基于NURBS插補(bǔ)算法的汽輪機(jī)葉片數(shù)控加工*

樂(lè) 英,王 穎

(華北電力大學(xué) 能源動(dòng)力與機(jī)械工程學(xué)院，河北 保定 071000)

基于NURBS插補(bǔ)算法的汽輪機(jī)葉片數(shù)控加工*

樂(lè) 英,王 穎

(華北電力大學(xué) 能源動(dòng)力與機(jī)械工程學(xué)院，河北 保定 071000)

為了提高汽輪機(jī)葉片的加工精度，文章通過(guò)分析汽輪機(jī)葉片的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，采用一種NURBS曲線插補(bǔ)算法對(duì)其進(jìn)行插補(bǔ)仿真。文章所采用算法由兩部分組成：速度規(guī)劃和參數(shù)計(jì)算。首先速度規(guī)劃采用簡(jiǎn)化的五段S曲線加減速控制方法，保證了葉片在高速加工過(guò)程中加速度的連續(xù)，使機(jī)床運(yùn)行平穩(wěn)，然后利用牛頓迭代法來(lái)計(jì)算插補(bǔ)參數(shù)，得到更精確的插補(bǔ)參數(shù)，進(jìn)一步提高了葉片的加工精度和加工速度。汽輪機(jī)葉片的插補(bǔ)仿真表明，該算法有高的穩(wěn)定性和運(yùn)算精度，并且使機(jī)床振動(dòng)減小，速度波動(dòng)小，保證了葉片的高質(zhì)量加工。

汽輪機(jī)葉片；NURBS插補(bǔ)算法；五段S曲線加減速控制；牛頓迭代法

0 前言

汽輪機(jī)葉片的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)復(fù)雜，是一種典型的復(fù)雜自由曲面，是汽輪機(jī)中的關(guān)鍵部件，其加工質(zhì)量直接影響到機(jī)組的運(yùn)行效率和可靠性[1]。傳統(tǒng)的數(shù)控加工系統(tǒng)，一般采用很多小的離散化的線段或者圓弧逼近曲線，這種方法會(huì)造成曲線輪廓不平滑，造成進(jìn)給速度的不連續(xù)和波動(dòng)，從而破壞工件表面的光滑性，而且大量的程序增加了CAD/CAM和計(jì)算機(jī)數(shù)控系統(tǒng)之間的通訊負(fù)擔(dān)，影響插補(bǔ)的實(shí)時(shí)性。

目前，研究NURBS插補(bǔ)算法的國(guó)內(nèi)外學(xué)者較多。Bedi[2]提出均勻參數(shù)插補(bǔ)算法，將參數(shù)增量視為常數(shù)，首次實(shí)現(xiàn)了NURBS曲線的實(shí)時(shí)直接插補(bǔ)。Shipital和Yang[3-4]分別采用一階和二階泰勒展開式，應(yīng)用泰勒展開法計(jì)算插補(bǔ)參數(shù)使參數(shù)曲線直接插補(bǔ)應(yīng)用在實(shí)踐加工中成為可能，實(shí)現(xiàn)了恒定的進(jìn)給速度插補(bǔ)，提高了計(jì)算精度，減小了速度波動(dòng)。任杰青[5]等提出基于預(yù)估誤差補(bǔ)償?shù)腘URBS曲線預(yù)估-校正插補(bǔ)算法，降低了運(yùn)算的復(fù)雜度并且利用基于割線法的校正公式減少了迭代計(jì)算的次數(shù)，進(jìn)一步提高了計(jì)算精度。孫海洋[6]等在研究了參數(shù)曲線的數(shù)控插補(bǔ)原理后，發(fā)現(xiàn)一些直接插補(bǔ)算法的局限性，提出了利用牛頓迭代法計(jì)算插補(bǔ)參數(shù)，減小了進(jìn)給速度波動(dòng)，但是參數(shù)初值的計(jì)算相當(dāng)復(fù)雜。上述這些算法都沒有考慮加減速過(guò)程中的速度、加速度的變化，難以保證插補(bǔ)精度。Nam[7]等在考慮了加速度的約束之后，提出了一種限制加加速度的加減速控制方法，有效控制了輪廓誤差，但是這種方法的實(shí)現(xiàn)比較復(fù)雜。周德勝[8]等全面考慮了弓高誤差和法向加速度等參數(shù)的影響，提出一種基于NURBS曲線插補(bǔ)的五段S曲線加減速方法，解決了減速點(diǎn)預(yù)測(cè)的困難，實(shí)時(shí)性較好。潘海鴻[9]等提出一種七段式非對(duì)稱S曲線加減速控制方法，考慮了工程應(yīng)用的實(shí)際問(wèn)題，提高了加工速度，但是計(jì)算復(fù)雜。

