淺談高中數(shù)學(xué)中圓和直線的關(guān)系

鄧涵夫?オ?

摘要：我們?cè)诔踔械臄?shù)學(xué)學(xué)習(xí)中已經(jīng)對(duì)直線與圓之間的關(guān)系有所了解，我們還知道了判斷直線和圓之間位置關(guān)系的幾種方法，比如可以根據(jù)直線與圓交點(diǎn)的個(gè)數(shù)或者根據(jù)直線與圓之間的距離大小與圓的半徑r來進(jìn)行比較，從而判斷出圓與直線的位置關(guān)系。而我們?cè)诟咧袛?shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，在原來淺顯的基礎(chǔ)上又進(jìn)了一步。高一時(shí)我們學(xué)習(xí)了解析幾何，所以現(xiàn)在考慮的問題是我們?nèi)绾文芎芎玫貙?duì)圓和直線之間關(guān)系的判斷方法，而解決這一部分問題我們主要運(yùn)用的是代數(shù)法和幾何法。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；圓與直線；關(guān)系

我們?cè)诟咧械囊粋€(gè)學(xué)習(xí)重點(diǎn)就是關(guān)于直線和圓之間位置關(guān)系的問題，因?yàn)檫@種問題不僅對(duì)我們考察了與直線相關(guān)的知識(shí)，還對(duì)圓的知識(shí)進(jìn)行了考察，這也體現(xiàn)出它的綜合性。的利用，比如圓的半徑。半弦長(zhǎng)、弦心距、切線長(zhǎng)定理等等。

一、圓和直線關(guān)系的基本概念

1.我們還可以利用幾何的觀點(diǎn)，也就是直線到圓心的距離d與圓的半徑r來進(jìn)行比較，從而判斷二者間位置關(guān)系。第一，當(dāng)dr，直線和圓的位置關(guān)系是相離。

2.當(dāng)已知直線和圓相切的位置關(guān)系，題目主要考察的是我們對(duì)圓的切線方程進(jìn)行求解。求這類問題主要有兩種情況，第一種是已知切線的斜率，第二是已知直線上的一點(diǎn)。在第二種方法中可以分為已知的一點(diǎn)在圓上或者圓外兩種情況，接著再用切線性質(zhì)進(jìn)行求解。第一，已知圓上有點(diǎn)p（x ，y ），那么圓x +y =r 的切線方程就是xx +y y = r ，可以得到圓（x-a） +（y-b） =r 的切線方程（x-a）（x -a）+（y-b）（y -b）= r。第二假如在圓外一點(diǎn)p（x0，y0），那么我們可以用直線與圓心的距離等于半徑求出切線的斜率，從而得到切線方程，這里要注意不能漏了不存在斜率的切線方程。

3. 直線和圓相交的問題，一般是與弦長(zhǎng)和弦的中點(diǎn)有關(guān)系。

二、對(duì)直線和圓位置關(guān)系進(jìn)行判定

在上文闡述概念時(shí)，我們已經(jīng)有所了解如何去判斷圓和直線的位置關(guān)系，在這里加深闡述。當(dāng)直線和圓之間有兩個(gè)公共的點(diǎn)，那么說明二者之間是相交的；如果直線和圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，那么二者之間就是相切的關(guān)系；當(dāng)直線和圓之間沒有公共點(diǎn)，那么二者之間就是相離的。

例如：設(shè)圓C的方程x2+y2-2x-2y-2=0，直線1的方程（m+1）x-my-1=0，對(duì)任意實(shí)數(shù)m，求直線和圓之間的位置關(guān)系。

解析：我們可以先求出直線恒過的一個(gè)定點(diǎn)，求出點(diǎn)和圓心之間的距離大小并與圓的半徑相比較。我們從直線1的方程 （m+1） x-my-1=0得到m（x-y） +x-1=0，直線恒過（1，1）點(diǎn)，根據(jù)方程 x2+y2-2x-2y-2=0可以知道圓心（1， 1），所以圓和直線都過點(diǎn)（1，1），且此點(diǎn)是圓心，那么二者的關(guān)系就是相交。此題主要考察的是圓和直線的位置關(guān)系，以及我們對(duì)轉(zhuǎn)化思想的掌握，在做這樣的題目是，我們要將圓與直線的關(guān)系轉(zhuǎn)換為點(diǎn)與圓的關(guān)系。

