一種基于互斥平衡原理的圓度測量方法

任晟德，玉振明，李陶深, 韋衡冰

(1.廣西大學 計算機與電子信息學院，南寧 530004；2.梧州學院 圖像處理與智能控制重點實驗室，廣西 梧州 543000)

一種基于互斥平衡原理的圓度測量方法

任晟德1，玉振明2，李陶深1, 韋衡冰2

(1.廣西大學 計算機與電子信息學院，南寧 530004；2.梧州學院 圖像處理與智能控制重點實驗室，廣西 梧州 543000)

提出一種新的基于數(shù)字圖像處理的圓度測量方法。通過引入物理學的互斥力概念，以線性迭代的方式基于圓環(huán)像素群綜合斥力移動準圓心點，并附加像素群角度修正，使其停止在受圓環(huán)像素群綜合受力為零的點，該點即為文中方法所求圓心點。理論分析和實驗驗證了使用此方法獲取的圓心點及零件圓度均與傳統(tǒng)非接觸測量測量結果相近，可應用于實際的圓度測量工作，也為未來的圓度測量研究提供一種新思路和新方法。

圖像處理；圓度測量；互斥平衡

0 引言

圓度誤差是機械零部件經常檢測的項目之一，隨著現(xiàn)代工業(yè)逐漸朝著高精度、高速度、自動化的方向發(fā)展，傳統(tǒng)的接觸測量方法由于其人工操作速度較慢、精度不夠穩(wěn)定、可能產生劃痕等缺點，漸漸很難滿足現(xiàn)代工業(yè)需求[1]。近年來，隨著數(shù)字圖像處理技術的不斷發(fā)展，基于數(shù)字圖像的在線檢測技術也開始逐漸地應用于工業(yè)自動化生產中來，圖像測量技術憑借著其非接觸、實時、操作方便、信息量豐富等諸多優(yōu)點，在工業(yè)測量領域發(fā)揮著日益重要的作用，有著廣闊的應用前景[2]。

目前較為常用的基于數(shù)字圖像的圓度誤差評定方法主要有四種，即最小二乘法，最小區(qū)域法，最大內接圓法和最小外切圓法[3]。其中最小二乘法是這四種方法中使用最普遍的一種，其理論已較為成熟，精度也僅在最小區(qū)域法之下[4]。除此之外還有許多新的圓度測量方法，如使用遺傳算法[5]、神經網絡[6]、粒子群優(yōu)化算法[7]、區(qū)域搜索[8]等方法進行的圓度測量方法。

本文結合已有的數(shù)字圖像圓度測量理念，提出了一種新的圓度測量方法。通過引入物理學中的互斥力概念，將求解圓度的問題轉化為依據圓環(huán)像素群的綜合行為向圓心迭代的問題。解決方法為預先在圓內任意放置一個準圓心點，使準圓心點受到來自圓環(huán)像素群的綜合斥力，準圓心點即會依據此斥力的方向和大小朝著互斥平衡點移動，通過不停的迭代移動，準圓心點最終會在圓環(huán)像素群的綜合影響下停止于圓的互斥平衡點，該點即為本方法所求圓心點。

1 構建模型

1.1 原理簡介

假設有一個標準圓，圓環(huán)由同質量同帶電荷量且固定不動的標準正電子組成。這時，在圓環(huán)中任意位置放置一個自由正電子，圓環(huán)內部的正電子即會受到來自圓環(huán)上各處正電子的斥力，位于圓環(huán)內部的自由正電子即會在各個排斥力的綜合作用下開始運動，最終停止在一個受到互斥力互相平衡的地點，對于一個標準圓來說，停止的點，也就是受到的互斥力平衡的點，即為圓心所在的位置。

在非標準圓的情況下，假定此非標準圓由一個標準圓開始形變，則當其邊緣向圓內移動時，其理論圓心也將向圓的另一側移動，其互斥平衡點也同樣朝著圓的另一側移動，反之亦然。由以上兩點可知，非標準圓的互斥平衡點與理論最小圓度的圓心位置兩者有著相似的分布特性。

通過大量的實驗證明，在各種標準及非標準圓中，所求的互斥平衡點均與使圓度最小的理論圓心點極為相近。在第二部分的實驗中也使用本方法對實際零件進行測量，有著令人滿意的結果。

1.2 構建模型

對于物理模型而言，受到綜合斥力公式為：∑Fij(斥力Fij的向量和)。

結合力的方向，可將單點的互斥力表示為向量形式，即：

則準圓心點受到的圓環(huán)像素群給予的綜合斥力為：

算法的最終目標是要求得互斥力平衡時的準圓心位置，即使綜合斥力為零時的準圓心點像素a，b。

在物理層面求取該圓心點時，使用的方法是將一個自由電子放在圓內的任一位置上，自由電子在互斥力的作用下開始移動，最終停止在互斥平衡點。電子在圓內的移動軌跡由當前的速度方向和時時變化的互斥力綜合決定，這是個非線性問題，描繪其移動軌跡的難度不下于從三維層面求解圓度。