上述算法大多是應(yīng)用在自由曲線曲面上，本文以汽輪機(jī)葉片為研究對(duì)象，根據(jù)汽輪機(jī)葉片的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，對(duì)其采用NURBS曲線插補(bǔ)算法，該算法首先進(jìn)行速度規(guī)劃，速度規(guī)劃采用簡(jiǎn)化的五段S曲線加減速控制算法，然后進(jìn)行參數(shù)計(jì)算，參數(shù)計(jì)算利用牛頓迭代法，迭代初值采用簡(jiǎn)單線性遞推方程計(jì)算。對(duì)汽輪機(jī)葉片截面的仿真結(jié)果表明，汽輪機(jī)葉片采用該算法進(jìn)行插補(bǔ)保證了速度和加速度的連續(xù)，加加速度實(shí)現(xiàn)了有界變化，從而使得機(jī)床運(yùn)行平穩(wěn)，葉片的插補(bǔ)精度得到了提高，進(jìn)給速度波動(dòng)限制在理想范圍內(nèi)，進(jìn)一步提高了葉片的加工質(zhì)量。

1 NURBS曲線插補(bǔ)

一條k次NURBS曲線的表達(dá)式為[10-11]：

(1)

其中,wi(i=0,1,2,…,n)稱為權(quán)或權(quán)因子(weights)。di(i=0,1,2,…,n)為控制頂點(diǎn)，與權(quán)因子wi(i=0,1,2,…,n)一一對(duì)應(yīng)，順序相連形成控制多邊形。Ni,k(u)是由節(jié)點(diǎn)矢量U=[u0,u1,…,un+k+2]按德布爾-考克斯遞推公式(2)推導(dǎo)的k次規(guī)范B樣條基函數(shù)。

(2)

NURBS插補(bǔ)主要用弦線逼近弧線，這種逼近會(huì)造成實(shí)際進(jìn)給速度與理想進(jìn)給速度之間存在差異，從而導(dǎo)致速度波動(dòng)，速度波動(dòng)的大小采用δi表示，如公式(3)所示[12]：

(3)

2 速度規(guī)劃算法

2.1NURBS曲線自適應(yīng)速度調(diào)整

在實(shí)時(shí)插補(bǔ)過(guò)程中，弓高誤差、進(jìn)給速度以及曲率半徑之間的關(guān)系，采用如圖1所示的方法進(jìn)行計(jì)算：

圖1 利用圓弧計(jì)算弦高誤差示意圖

ρi為u=ui處的曲率半徑。弓高誤差的計(jì)算如下式所示：

(4)

由最大弓高誤差ER限定下的進(jìn)給速度V(ui)為：

(5)

式(5)表明進(jìn)給速度V(ui)與弓高誤差ER和曲率半徑ρi有關(guān)，其變化關(guān)系如下：

(6)

其中，F(xiàn)為編程進(jìn)給速度。

2.2 五段S曲線加減速規(guī)劃

速度的自適應(yīng)調(diào)整可以得到滿足精度要求的速度，但在曲線曲率半徑變化較大的區(qū)域，比如曲率半徑較小的區(qū)域，速度變化較大，可能會(huì)超出機(jī)床的加減速能力，對(duì)機(jī)床產(chǎn)生沖擊[13]。

為調(diào)整小曲率半徑區(qū)域曲線進(jìn)給速度，使得加速度和加加速度實(shí)現(xiàn)連續(xù)有界變化，在曲線曲率尖角處采用五段S曲線加減速控制方法。

五段S曲線加減速控制算法將速度規(guī)劃分為加加速段、減加速段、勻速段、加減速段和減減速段五個(gè)階段。以減速段為例：

假設(shè)t=0時(shí)為減速過(guò)程的開始時(shí)刻，Vs為起始速度，Ve為終止速度，A為最大加速度，J為最大加加速度。

圖2 五段S曲線加速度控制方法減速過(guò)程的速度、加速度和加加速度曲線

從圖2可以看出，加減速階段的速度方程曲線為:

(7)

