在“厚重課堂”中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)
——《斐波那契數(shù)列》教學(xué)與思考

張紅娜

一、提出問(wèn)題

師：你們知道上下樓梯中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)問(wèn)題嗎？下面我們以上樓梯為例，來(lái)看一個(gè)有關(guān)的數(shù)學(xué)問(wèn)題：一段樓梯有10級(jí)臺(tái)階，規(guī)定每一步只能跨一級(jí)或兩級(jí)。要登上第10級(jí)臺(tái)階有幾種不同的走法？

二、解決問(wèn)題

師：大家先猜一猜要登上第10級(jí)臺(tái)階會(huì)有多少種不同的走法？

生：4種、10種、36種……

師：究竟有多少種需要我們共同來(lái)研究，要一下子找出從第1級(jí)到第10級(jí)臺(tái)階的所有走法，你們感覺(jué)怎么樣？

生：很不容易?？梢韵劝雅_(tái)階數(shù)減少一些，比如先看看從第1級(jí)到第5級(jí)臺(tái)階有多少種走法，再慢慢增加。

師：這位同學(xué)說(shuō)的是一種重要的研究問(wèn)題的方法：對(duì)一些直接研究難度大的問(wèn)題，我們要學(xué)會(huì)從一些小的數(shù)據(jù)入手，把復(fù)雜問(wèn)題變得簡(jiǎn)單化。

（第1、2、3級(jí)臺(tái)階方法略）

師：登上第4級(jí)臺(tái)階共有幾種走法？

（學(xué)生出現(xiàn)不同的答案）

師：?jiǎn)栴}難度增加了，出現(xiàn)了不同的意見(jiàn)。遇到這樣的情況時(shí)，我們應(yīng)該怎么辦？

生：應(yīng)該聽(tīng)聽(tīng)他們都是怎樣想的，看誰(shuí)說(shuō)的有道理。

師：很好，先請(qǐng)答案是“4種”的同學(xué)來(lái)說(shuō)說(shuō)看。

生：因?yàn)榍懊娴降?級(jí)、第2級(jí)、第3級(jí)臺(tái)階的走法分別是1種、2種、3種，所以到第4級(jí)臺(tái)階我推出應(yīng)該是4種。

師：這位同學(xué)是借助已經(jīng)有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)來(lái)判斷。從登上前3級(jí)臺(tái)階的走法中發(fā)現(xiàn)了存在的規(guī)律，然后借助規(guī)律來(lái)推理出較復(fù)雜的問(wèn)題的答案。

生：這樣推理不對(duì)！我把情況一種一種地列舉出來(lái)了，是5種。

師：這位同學(xué)是一一列舉出答案的，我們親自動(dòng)手找找看，再與小組同學(xué)交流，看看到底有多少種方法。

（教師巡視并收集不同的列舉方法，在黑板上展示）

師：結(jié)果怎么樣？到底有幾種走法？

生：5種！

師：這個(gè)答案讓我們意識(shí)到，解決這個(gè)問(wèn)題不能匆忙地進(jìn)行推理和判斷。剛才大家發(fā)現(xiàn)的所謂“規(guī)律”在這里其實(shí)是不成立的。那能說(shuō)這個(gè)問(wèn)題中就不存在規(guī)律嗎？

生：不能。也許還有別的規(guī)律呢！

師：老師想看看同學(xué)們剛才列舉出的方法，想聽(tīng)聽(tīng)你們的想法。好嗎？

組1：我們小組找出了5種不同的走法，用圖畫出來(lái)是這樣的：

師：這個(gè)小組用圖示演示出他們的想法，非常形象，一目了然！

組2：我們是用文字表述的：一級(jí)、一級(jí)、一級(jí)、一級(jí)的；兩級(jí)、兩級(jí)的；兩級(jí)、一級(jí)、一級(jí)的；一級(jí)、一級(jí)、兩級(jí)的；一級(jí)、兩級(jí)、一級(jí)的。

師：這一小組是用文字把每一種走法描述出來(lái)了，同樣很清楚地表示了每種走法。

組3：我們和前面兩個(gè)小組的想法是一樣的，一共找出了5種不同的走法，只不過(guò)我們是用數(shù)字表示一級(jí)或兩級(jí)?！?、1、1、1；1、1、2；1、2、1；2、2；2、1、1”。

師：你們覺(jué)得第三組的方法怎么樣？

生：這樣記錄簡(jiǎn)單明了，是個(gè)好方法。

（其他方法略）

師：同學(xué)們用不同的方法都列舉出了登上第4級(jí)臺(tái)階共有5種不同的走法。如果登上第5級(jí)臺(tái)階呢？走法是不是會(huì)更多？