將問題轉換到圖像中時，對非線性問題的求解通常使用線性迭代的方式。在使用線性迭代的方法簡化問題時，可以使得準圓心在受到互斥力后，依據當時的受力大小和方向來移動相應的距離，這個移動是線性的。在到達下一個點后，再計算受力大小和方向來移動相應距離，迭代數(shù)次直到移動的像素數(shù)低于閾值，即可以通過準圓心受力后的線性移動來迭代求解出互斥平衡點的位置。

將綜合受力在水平(x)，豎直(y)軸上進行分解，可得：

對分解的綜合受力附加移動權值(k)，下一個準圓心點(Xn+1，Yn+1)的坐標為：

對上兩步進行迭代，直到x，y方向上移動的像素均小于閾值，即可求得互斥平衡點的位置，也就是本方法所求得的圓心位置。

1.3 模型優(yōu)化

考慮一個特殊的情況，假定處理的非標準圓只是一個半圓，那么在半圓中放置的任何一個準圓心，都會在迭代后通過半圓的開口無限遠離半圓，即不存在任何的受力平衡點，也就沒有辦法求取圓心。

即便不考慮這樣的特殊情況，在大多數(shù)的非標準圓中，邊緣像素的分布也不可能是完美均勻分布的，在這樣的情況下進行互斥力迭代，最終會收斂到邊緣像素較少的一邊。由于圓度測量結果不考慮邊緣像素的多少，這樣由于邊緣像素分布不均勻帶來的圓度誤差是我們不能接受的。

由上面的問題分析可知，問題出在當準圓心進行綜合受力時，力的方向并不是均勻的，即不考慮距離也就是力的大小時，準圓心受到的來自各像素的標準力疊加后，仍然有偏向性，也即是說偏向方向沒有像素可以給予準圓心互斥力，使得準圓心朝著偏向方向移動。

偏向向量在x，y方向上分解后的大小為：

本文采用了一種較為簡單的解決辦法，既然問題出在偏向方向上沒有像素可以給予準圓心互斥力，那么就可以通過在偏向方向附加相應數(shù)量的像素來解決該問題。

這樣，全部的基于互斥平衡求取圓度的方法就完成了，求解流程如下：

①隨機在圓內的位置放置一個準圓心點；

②計算準圓心點受到的綜合斥力，結合權值將其在x，y方向上進行分解；

③計算準圓心點的偏向方向和大小，結合半徑求取附加像素的斥力大??；

④結合②、③步的綜合受力，附加權值，移動準圓心點；

⑤將第②、③、④步迭代數(shù)次，直至移動像素小于閾值，此時準圓心點的位置即為圓心所在的位置。

2 實驗與結果分析

實驗采用將本方法與傳統(tǒng)的接觸式測量方法進行比較的方式，通過實驗室的測量系統(tǒng)結合本方法對實際零件進行圓度測量，并將結果與通過千分尺進行的傳統(tǒng)接觸式測量結果進行比較分析。

2.1 實驗構建

2.1.1 圖像采集與攝像機標定

實驗使用實驗室圖像測量系統(tǒng)，由一個已標定好的工業(yè)CCD攝像機與相關的支撐部件組成。

本實驗采用的CCD攝像機型號為維視圖像EM-120M，是較常用的工業(yè)攝像機的一種，在各種工業(yè)測量上都有著較高的精度。分辨率則與成本息息相關，實驗中使用的相機分辨率為1280×960，采集的圖像如圖1所示。

圖1 采集到的原始圖像

攝像機在測量之前由標準標定板進行標定，并根據標定數(shù)據調整攝像機位置，當相機與零件表面垂直時(即當其旋轉矩陣R接近單位陣)，固定攝像機位置。

算法求得的零件半徑及圓度以像素為單位進行表示，使用之前標定中求得的攝像機矩陣P即可將像素距離轉化為實際距離，在本次實驗中，像素數(shù)與物長(單位：mm)之比為0.0596，即一像素距離代表0.0596mm。

2.1.2 邊緣檢測

受CCD相機特性及光學衍射效應的影響，零件的邊緣是一個漸變的過渡區(qū)域[9]。要求取亞像素級別的圖像邊緣，首先采用傳統(tǒng)的邊緣檢測算子如canny，sobel算子進行像素級的粗定位，再在已定位的邊緣附近依據其灰度分布，通過插值法、擬合法及矩方法進行亞像素級別的精定位[10]。