當(dāng)t=t1時(shí)，A1(t1)=-Jt1=-A，有：

(8)

減速階段的速度方程為：

(9)

由于整條速度曲線是連續(xù)的，有：

V1(t)=V2(t)

(10)

將式(7)～(9)代入式(10)可得：

(11)

設(shè)減速階段的速度變化量為ΔV，即ΔV=Ve-Vs,當(dāng):

(12)

則機(jī)床加工的加速度和加加速度能夠達(dá)到最大值。若

(13)

則機(jī)床加工的加速度不能達(dá)到最大值A(chǔ)，設(shè)此時(shí)達(dá)到的加速度值為Ai，由式(11)可得：

(14)

如果

(15)

則機(jī)床加工的加加速度不能達(dá)到最大值J，設(shè)此時(shí)達(dá)到的加加速度值為Ji，由式(11)可得：

(16)

因此，在計(jì)算減速段的速度方程時(shí)，先根據(jù)式(12)～式(16)計(jì)算出減速階段能達(dá)到的加速度和加加速度，然后根據(jù)公式(7)和式(9)得到減速段的方程。加速段過(guò)程的計(jì)算方法與減速段相同。

2.3 插補(bǔ)參數(shù)計(jì)算

為了減小截?cái)嗾`差，降低速度波動(dòng)，本文采用牛頓迭代法計(jì)算插補(bǔ)參數(shù)：

(17)

式中，ui—當(dāng)前插補(bǔ)參數(shù);ui+1—下一個(gè)插補(bǔ)參數(shù)。

則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求ξ=ξ*，使得：F(ξ*) =0。

牛頓迭代法的計(jì)算原理如圖3所示。

圖3 牛頓迭代法示意圖

設(shè)F(ξ)=0的近似根是ξk，過(guò)點(diǎn)Pk引切線，點(diǎn)Pk是曲線F(ξ)上橫坐標(biāo)為ξk的點(diǎn)，該切線與ξ軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為ξk+1，將ξk+1作為ξ*的新的近似值，因此可以得到迭代公式：

(18)

通常迭代法的迭代終止條件為：

(19)

ε為迭代精度。在滿足式(19)時(shí)，為了同時(shí)滿足速度精度的要求，設(shè)置速度波動(dòng)率δ的上限值作為迭代終止條件，并且規(guī)定了最大迭代次數(shù)的值K。

這里采用公式(20)所表示的線性遞推法來(lái)計(jì)算迭代參數(shù)初值：

ui+1=2.5ui-2ui-1+0.5ui-2

(20)

為了避免出現(xiàn)插補(bǔ)反轉(zhuǎn)，利用公式：

ui+1=2ui-ui-1=ui+(ui-ui-1)

(21)

式(21)可以保證ui+1>ui,不會(huì)出現(xiàn)插補(bǔ)反轉(zhuǎn)的問(wèn)題。

3 試驗(yàn)仿真

以某國(guó)產(chǎn)汽輪機(jī)組通流部分低壓缸動(dòng)葉片為例，葉身長(zhǎng)為432mm，沿葉高方向有11個(gè)關(guān)鍵截面，如圖4所示，各截面形狀如圖5所示。

圖4 葉片橫截面分布圖

圖5 葉片11個(gè)截面示意圖

本文以葉片中間的截面為研究對(duì)象，葉片中間的截面采用NURBS擬合如圖6所示。

圖6 葉片高度z=216mm的截面擬合圖

從圖中可以看出，葉片的曲率半徑變化較大，進(jìn)汽邊和出汽邊存在曲率半徑很小的尖角。根據(jù)上圖所示的葉片橫截面，利用MATLAB軟件采用上述方法對(duì)其進(jìn)行NURBS曲線插補(bǔ)仿真。仿真時(shí)的編程速度F=100mm/s，插補(bǔ)周期T=0.001s，最大加速度A=0.008m/s2，最大加加速度J=0.004m/s3，允許的最大弓高誤差ER=0.001μm，迭代精度E=10-6，最大迭代次數(shù)K=5，最大速度波動(dòng)率Δ=2×10-4%。

