Jacobian矩陣L，則 Poincaré映射時刻狀態(tài)變量的微分增量有下列關(guān)系

設(shè)系統(tǒng)增量形式的反饋控制為

式中，K為待定的行向量，1nΔX為系統(tǒng)狀態(tài)切換時的狀態(tài)變量增量。

同理對應(yīng)于拓?fù)淝袚Q時的狀態(tài)變量1nΔX進(jìn)行微分增量計算，可得

綜合式（9）～式（11），有

采用依次優(yōu)化算法計算向量K，表1是本文設(shè)計方法的結(jié)果，可見采用設(shè)計控制參數(shù)，系統(tǒng)穩(wěn)定裕度和動態(tài)響應(yīng)速度有了顯著提高。假定在 0.03s時電源電壓V0跌落 10%，變?yōu)?4.5V。圖3是用PSCAD仿真計算的Boost電路在初始控制參數(shù)和設(shè)計控制參數(shù)情況下的動態(tài)響應(yīng)比較，仿真步長為0.1μs?？梢姴捎迷O(shè)計控制參數(shù)，系統(tǒng)動態(tài)響應(yīng)性能在穩(wěn)態(tài)偏移、響應(yīng)速度和超調(diào)量等方面都有顯著的提高。

表1 Boost電路占空比設(shè)計結(jié)果Tab.1 Design results of duty ratio of Boost

圖3 Boost電路狀態(tài)變量動態(tài)響應(yīng)Fig.3 Dynamic response of state variables of Boost

圖4是采用初始控制參數(shù)和設(shè)計控制參數(shù)，Boost電路狀態(tài)變量動態(tài)響應(yīng)及其線性化 Poincaré映射模型相應(yīng)結(jié)果的比較。其中實線為狀態(tài)變量動態(tài)響應(yīng)，由式（2）和式（3）計算；虛線為線性化Poincaré映射模型的動態(tài)響應(yīng)，由式（7）計算。系統(tǒng)狀態(tài)變量的動態(tài)響應(yīng)與圖3一致，線性化Poincaré映射模型的狀態(tài)變量動態(tài)響應(yīng)可表征其映射采樣時刻狀態(tài)變量的動態(tài)響應(yīng)。

圖4 Boost線性化Poincaré映射模型狀態(tài)變量動態(tài)響應(yīng)Fig.4 Dynamic response of state variables of Boost by linearized Poincaré mapping model

3 不控整流發(fā)電機的勵磁設(shè)計

采用文獻(xiàn)[13]的帶恒功率負(fù)載的不控整流發(fā)電機系統(tǒng)，除了恒功率負(fù)載的功率P=1.5kW，其余電路參數(shù)不變，如圖5所示，系統(tǒng)參數(shù)見表2。

圖5 發(fā)電機不控整流系統(tǒng)Fig.5 Diode rectifiers-generator system

發(fā)電機勵磁采用PI控制，維持其整流輸出電壓udc為額定值ur=500V，如圖6所示。優(yōu)化其比例環(huán)節(jié)和積分環(huán)節(jié)的增益系數(shù)k1和k2。

圖6 發(fā)電機不控整流系統(tǒng)勵磁控制Fig.6 Excitation control of diode rectifiersgenerator system

表2 發(fā)電機不控整流系統(tǒng)參數(shù)[13]Tab.2 Parameters of diode rectifiers-generator system

假定零時刻為從VD1和VD6的導(dǎo)通階段剛好進(jìn)入VD1、VD2和VD6的換向階段，這時同步發(fā)電機的轉(zhuǎn)子位置為θ1，則系統(tǒng)的狀態(tài)變量為其中id為定子d軸電流，iq為定子q軸電流，ifd為勵磁繞組電流，ikd為d軸阻尼繞組電流，ikq為q軸阻尼繞組電流。

首先根據(jù)直流電壓額定值確定發(fā)電機勵磁電動勢Ef的額定值Efe。給定一個勵磁電動勢，計算系統(tǒng)周期軌道，再計算直流電壓的周期平均值。不斷調(diào)整勵磁電動勢，直到該周期平均值為其額定值。這樣就得到了勵磁電動勢的額定值Efe=1.01。

給定的一個Ef，系統(tǒng)周期軌道Poincaré映射為[13]

式中，X1和X2分別為周期起始時刻和下一個周期起始時刻的狀態(tài)變量。

假定開關(guān)周期初始時刻狀態(tài)變量的擾動為ΔX1，發(fā)電機勵磁電動勢的擾動為ΔEf，則下一個開關(guān)周期初始時刻狀態(tài)變量的擾動ΔX2為