三、求圓上一點(diǎn)到直線的距離

對(duì)圓上的點(diǎn)到直線距離進(jìn)行求解，我們中很多人在看到這樣的題目時(shí)找不到突破點(diǎn)。點(diǎn)到直線的距離求得就是點(diǎn)到直線垂線的長(zhǎng)度，什么時(shí)候最大，什么時(shí)候最小。下面實(shí)例分析：

已知圓的方程x2+y2 =1求其上的一個(gè)點(diǎn)與直線3x+4y-25=0的距離的最小是多少？

解析：首先我們將直線到圓心的距離與半徑作比較，如果距離比圓半徑大，那么二者的關(guān)系就是相離，所以可以得到圓上的點(diǎn)到直線的距離就等于圓心與直線距離再把圓的半徑減去。解：圓心（o，o）到直線的距離為，所以圓上的點(diǎn)到直線的最小距離為：5-1=4。故答案為：4。

考點(diǎn)：直線與圓的位置關(guān)系。點(diǎn)評(píng)：考查了學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想，轉(zhuǎn)化和化歸的思想。

四、截距相等問題

在解決截距相等的問題時(shí)，我們第一要考慮的就是截距都是0的情況，當(dāng)截距不為0時(shí)，我們要考慮符合一定要一樣。我們不能簡(jiǎn)單的認(rèn)為截距就是距離，因?yàn)榫嚯x是非負(fù)，而截距可以為負(fù)。

例如：在x，y軸上截距相等并且與圓（x-3）2+（y-3）2=8相切的直線有幾條？

解析：與在兩坐標(biāo)軸上截距相等且與圓（x-3）2+（y-3）2=8相切，那么一定有過原點(diǎn)的2直線。還有斜率為-1的兩條直線。我們可以根據(jù)方程 （x-3）2+（y-3）2=8得到圓心為C（3 ， 3），求出半徑r=2，由|OC|==3，所以原點(diǎn)在圓外。當(dāng)所求直線的方程的截距為O時(shí)，直線過原點(diǎn)，那么滿足題目的兩條直線有2條。當(dāng)截距不為O時(shí)，設(shè)所求直線的方程為：x+y=a （不等于零） ?？傻脠A心和直線間的距離d=（3+3-a）/，則a=2或a=10，所以我們可以得到有兩條直線滿足題意。

五、直線與圓相交

此題我們用實(shí)例證明，假設(shè)直線1與圓 （x+1）2+（y-2）2=100在A，B兩點(diǎn)相交，點(diǎn)（-2，3）為弦AB中點(diǎn)，求直線1的方程表達(dá)式。

解析：我們可以根據(jù)已知圓的方程得到其圓心的坐標(biāo)，把已知弦AB的中點(diǎn)與圓心相連，再根據(jù)垂徑定理的逆定理得出畫出的直線與直線1是互相垂直的，互相垂直的兩條直線的斜率乘積為-1，根據(jù)圓心和弦中點(diǎn)連線的斜率得到直線1的斜率，再根據(jù)直線1與弦中點(diǎn)的相交，得到直線1的方程。具體解法，首先圓（x+1）2+（y-2）2=100可以看出圓心為（-1，2），（-2，3）為弦的中點(diǎn)，圓心與其的連線斜率為（3-2）/（-2+1）=-1，得到直線1斜率為1，最后可得直線1方程為：x-y+5=0。

六、結(jié)語

綜上所述，對(duì)于直線和圓之間關(guān)系的學(xué)習(xí)首先我們要掌握二者之間位置關(guān)系的性質(zhì)及判斷方法，它是學(xué)好這塊的基礎(chǔ)要求。對(duì)于這章的學(xué)習(xí)，我們要勤于動(dòng)腦，了解掌握其中的轉(zhuǎn)化思想，這對(duì)我們的思維也有著很好的鍛煉。

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（作者單位：長(zhǎng)沙市第一中學(xué)，湖南 長(zhǎng)沙 410000）