仿真試驗(yàn)得到的弓高誤差、速度曲線、加速度曲線及加加速度曲線分別如圖7～圖10所示。

圖7 弓高誤差圖

圖8 速度圖

圖9 加速度圖

圖10 加加速度圖

仿真結(jié)果表明，本文所采用的插補(bǔ)算法使葉片所有插補(bǔ)點(diǎn)的弓高誤差、進(jìn)給速度、加速度和加加速度都控制在允許范圍內(nèi)，從而保證了葉片的加工精度滿足要求，同時(shí)使得速度曲線實(shí)現(xiàn)平滑過(guò)渡，加速度曲線在加速段和減速段實(shí)現(xiàn)連續(xù)變化，并且加加速度實(shí)現(xiàn)有界變化，保證了葉片加工過(guò)程中機(jī)床的平穩(wěn)運(yùn)行，進(jìn)一步提高了葉片的加工精度和加工效率。

圖11 速度波動(dòng)率圖

仿真結(jié)果得到的速度波動(dòng)率如圖11所示，從圖中可以看出，本文采用牛頓迭代法進(jìn)行插補(bǔ)參數(shù)的計(jì)算使得所有插補(bǔ)點(diǎn)的速度波動(dòng)率均控制在10-4%量級(jí)范圍內(nèi)，說(shuō)明相對(duì)于泰勒展開法計(jì)算所得的參數(shù)值更準(zhǔn)確，速度更平穩(wěn)，有效降低了速度波動(dòng)。

綜上所述，表明該算法穩(wěn)定好，且運(yùn)算精度高，減小了機(jī)床的振動(dòng)，保證了加工過(guò)程的穩(wěn)定性，大幅度提高了葉片的加工精度和加工效率。

4 結(jié)論

汽輪機(jī)葉片是汽輪機(jī)的重要部分，它的加工精度直接影響到汽輪機(jī)的工作效率，為了提高汽輪機(jī)葉片的加工質(zhì)量，本文采用NURBS曲線插補(bǔ)算法對(duì)葉片截面進(jìn)行插補(bǔ)仿真。算法分為兩個(gè)部分：速度規(guī)劃和參數(shù)計(jì)算。速度規(guī)劃部分采用簡(jiǎn)化的5段S曲線加減速控制方法，而參數(shù)計(jì)算部分應(yīng)用牛頓迭代法來(lái)計(jì)算插補(bǔ)參數(shù)，克服了傳統(tǒng)方法利用泰勒公式進(jìn)行計(jì)算計(jì)算量大且不準(zhǔn)確的缺點(diǎn)。仿真試驗(yàn)結(jié)果表明，該算法能夠提高葉片的加工效率，保證葉片插補(bǔ)過(guò)程中速度和加速度連續(xù)，從而提高了葉片的加工精度，并且使加加速度連續(xù)有界，避免了刀具在運(yùn)行過(guò)程中對(duì)機(jī)床產(chǎn)生較大的沖擊，保證機(jī)床可以平穩(wěn)運(yùn)行，有效減小了速度波動(dòng)，從而滿足葉片加工中高質(zhì)量、高效率的加工要求。

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(編輯 李秀敏)

NURBS Interpolation Algorithm for Turbine Blade in NC Machining

YUE Ying, WANG Ying

(School of Energy, Power and Mechanics Engineering, North China Electric Power University, Baoding Hebei 071000, China)

In order to improve the machining accuracy of turbine blade, a NURBS curve interpolation algorithm is used according to the structure features of the turbine blade，which included two parts of velocity planning and parameter calculating. First five phased S-curve acceleration and deceleration control method was adopted in velocity planning module．The accelerate speed is continuous when blade in high speed machining process using the method and the CNC machine runs smoothly．Then the interpolation parameters are calculated using Newton iterative method. It gets more accurate interpolation parameters，the machining precision and speed of the blade are more improved. The simulation test for interpolation of turbine blade shows that the algorithm has good stability, high computing precision. It can satisfy the requirements of the real-time interpolation，reduce machine tool vibration and limit the speed fluctuation in the real-time interpolation to the ideal level.

turbine blade；NURBS interpolation algorithm；five phased S-curve acceleration and deceleration control；Newton iterative method

1001-2265(2017)01-0078-04

10.13462/j.cnki.mmtamt.2017.01.021

2016-03-24；

2016-05-06

河北省自然科學(xué)基金項(xiàng)目(E2014502042)；中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費(fèi)專項(xiàng)資金項(xiàng)目(11QJ61)

樂(lè)英(1971—)，女，河南信陽(yáng)人，華北電力大學(xué)(保定)副教授，博士，研究方向?yàn)閺?fù)雜曲面造型及數(shù)控加工的研究，(E-mail)yueying71@163.com。

TH165;TG659

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