生：是。

師：怎么辦?是一一列舉找答案，還是依據(jù)經(jīng)驗(yàn)來(lái)判斷？

（受剛才學(xué)習(xí)的影響，大部分學(xué)生表示采用一一列舉出各種方法找答案，并立即開(kāi)始了操作）

師：有多少種走法？

生：有 7種，有 8種，有 9種……

師：為什么出現(xiàn)了不同的答案？難道一一列舉的方法也出問(wèn)題了么？

（請(qǐng)不同答案的學(xué)生分別進(jìn)行展示，得出結(jié)果為8種）

師：通過(guò)剛才的觀察，你們發(fā)現(xiàn)了什么？在列舉的過(guò)程中，遇到了什么問(wèn)題？有什么感受？

生：臺(tái)階多了就不好列舉了。不是重復(fù)，就是漏掉。

師：看來(lái)問(wèn)題難了、方法多了，列舉的方法就不容易了。我們現(xiàn)在研究登上第5級(jí)臺(tái)階就要列舉出8種方法，如果登上第10級(jí)呢？

生：就更不容易了！

師：愿意繼續(xù)列舉下去嗎？

生：（大部分面露難色）不愿意。

師：剛才大家在埋頭列舉的時(shí)候，有幾個(gè)同學(xué)卻沒(méi)有這樣做，他們已經(jīng)有了新發(fā)現(xiàn)并且悄悄地告訴了我，你們想知道嗎？

師：這次掌握在少數(shù)人中的，還真不知道是不是真理呢，同學(xué)們可要認(rèn)真辨別。

（出示課件，學(xué)習(xí)過(guò)程中隨機(jī)生成表格）

臺(tái)階數(shù)　1　2　3　4　5　……走法　1　2　3　5　……

生：我是根據(jù)登上前4級(jí)臺(tái)階的方法發(fā)現(xiàn)了其中的規(guī)律，然后根據(jù)規(guī)律推理出登上第5級(jí)臺(tái)階有8種走法。

生：從表中看，登上第3級(jí)的走法是第1、2級(jí)走法的和，第4級(jí)的走法正好是第2、3級(jí)走法的和。照這樣的規(guī)律，登上第5級(jí)臺(tái)階的走法就應(yīng)該是第3、4級(jí)臺(tái)階走法的和，也就是3+5=8（種）。

師：你們認(rèn)可他的想法嗎？

生：認(rèn)可！

師：登上第6級(jí)臺(tái)階有幾種不同走法呢？

生：有 13 種，5+8=13，是第4、5級(jí)走法的和。

師：登上第 7級(jí)、8級(jí)、9級(jí)呢？

（學(xué)生回答略）

師：登上第10級(jí)呢？

生：89種。

師：和我們開(kāi)始的猜測(cè)有出入嗎？想到有這么多種走法沒(méi)有？

生：這么多種走法，根本沒(méi)有想到。

生：用列舉的方法難度不可想象??！

師：是啊，為什么這么難的問(wèn)題，同學(xué)們卻很簡(jiǎn)單地就解決了？

生：因?yàn)槲覀儼l(fā)現(xiàn)了其中的規(guī)律，并且利用了規(guī)律。

師：遇到復(fù)雜問(wèn)題，要先從簡(jiǎn)單中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，然后再利用規(guī)律解決問(wèn)題，這樣再難的問(wèn)題也會(huì)變得簡(jiǎn)單。

三、延伸問(wèn)題

師：登上咱們這座教學(xué)樓的二樓共有29級(jí)臺(tái)階，如果還規(guī)定一步可以跨一級(jí)或兩級(jí)臺(tái)階，又會(huì)有多少種不同的走法呢？（課件順次出示）

?

師：有什么感覺(jué)？

生：太不可想象了！

師：這些數(shù)據(jù)讓我們?cè)俅我?jiàn)識(shí)到了數(shù)學(xué)規(guī)律的神奇！

四、提升問(wèn)題

師：再請(qǐng)同學(xué)們來(lái)觀察發(fā)現(xiàn)的這一組有規(guī)律的數(shù)：1、2、3、5、8、13、21、34、55、89……數(shù)學(xué)上把這組數(shù)叫數(shù)列。（板書(shū)：數(shù)列）

師：其實(shí)在很早以前就有人發(fā)現(xiàn)了類似的數(shù)列。這個(gè)數(shù)列是這樣的：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144……

觀察：我們的發(fā)現(xiàn)與他有什么不同？

生：在這個(gè)數(shù)列的前面多了一個(gè)1。

師：前面增加一個(gè)1，數(shù)列還有這樣的規(guī)律嗎？

生：有。前兩個(gè)數(shù)的和正好是第三個(gè)數(shù)。

師：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144……這個(gè)數(shù)列叫斐波那契數(shù)列。（板書(shū)：斐波那契）