式中，M和L矩陣可由式（14）進(jìn)行偏微分運算得到。勵磁控制的模型為

發(fā)電機不控整流系統(tǒng)的周期T0=1/(6fs)，fs為發(fā)電機的額定頻率。假定在mT0時刻研究系統(tǒng)處于周期軌道上，這時的直流電壓為ue，則有

下一個周期(m+1)T0時刻，有

上述兩式相減得

式（18）表示在[mT0,(m+1)T0]這個周期內(nèi)直流電壓擾動對于發(fā)電機勵磁電動勢Ef的影響。由于系統(tǒng)周期T0很小，采用梯形積分公式計算上式的積分

經(jīng)過一個周期T0，發(fā)電機勵磁電動勢增量與狀態(tài)變量增量的關(guān)系以矩陣形式表示為

式中

聯(lián)立式（14）和式（20），可得基于線性化Poincaré映射模型的不控整流發(fā)電機勵磁控制模型為

式中，E為單位矩陣。

式（2）表明勵磁控制性能指標(biāo)為Sm=1-ρ((E-LN)-1(M+LN))，采用依次優(yōu)化算法即可21得到k1和k2的優(yōu)化值。

給定兩組初始勵磁控制參數(shù)k1和k2，第一組為0.008 7和 0.087，第二組為 0.007和 0.07，系統(tǒng)穩(wěn)定裕度指標(biāo)Sm分別為-0.002和0.000 1，這時系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定的邊界。利用依次優(yōu)化算法計算的勵磁控制參數(shù)k1和k2為 0.000 7和0.049，系統(tǒng)穩(wěn)定裕度指標(biāo)Sm為0.008 8，可見系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度和控制性能有了較大提升。

為了驗證勵磁控制對于系統(tǒng)狀態(tài)變量動態(tài)響應(yīng)的影響，假定系統(tǒng)帶 1 364W的恒功率負(fù)荷進(jìn)入穩(wěn)態(tài)，在 15s時負(fù)荷忽然增加 10%（136W），達(dá)到1.5kW。采用PSCAD仿真軟件計算上述三組勵磁控制參數(shù)的直流電壓動態(tài)響應(yīng)如圖7所示，仿真步長為10μs?？梢姴捎迷O(shè)計控制參數(shù)，系統(tǒng)直流電壓的動態(tài)響應(yīng)性能在振蕩幅度、超調(diào)量和響應(yīng)速度等方面都有了顯著的提高。

圖7 發(fā)電機不控整流系統(tǒng)直流電壓的動態(tài)響應(yīng)Fig.7 Dynamic response of DC voltage of diode rectifiers-generator system

綜合上述，基于線性化 Poincaré映射模型的非線性電力電子系統(tǒng)控制規(guī)律的設(shè)計流程如下：

（1）建立系統(tǒng)的周期軌道模型，根據(jù)控制要求，確定系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)時的控制變量和周期軌道，驗證系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)性能指標(biāo)符合要求。

（2）設(shè)系統(tǒng)控制規(guī)律對應(yīng)的控制系數(shù)向量為K，建立系統(tǒng)周期軌道的Poincaré映射和系統(tǒng)的控制方程，對其進(jìn)行線性化，得到相應(yīng)的矩陣，推導(dǎo)系統(tǒng)的控制性能指標(biāo)Sm的表達(dá)式。

（3）以性能指標(biāo)Sm最大為目標(biāo)，采用依次優(yōu)化算法確定系統(tǒng)的優(yōu)化控制系數(shù)向量K。

（4）考慮處于周期穩(wěn)態(tài)的系統(tǒng)遭受小擾動，采用時域仿真方法，檢驗系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng)是否符合要求。

4 結(jié)論

考慮控制變量擾動和Poincaré映射采樣時刻系統(tǒng)狀態(tài)變量擾動對于下一個采樣時刻狀態(tài)變量的影響，本文利用梯形積分法建立了包含控制變量作用的周期軌道Poincaré映射，對此進(jìn)行線性化就得到了非線性電力電子系統(tǒng)的線性化 Poincaré映射模型，它可以表示系統(tǒng)狀態(tài)變量的動態(tài)響應(yīng)?；谠撃Ｐ停韵到y(tǒng)穩(wěn)定裕度指標(biāo)最大為目標(biāo)，采用依次優(yōu)化算法確定系統(tǒng)的控制參數(shù)，從而建立了基于線性化 Poincaré映射模型的非線性電力電子系統(tǒng)控制方法。

理論分析和仿真試驗表明，本文提出的控制方法能夠有效地提高非線性電力電子系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng)性能，為系統(tǒng)控制設(shè)計提供了一條新的途徑。

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