本實驗采取Canny邊緣檢測算法提取整數(shù)級的邊緣圖像，再使用雙線性插值的方法求取亞像素級邊緣點。

2.1.3 實驗參數(shù)分析

在進行實驗時，需要對兩個值進行預設，一個是隨機放入圓內的初始準圓心點位置，一個是迭代優(yōu)化中的權值，本實驗通過以下方式對這兩個值進行初設。

(1)初始準圓心點。準圓心點的取值不對最終的處理結果造成影響，因為任何在圓內取得的準圓心點，都會在互斥力的作用下移動到圓的互斥平衡點，該互斥平衡點是不受初始點的影響的。本實驗采用先隨機在圖像內取值再加以驗證的方法，由于圓外點移動的方向和大小變化較小，而圓內點移動的方向和大小變化情況更為突出，即可依據其前三次的迭代移動大小和方向確定初始準圓心點是否在圓內。

(2)權值。權值的取值決定了準圓心點是否可以迭代收斂到互斥平衡點，和收斂的速度，我們通過理論分析可知，當權值大于一定的值，準圓心點會在互斥平衡點兩邊來回移動，甚至會移出圓，而較小的權值僅會使迭代次數(shù)變多，對實驗結果造成較小影響。通過實驗證明，對于閉合圖像寬、高度均在圖像寬、高度的1/2以上的情形下，可取權值為-(圖像寬+高)，負值代表斥力。

2.2 結果分析

使用千分尺對圓形零件進行接觸式測量實驗，獲得表1結果，測量得平均半徑為21.487mm，在已測結果中圓度為0.105mm。

表1 千分尺測量結果

使用本文方法進行非接觸圓度測量實驗，在圓內靠邊緣位置選取四個初始圓心點，初點為(600,400)的算法迭代過程由圖2所示，測量結果如表2所示。

圖2 迭代軌跡

序號初點坐標權值終點坐標迭代次數(shù)圓度(pix)1(600，400)-1120(486．98，647．305)1082．6222(600，400)-2240(486．876，647，541)532．473(600，400)-3360(486．895，647，486)422．5074(400，400)-2240(486．845，647．376)442．4815(600，880)-2240(486．846，647．441)302．4546(600，880)-2240(486．888，647．519)482．496

由上述實驗結果可知，本方法求取的零件平均半徑轉化到實際距離為21.456mm，與實際測量的平均半徑相比誤差小于0.03mm，相較于零件半徑誤差小于0.2%；本方法求取的圓度在誤差最大時為0.156mm，由于實際測量的圓度會由于未測量到極大極小點而略小于實際圓度，故而本方法求取的圓度相較于實際圓度誤差小于0.05mm，相較于零件半徑，誤差小于0.3%。

在時間復雜度方面，當半徑增大時，相應增加權值即可減少迭代次數(shù)，可使得迭代次數(shù)始終收斂在一個范圍內。因此本方法的時間復雜度僅與邊緣像素數(shù)有關，為O(n)，n為邊緣像素數(shù)，適用于半徑像素較大的圖像。且其測量時間為毫秒級，適用于實際的測量工作。

由以上實驗結果可知，本文所構想的通過物理學的互斥平衡理念求取圓度的方法在實驗中證明了其可行性，與傳統(tǒng)的接觸式測量相比也有著較高的精度和速度，有著不錯的實際應用價值。

3 結束語

本文通過引入物理學的互斥概念，將求解圓度的問題轉換為圓環(huán)像素群的綜合行為，并證明了互斥平衡點點與理論圓心相一致，提供了一種新的求解圓度的方法。并且在本文方法的基礎上，可以通過在迭代中優(yōu)化圓環(huán)像素群的方式求取其圓度最小的理論圓心，為未來的圓度測量研究提供一個新思路。

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(編輯 李秀敏)

A Method of Measuring Roundness Based on the Mutex Balance

REN Sheng-de1,YU Zhen-ming2,LI Tao-shen1,WEI Heng-bing2

(1. College of Computer，Electronics and Information, Guangxi University, Nanning 530004, China；2. laboratory of image processing and intelligent control, Wuzhou University, Wuzhou Guangxi 543000, China)

This paper puts forward a new method of roundness measurement based on digital image processing techniques. The concept of mutex balance in physics is introduced in the proposed method. In the experiment, it makes the central point move in accordance with the overall repulsion of circle pixels group and pixel group angular correction in linear iterative way until the central point stops in the dot which overall repulsion from circle pixels group is zero. That dot is the center point we want for. It is demonstrated that the acquired dot and component roundness using this method approximate the results from traditional from non-contact measurement. The proposed method can be applied in measuring roundness in practice. Furthermore, it contributes to the future research of roundness measurement from a new perspective and innovative method.

image processing; roundness measuring; mutex balance

1001-2265(2017)01-0105-04

10.13462/j.cnki.mmtamt.2017.01.029

2016-07-24；

2016-08-11

任晟德(1992—)，男，安徽利辛人，廣西大學碩士研究生，研究方向為圖像測量，(E-mail)605057822@qq.com；通訊作者：韋衡冰(1968—)，女，廣西容縣人，梧州學院副教授，研究方向為零件結構設計與數(shù)字化建模設計，(E-mail)519256379@qq.com。

TH166;TG506

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