師：斐波那契數(shù)列的特點(diǎn)就是從第三項(xiàng)起，每一項(xiàng)的數(shù)都是它前面兩項(xiàng)的和。這個(gè)數(shù)列是斐波那契發(fā)現(xiàn)的，人們?yōu)榱思o(jì)念他，所以以他的名字命名。我們一起來(lái)詳細(xì)了解一下有關(guān)情況。

（課件出示）

“斐波那契是歐洲中世紀(jì)的數(shù)學(xué)家，他對(duì)歐洲的數(shù)學(xué)發(fā)展有著深遠(yuǎn)的影響。他出生于意大利的比薩，曾經(jīng)游歷過(guò)世界上許多地方。1202年，斐波那契出版了《算盤書(shū)》，在這部名著中，他首先引入了阿拉伯?dāng)?shù)字，將十進(jìn)制計(jì)數(shù)法介紹到歐洲。在此書(shū)中他提出了有趣的兔子問(wèn)題。”

師：你對(duì)這段文字中的什么內(nèi)容感興趣？

生：什么是兔子問(wèn)題？

師：是啊，兔子問(wèn)題與斐波那契數(shù)列有什么聯(lián)系呢？請(qǐng)繼續(xù)看。

“斐波那契數(shù)列又因數(shù)學(xué)家斐波那契以兔子繁殖為例子而引入，所以又被稱為‘兔子數(shù)列’。”

師：斐波那契是怎么從兔子的繁殖得到了這個(gè)數(shù)列，你們還有興趣了解嗎？

生：（興趣盎然）有！

師：下面我們就一起來(lái)關(guān)注“兔子問(wèn)題”。

（課件出示）

“假定一對(duì)剛出生的小兔一個(gè)月后就能長(zhǎng)成大兔，再過(guò)一個(gè)月便能生下一對(duì)小兔，并且此后每個(gè)月都生一對(duì)小兔。一年內(nèi)沒(méi)有發(fā)生死亡。那么，由一對(duì)剛出生的兔子開(kāi)始，十二個(gè)月后會(huì)有多少對(duì)兔子呢？”

師：大家都明白題意吧？我們逐一來(lái)分析：（配上課件演示）第一個(gè)月什么狀態(tài)？

生：一對(duì)小兔子。

師：也就是一對(duì)兔子。（板書(shū)：1）第二個(gè)月呢？

生：一對(duì)大兔子。

師：還是一對(duì)兔子。（板書(shū)：1）第三個(gè)月呢？

生：是一對(duì)大兔子和一對(duì)小兔子。

師：有兩對(duì)兔子。（板書(shū)：2）第四個(gè)月？

生：是兩對(duì)大兔子和一對(duì)小兔子。

師：有三對(duì)兔子。（板書(shū)：3）五個(gè)月、六個(gè)月……

生：5對(duì)、8對(duì)、13對(duì)……144對(duì)。

師：十二個(gè)月后有144對(duì)兔子。斐波那契就是通過(guò)兔子的繁殖發(fā)現(xiàn)了這樣一組有規(guī)律的數(shù)列。所以，這個(gè)數(shù)列又叫“兔子數(shù)列”。

五、拓展問(wèn)題

師：自然界中有很多現(xiàn)象都與斐波那契數(shù)列所反映的規(guī)律驚人地一致！老師也搜集到了一個(gè)，我們一起來(lái)看這是什么？

生：海螺。

師：這些大大小小、形態(tài)各異的海螺都有一個(gè)殼，殼的背部都有一條線，你們知道它叫什么線？

生：螺線。

師：這些螺線描述下來(lái)大致是這樣的。

師：想不想知道是怎樣畫成的？（課件動(dòng)畫演示）

師：如果最小正方形的邊長(zhǎng)為1，它下面的正方形邊長(zhǎng)是幾呢？

生：2。

師：左邊的正方形邊長(zhǎng)是幾呢？

生：3。

師：請(qǐng)同學(xué)們依次讀出正方形的邊長(zhǎng)。

生：1、1、2、3、5、8。

師：如果接著往下畫，下面正方形的邊長(zhǎng)是幾？

生：13。

師：同學(xué)們，你們又有什么感覺(jué)？

生：太神奇了！

生：這樣下去，就是斐波那契數(shù)列了！

師：這只是大自然中的一種現(xiàn)象。其實(shí)，斐波那契數(shù)列在現(xiàn)實(shí)生活中還有更多的應(yīng)用。真說(shuō)不清是生活成就了數(shù)學(xué)，還是數(shù)學(xué)創(chuàng)造了生活！請(qǐng)同學(xué)們課下到網(wǎng)上了解更多有關(guān)斐波那契數(shù)列的知識(shí)，相信你們對(duì)數(shù)學(xué)的感受會(huì)更深刻！